部队驾驶员对照检查

2019年天津市高考数学试卷（理科）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈

) A ．{2}

B ．{2，3}

C ．{1-，2，3}

D ．{1，2，3，4}

2．设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,

x y x y x y +-??-+?

?-??-??………则目标函数4z x y =-+的最大值为( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

3．设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为

( )

A ．5

B ．8

C ．24

D ．29

5．已知抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条

渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为( )

A 2

B 3

C ．2

D 5 6．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．a c b <<

B ．a b c <<

C ．b c a <<

D ．c a b <<

7．已知函数()sin()(0f x A x A ω?=+>，0ω>，||)?π<是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最

小正周期为2π，且()24g π=，则3()(8

f π

= )

A ．2-

B ．2

C 2

D ．2

8．已知a R ∈．设函数222,1,(),1x ax a x f x x alnx x ?-+=?->?

g ?若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，

则a 的取值范围为( ) A ．[0，1]

B ．[0，2]

C ．[0，]e

D ．[1，]e

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．i 是虚数单位，则5||1i

i

-+的值为 ．

10．831

(2)8x x

-的展开式中的常数项为 ．

1125．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．

12．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,

(12sin x y θθθ=+??

=+?

为参数）相切，则a 的值为 ． 13．设0x >，0y >，25x y +=xy

的最小值为 ．

14．在四边形ABCD 中，//AD BC ，23AB =5AD =，30A ∠=?，点E 在线段CB 的延

长线上，且AE BE =，则BD AE =u u u r u u u r

g ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．

（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6

B π

+的值．

16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为2

3

．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．

17．（13分）如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==．

（Ⅰ）求证：//BF 平面ADE ；

（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为1

3

，求线段CF 的长．

18．（13分）设椭圆22

221(0)x y

a b a b

+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为45． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||(ON OF O =为原点）

，且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 19．（14分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+．

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,

k k n k

k n c b n +?<

=?=??其中*k N ∈． ()i 求数列22{(1)}n n a c -的通项公式； ()ii 求2*1()n

i i i a c n N =∈∑．

20．（14分）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当[4x π∈，]2π时，证明()()()02f x g x x π

+-…；

（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间(24n π

π+，2)2

n π

π+内的零点，其中n N ∈，证明

200

22sin cos n n e n x x x π

π

π-+-<-．

2019年天津市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈

) A ．{2}

B ．{2，3}

C ．{1-，2，3}

D ．{1，2，3，4}

【思路分析】根据集合的基本运算即可求A C I ，再求()A C B I U ； 【解析】：设集合{1A =-，1，2，3，5}，{|13}C x R x =∈

(){1A C B ∴=I U ，2}{2?，3，4}{1=，2，3，4}；

故选：D ．

【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．设变量x ，y 满足约束条件20,

20,1,1,

x y x y x y +-??-+?

?-??-??………则目标函数4z x y =-+的最大值为( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解析】：由约束条件20,

20,1,1,

x y x y x y +-??-+?

?-??-??………作出可行域如图：

联立1

20x x y =-??-+=?

，解得(1,1)A -，

化目标函数4z x y =-+为4y x z =+，由图可知，当直线4y x z =+过A 时，z 有最大值为5． 故选：C ．

【归纳与总结】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 3．设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【思路分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果

【解析】：250x x -

05x ∴<<是02x <<的必要不充分条件，

即250x x -<是|1|1x -<的必要不充分条件． 故选：B ．

【归纳与总结】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题． 4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )

A ．5

B ．8

C ．24

D ．29

【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：1i =，0s =；

第一次执行第一个判断语句后，1S =，2i =，不满足条件； 第二次执行第一个判断语句后，1j =，5S =，3i =，不满足条件； 第三次执行第一个判断语句后，8S =，4i =，满足退出循环的条件； 故输出S 值为8， 故选：B ．

【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题

5．已知抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条

渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为( )

