高一平面解析几何初步复习讲义

2011元旦假期数学作业
高一平面解析几何初步复习讲义
1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根． 2．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念．
第1课时 直线的方程
1．倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．
斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．
2．过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式 ．若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3
例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2
－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2
3．④
当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．
变式训练1.（1）直线3y – 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B．60° C．120° D．150° （2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）
A ．－3，4
B ．2，－3
C ．4，－3
D ．4，3
（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）
A ．7
B ．－77
C ．77
D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.
变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3
）在同一直线上，求证：a+b+c=0.
例3. 已知实数x,y 满足y=x 2
-2x+2 (-1≤x≤1).
试求：2
3
++x y 的最大值与最小值.
典型例题
变式训练3. 若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2
=3，那么x
y
的最大值为 （ ） A.2
1
B.
3
3 C.
2
3
D.3
例4. 已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程．
变式训练4.直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当MB MA 取最小值时，求直线l 的方程．
1．直线方程是表述直线上任意一点M 的坐标x 与y 之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．
2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）．
3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.
4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.
小结归纳
第2课时直线与直线的位置关系
（一）平面内两条直线的位置关系有三种________．
1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
2
（二）点到直线的距离、直线与直线的距离
1．P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0 的距离为______________．
2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax＋By＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为．
（三）两条直线的交角公式
若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则
1．直线l1到l2的角θ满足．
2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足．
（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．
（五）五种常用的直线系方程.
① 过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋ (A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).
② 与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b).
③ 过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.
④ 与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C).
⑤ 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0 (AB≠0).
例1. 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,
（1）试判断l1与l2是否平行；
（2）l1⊥l2时，求a的值.
变式训练1.若直线l 1：ax+4y-20=0，l 2：x+ay-b=0，当a 、b 满足什么条件时，直线l 1与l 2分别相交？平行？垂直？重合？
例2. 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C 的坐标并判断△ABC 的形状．
例3. 设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上找一点p ，使PB PA 为最小，并求出这个最小值．
变式训练3：已知过点A （1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l 与x 、y 轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值．
1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O 与斜率不存在的两种直线垂直．
2．注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．
3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．
4．解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4
第3课时 圆的方程
1． 圆心为C(a 、b)，半径为r 的圆的标准方程为_________________．
2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为，半径r
＝．
3．二元二次方程Ax2＋Bxy ＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件
是．
4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为
________________．
5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为．
典型例题
例1. 根据下列条件，求圆的方程．
(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．
(2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．
变式训练1：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程．
例2. 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.
变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.
（
例3. 知点P （x ，y ）是圆(x+2)2+y 2
=1上任意一点.
（1）求P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值； （2）求x-2y 的最大值和最小值； （3）求
1
2
--x y 的最大值和最小值.
变式训练3：已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2
-4x+1=0. （1）求y-x 的最大值和最小值；
（2）求x 2+y 2
的最大值和最小值.
例4. 设圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y=0的距离最小的圆的方程。