A 2

B 3

C ．2

D 5

【思路分析】推导出(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，2||b

AB a

=，||1OF =，从而2b a =，进而225c a b a =+=，由此能求出双曲线的离心率． 【解析】：Q 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ． (1,0)F ∴，准线l 的方程为1x =-，

l Q 与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，

且||4||(AB OF O =为原点），

2||b AB a ∴=，||1OF =，∴24b a

=，2b a ∴=， 225c a b a ∴=+=，

∴双曲线的离心率为5c

e a

=

故选：D ．

【归纳与总结】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

6．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b <<

B ．a b c <<

C ．b c a <<

D ．c a b <<

【思路分析】本题先将a 、b 、c 的大小与1作个比较，发现1b >，a 、c 都小于1．再对a 、

c 的表达式进行变形，判断a 、c 之间的大小．

【解析】：由题意，可知： 5log 21a =<，

110.51

2222

1

log 0.25log 5log 425

b log log --====>=． 0.20.51

c =<，

b ∴最大，a 、

c 都小于1．

521log 25a log ==

Q ，10.2

555110.5()222

c === 而522log 5log 422>=>

∴52152log <． a c ∴<，

a c

b ∴<<．

故选：A ．

【归纳与总结】本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数1作为中间量来比较．本题属基础题．

7．已知函数()sin()(0f x A x A ω?=+>，0ω>，||)?π<是奇函数，将()y f x =的图象上所

有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最

小正周期为2π，且()24g π=，则3()(8

f π

= )

A ．2-

B ．2

C 2

D ．2 【思路分析】根据条件求出?和ω的值，结合函数变换关系求出()g x 的解析式，结合条件求出A 的值，利用代入法进行求解即可． 【解析】：()f x Q 是奇函数，0?∴=， 则()sin()f x A x ω=

将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．

即1

()sin()2

g x A x ω=

()g x Q 的最小正周期为2π， ∴2212

π

πω=，得2ω=， 则()sin g x A x =，()sin 2f x A x =，

若()24

g π

=，则2()sin 244g A A ππ===2A =，

则()2sin 2f x x =，则3332

()2sin(22sin 22884f πππ=?==

故选：C ．

【归纳与总结】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A ，ω和?的值是解决本题的关键．

8．已知a R ∈．设函数222,1,

(),1x ax a x f x x alnx x ?-+=?->?

g ?若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，

则a 的取值范围为( ) A ．[0，1]

B ．[0，2]

C ．[0，]e

D ．[1，]e

【思路分析】分2段代解析式后，分离参数a ，再构造函数求最值可得． 【解析】：当1x =时，f （1）12210a a =-+=>恒成立；

当1x <时，2

2

()22021

x f x x ax a a

x =-+?-厖恒成立， 令

2222(11)(1)2(1)111

()(12)(2(1)2)0

111111x x x x x g x x x x x x x x x

-----+==-=-=-=--+---=------g ?，

2()0max a g x ∴=…，0a ∴>．

当1x >时，()0x

f x x alnx a

lnx

=-?厔恒成立， 令()x h x lnx

=，则221

1()()()lnx x lnx x h x lnx lnx --'=

=g

，

当x e >时，()0h x '>，()h x 递增， 当1x e <<时，()0h x ''<，()h x 递减， x e ∴=时，()h x 取得最小值h （e ）e =， ()min a h x e ∴=…，

综上a 的取值范围是[0，]e ． 故选：C ．

【归纳与总结】本题考查了函数恒成立，属中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．i 是虚数单位，则5||1i

i

-+的值为 13 ．

【思路分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．

【解析】：由题意，可知：2

2

5(5)(1)56231(1)(1)1i i i i i i i i i i

-+---+===-++--， 225|||23|2(3)131i i i

-∴=-=+-+13 【归纳与总结】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题．

10．831

(2)8x x

-的展开式中的常数项为 28 ．

【思路分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x 的指数为0即可得到r

的值，代入r 的值即可算出常数项．

【解析】：由题意，可知：此二项式的展开式的通项为：

888188833111

(2)()2()()(1)2

88r r r r r r r r r r r T C x C x C x x

---+=-=-=-g g g g g 8484r

r x --g ．

∴当840r -=，即2r =时，1r T +为常数项． 此时22218(1)2

T C +=-g 842

28-?=．故答案为：28．

【归纳与总结】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．

1125．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 4

π

． 【思路分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可． 【解析】：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分， 由勾股定理得：正四棱锥的高为2，

由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，

有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于1

2

； 由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，

则该圆柱的体积为：21()124

v sh π

π==?=；

故答案为：

4

π 【归纳与总结】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题．

12．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+??=+?

为参数）相切，则a 的值为 3

4 ．

【思路分析】推导出圆心(2,1)到直线20ax y -+=的距离：2

21

d r a ===+，由此能

求出a 的值．

【解析】：a R ∈Q ，直线20ax y -+=和圆22cos ,

(12sin x y θθθ=+??

=+?

为参数）相切， ∴圆心(2,1)到直线20ax y -+=的距离：221

d r a ===+，

解得34a =．故答案为：3

4． 【归纳与总结】本题考查实数值的求法，考查直线与圆相切的性质、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13．设0x >，0y >，25x y +=xy

的最小值为 3 ．

【思路分析】利用基本不等式求最值．

【解析】：0x >，0y >，25x y +=，

2xy xy xy xy xy ===；

由基本不等式有：6223xy xy xy

xy

=g

当且仅当xy xy

=

时，

即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =??=?或2

32

x y =??

?=??时；等号成立，

xy

的最小值为343【归纳与总结】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．

14．在四边形ABCD 中，//AD BC ，23AB =5AD =，30A ∠=?，点E 在线段CB 的延

长线上，且AE BE =，则BD AE =u u u r u u u r

g 1- ．

【思路分析】利用AD u u u r 和AB u u u r 作为基底表示向量BD u u u r 和AE u u u r

，然后计算数量积即可． 【解析】：AE BE =Q ，//AD BC ，30A ∠=?，

∴在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=?，

又23AB =2AE ∴=， ∴25

BE AD =-u u u r u r ，

Q AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，∴25

AE AB AD =-u u u r u u u r u u u r

又BD BA AD AB AD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，

∴2()()5

BD AE AB AD AB AD =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g

22725AB AB AD AD =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r g 2272||||cos 55AB AB AD A AD =-+-u u u r u u u u u r u u u u u r u u u r g

732

125232555

=-+??-?1=-故答案为：1-．

【归纳与总结】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．

（Ⅰ）求cos B 的值；

（Ⅱ）求sin(2)6

B π

+的值．

【思路分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；

（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．

【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理sin sin b c

B C

=

，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，

得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得43a b =，23

a

c =，由余弦定理可得

222222

416199cos 22423

a a a a c

b B a

c a a +-+-===-g g ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得215sin 1B cos B -，从而15

sin 22sin cos B B B ==，

227

cos2cos sin 8

B B B =-=-，

故15371357

sin(2)sin 2cos cos2sin 66682B B B πππ++=+=-?=

． 【归纳与总结】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．属中档题．

16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为2

3

．假定甲、乙

两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．

【思路分析】()I 甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为

2

3

，故2~()3X B ，可求分布列及期望；

()II 设乙同学上学期间的三天中7:30到校的天数为Y ，则2

~(3,)3

Y B ，且{3M X ==，

1}{2Y X ==?，0}Y =，由题意知{3X =，1}Y =与{2X =，0}Y =互斥，且{3}X =与

{1}Y =，{2}X =与{0}Y =相互独立，利用相互对立事件的个概率公式可求

【解析】：()I 甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23

， 故2~(3,)3

X B ，

从而3321

()()()33

k k k P x k C -==，0k =，1，2，3．

2

()323

E X =?=；

()II 设乙同学上学期间的三天中7:30到校的天数为Y ，则2

~(3,)3

Y B ，

且{3M X ==，1}{2Y X ==?，0}Y =，由题意知{3X =，1}Y =与{2X =，0}Y =互斥，

且{3}X =与{1}Y =，{2}X =与{0}Y =相互独立，

由()I 知，()({3P M P X ==，1}{2Y X ==?，0}({3Y P X ===，1}{2Y P X =+=，0}Y =

824120

(3)(1)(2)(0)279927243

P X P Y P X P Y ===+===?+?=

【归纳与总结】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件与相互独立事件的概率计算公式，考查运算概率公式解决实际问题的能力．