1．本节主要复习了圆的轨迹方程，要明确：必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程． 2．求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条件求出圆的半径，用标准方程求解；
若条件涉及过几点，往往可考虑用一般方程；
若所求的圆过两已知圆的交点，则一般用圆系方程．
3．求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等往往能简化计算． 4．运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便．
5．点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.
第6课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆心C 到直线l 的距离为d ，则直线与圆的位置关系满足以下关系：
基础过关
小结归纳
相切⇔d ＝r ⇔△＝0
相交⇔ ⇔ 相离⇔ ⇔ 2．圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R 和r(R≥r)，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足以下条件： 外离⇔d > R ＋r 外切⇔ 相交⇔ 内切⇔ 内含⇔ 3. 圆的切线方程
① 圆x 2＋y 2＝r 2
上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为l: .
② 圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2
上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为l : .
③ 圆x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为 .
例1. 过⊙：x 2＋y 2
＝2外一点P(4，2)向圆引切线．
⑴ 求过点P 的圆的切线方程．
⑵ 若切点为P 1、P 2求过切点P 1、P 2的直线方程．
变式训练1：（1）已知点P(1，2)和圆C ：022
22=++++k y kx y x ，过P 作C 的切线有两条，则k 的取值范围是( ) A.k ∈R Ｂ.k ＜
3
3
2 Ｃ.23
03
k -
<< D.2323
33
k -
<<
（2）设集合A={（x,y)|x 2
＋y 2
≤4},B={(x,y)|(x－1)2
＋(y －1)2
≤r 2
(r ＞0)},当A∩B=B 时，r
的取值范围是 （ ）
A ．（0， 2 －1）
B ．（0，1]
C ．（0，2－ 2 ]
D ．（0， 2 ] （3）若实数x 、y 满足等式(x-2)２
＋ｙ２
＝３，那么
x
y
的最大值为( ) A.
2
1 Ｂ.
33 Ｃ.2
3 Ｄ.3 典型例题 P 2 P 1
，2) x
y O
（4）过点M )2
3,3(--且被圆252
2=+y x 截得弦长为8的直线的方程为 ． （5）圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆03422=--+x y x 和0342
2=--+y y x 的交点的圆的方程是 .
例2. 求经过点A(4，－1)，且与圆：x 2＋y 2
＋2x －6y ＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程．
变式训练2：求圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程．
例3. 已知直线l ：y ＝k(x ＋22)(k≠0)与圆O ：x 2
＋y 2
＝4相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．△AOB 的面积为S ．
⑴ 试将S 表示为k 的函数S(k)，并求出它的定义域． ⑵ 求S(k)的最大值，并求出此时的k 值．
变式训练3：点P 在直线0102=++y x 上，PA 、PB 与圆42
2
=+y x 相切于A 、B 两点，求四边形PAOB 面积的最小值．．
例4. 已知圆C 方程为：2224200x y x y +---=，直线l 的方程为：（2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4=0．
（1）证明：无论m 取何值，直线l 与圆C 恒有两个公共点。

（2）求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，并求出此时的m 值．
变式训练4：已知圆系()2222220x y ax a y +-+-+=，其中a ≠1,且a ∈R,则该圆系恒过定点 ．
1．处理直线与圆、圆与圆的位置关系的相关问题，有代数法和几何法两种方法，但用几何法往往较简便．
2．圆的弦长公式l ＝222d R -(R 表示圆的半径，d 表示弦心距)利用这一弦长公式比用一般二次曲线的弦长公式l ＝]4))[(1(212212x x x x k -++要方便．
3．为简化运算，处理交点问题时，常采用“设而不求”的方法，一般是设出交点后，再用韦达定理处理，这种方法在处理直线与圆锥曲线的位置关系中也常常用到
《解析几何初步》检测试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ）
A 、
12 B 、12- C 、13 D 、13
- 3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ）
A ．
21 B ．2
1
- C ．2 D ．2-
4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB
的方程为( )
A ．y －1＝3(x －3)
B ．y －1＝－3(x －3)
C ．y －3＝3(x －1)
D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y x
B ．032=--y x
C ．210x y ++=
D ．210x y +-=
6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( )
A ．0,4
B ．0,2
C ．2,4
D ．4,2
7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为
3
1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3
8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ）
A 相切
B 直线过圆心
C ．直线不过圆心但与圆相交
D ．相离
9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ）
A.（x －2)2+(y+3)2=12
B.（x －2)2+(y+3)2=2
C.（x ＋2)2+(y －3)2=12
D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆
22111()()242
x y -++=的切线，则此切线段的长度为( ) A
B ．32
C ．12 D
11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线
方程为（ ）
A ．50x y --=
B ．50x y -+=
C ．50x y ++=
D ．50x y +-= 12．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N
两点，若MN ≥k 的取值
范围是（ ） A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B. []304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，
C. 33⎡-⎢⎣
⎦， D. 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）
13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标是 。

14．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2=16上的两点，且|AB|=6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C(1，－1)，
则圆心M 的轨迹方程是 。

15.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆42
2=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离
为1，则实数c的取值范围是________。

16．与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是_______。

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；
（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍。

（12分）
18．已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,
（1）试判断l1与l2是否平行；
（2）l1⊥l2时，求a的值. （12分）
19．如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.（12分）
20.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程. （12分）
21.已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.（12分）
22.已知圆
2260
x y x y m
++-+=和直线230
x y
+-=交于P、Q两点且OP⊥OQ（O为坐标原点），
求该圆的圆心坐标及半径（14分）。