17．（13分）如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==．

（Ⅰ）求证：//BF 平面ADE ；

（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为1

3

，求线段CF 的长．

【思路分析】（Ⅰ）以A 为坐标原点，分别以AB u u u r ，AD u u u r ，AE u u u r

所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得A ，B ，C ，D ，E 的坐标，设(0)CF h h =>，得(1F ，2，)h ．可得(1,0,0)AB =u u u r 是平面ADE 的法向量，再求出(0,2,)BF h =u u u r ，由0BF AB =u u u r u u u r

g ，且直线BF ?/平面ADE ，得//BF 平面ADE ；

（Ⅱ）求出(1,2,2)CE =--u u u r

，再求出平面BDE 的法向量，利用数量积求夹角公式得直线CE 与平面BDE 所成角的余弦值，进一步得到直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；

（Ⅲ）求出平面BDF 的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为1

3

列式求线段CF 的长．

【解答】（Ⅰ）证明：以A 为坐标原点，分别以AB u u u r ，AD u u u r ，AE u u u r

所在直线为x ，y ，z 轴建

立空间直角坐标系，

可得(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(1C ，2，0)，(0D ，1，0)，(0E ，0，2)． 设(0)CF h h =>，则(1F ，2，)h ． 则(1,0,0)AB =u u u r 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =u u u r ，可得0BF AB =u u u r u u u r

g ． 又Q 直线BF ?/平面ADE ，//BF ∴平面ADE ；

（Ⅱ）解：依题意，(1,1,0)BD =-u u u r ，(1,0,2)BE =-u u u r ，(1,2,2)CE =--u u u r

． 设(,,)n x y z =r

为平面BDE 的法向量，

则020

n BD x y n BE x z ?=-+=?

?=-+=??u u u r r g u u u r r g ，令1z =，得(2,2,1)n =r ． 4

cos ,9||||

CE n CE n CE n ∴<>==-u u u r r

u u u r g r u u u

r r g ． ∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为4

9

；

（Ⅲ）解：设(,,)m x y z =r

为平面BDF 的法向量，

则020

m BD x y m BF y hz ?=-+=??=+=??u u u r r g u u u r

r g ，取1y =，可得2(1,1,)m h =-r ， 由题意，2

2

|4|||1|cos ,|||||34

32m n h m n m n h -<>===?+r r g r r r r g ，解得87h =． 经检验，符合题意．

∴线段CF 的长为8

7

．

【归纳与总结】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角与二面角的大小，是中档题．

18．（13分）设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长

为45． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||(ON OF O =为原点）

，且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 【思路分析】（Ⅰ）由题意可得2b =，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，c ，进而得到所求椭圆方程；

（Ⅱ）(0,2)B ，设PB 的方程为2y kx =+，联立椭圆方程，求得P 的坐标，M 的坐标，由OP MN ⊥，运用斜率之积为1-，解方程即可得到所求值．

【解析】：（Ⅰ）由题意可得24b =，即2b =，5

c e a ==

222a b c -=， 解得5a ，1c =，

可得椭圆方程为22

154

x y +=；

（Ⅱ）(0,2)B ，设PB 的方程为2y kx =+，

代入椭圆方程224520x y +=， 可得22(45)200k x kx ++=，

解得2

2045k

x k =-+或0x =，

即有220(45k

P k -+，22810)45k k -+，

2y kx =+，令0y =，可得2

(M k

-

，0)， 又(0,1)N -，OP MN ⊥，

可得281011220k k k

-=---g ，解得230

k = 可得PB 的斜率为230

【归纳与总结】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题．

19．（14分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+．

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，1

1,22,

,2,

k k n k

k n c b n +?<

i i i a c n N =∈∑．

【思路分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，利用等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，能求出{}n a 和{}n b 的通项公式．

（Ⅱ）()i 由222(1)(1)n n n n a c a b -=-，能求出数列22{(1)}n n a c -的通项公式． (Tex translation failed)，由此能求出结果．

【解析】：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 依题意有：

2

6626124q d q d =+??=+?，解得3

2d q =??=?， 4(1)331n a n n ∴=+-?=+，

16232n n n b -=?=?．

（Ⅱ）()i Q 数列{}n c 满足11c =，1

1,22,

,2,

k k n k

k n c b n +?<

∴数列22{(1)}n n a c -的通项公式为：

22(1)941n n n a c -=?-．

(Tex translation failed)

1

2(21)

(243)(941)2n n n

n

i i =-=?+?+?-∑

21

1

4(14)

(3252)914

n n n n ---=?+?+?--

2112725212n n n +-=?+?--．*()n N ∈．

【归纳与总结】本题考查等差数列、等比数列通项公式及前n 项和等基础知识，考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力． 20．（14分）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当[4x π∈，]2π时，证明()()()02f x g x x π

+-…；

（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间(24n π

π+，2)2

n π

π+内的零点，其中n N ∈，证明

200

22sin cos n n e n x x x π

π

π-+-<-．

【思路分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得当(24

x k π

π∈+，52)()4

k k Z π

π+

∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当3(24x k ππ∈-

，2)()4

k k Z π

π+∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；

（Ⅱ）记()()()()2

h x f x g x x π

=+-，依题意及（Ⅰ），得到()(cos sin )x g x e x x =-，由()0h x '<，

得()h x 在区间[4π，]2π上单调递减，有()()()022h x h f ππ==…，从而得到当[4x π∈，]2π

时，

()()()02

f x

g x x π

+-…；

（Ⅲ）依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos 1n x n e x =，记2n n y x n π=-，则(,)42

n y ππ

∈，且

2()()n n f y e x N π-=∈．由20()1()n n f y e f y π-==?及（Ⅰ），得0n y y …，由（Ⅱ）知，当(4

x π

∈，

)2π时，()g x 在[4π，]2π上为减函数，有0()()()04n g y g y g π

<=?，又由（Ⅱ）知，()()()0

2n n n f y g y y π

+-…，得

02222000

00()2()()()sin cos (sin cos )n n n n n n y n n f y e e e e y g y g y g y x x e y y ππππ

π-----=-=<--剟，

从

而

证

得

200

22sin cos n n e n x x x ππ

π-+-<-．

【解答】（Ⅰ）解：由已知，()(cos sin )x f x e x x '=-，因此，

当(24x k ππ∈+，52)()4k k Z π

π+∈时，有sin cos x x >，得()0f x '<，()f x 单调递减；

当3(24x k ππ∈-，2)()4

k k Z π

π+∈时，有sin cos x x <，得()0f x '>，()f x 单调递增．

()f x ∴的单调增区间为3[24k ππ-，2]()4k k Z ππ+∈，单调减区间为[，52]()4k k Z π

π+∈； （Ⅱ）证明：记()()()()2

h x f x g x x π

=+-，依题意及（Ⅰ），

有()(cos sin )x g x e x x =-，从而()()()()()(1)()()022

h x f x g x x g x g x x ππ

'='+'-+-='-

因此，()h x 在区间[4π，]2π上单调递减，有()()()022h x h f ππ

==…．

∴当[

4x π∈，]2π时，()()()02

f x

g x x π

+-…；

（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos 1n x n e x =．

记2n n y x n π=-，则(,)42

n y ππ

∈，且22()cos cos(2)()n n y x n n n n n f y e y e x n e x N πππ--==-=∈．

由20()1()n n f y e f y π-==?及（Ⅰ），得0n y y …，

由（Ⅱ）知，当(4x π∈，)2π时，()0g x '<，()g x ∴在[4π，]2π

上为减函数，

因此，0()()()04

n g y g y g π

<=?， 又由（Ⅱ）知，()()()02

n n n f y g y y π

+-…，

故02222000

00()2()()()sin cos (sin cos )n n n n n n y n n f y e e e e y g y g y g y x x e y y ππππ

π-----=-=<--剟．

200

22sin cos n n e n x x x ππ

π-∴+-<-．

【归纳与总结】本题主要考查导数的运算，不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力，属难题．