2009年全国高考2卷理科数学试题及答案

2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）

一、选择题： 1.

10i 2-i = A. -2+4i B. -2-4i C. 2+4i D. 2-4i

2. 设集合{}1|3,|

04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A. ∅ B. ()3,4

C.()2,1-

D. ()4.+∞ 3. 已知ABC ∆中，12cot 5A =-

， 则cos A = A.

1213 B.513 C.513- D. 1213-

4.曲线21x y x =

-在点()1,1处的切线方程为 A. 20x y --= B. 20x y +-= C.450x y +-= D. 450x y --=

5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为

A. 10

B. 15

C. 10

D. 35

6. 已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =

A. B. C.5 D. 25

7. 设323log ,log log a b c π===

A. a b c >>

B. a c b >>

C. b a c >>

D. b c a >>

8. 若将函数()tan 04y x πωω⎛

⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6

π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭的图像重合，则ω的最小值为

A ．16 B. 14 C. 13 D. 12

9. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2

:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =

A. 13

B.23

C. 23

D. 223 10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有

A. 6种

B. 12种

C. 30种

D. 36种

11. 已知双曲线()22

2210,0x y C a b a b

-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为A ．65 B. 75 C. 58 D. 95

12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、

东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体

剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“∆”

的面的方位是

A. 南

B. 北

C. 西

D. 下

第II 卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡上。

13. ()4x y y x -的展开式中33

x y 的系数为 。 14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95

S S = . 15.设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆

C 。若圆C 的面积等于74

π，则球O 的表面积等于 16. 已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为()

1,2M ,则四边形ABCD

的面积的最大值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17（本小题满分10分）

设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2

A C

B -+=

，2b ac =，求B 。

18（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC

（I ）证明：AB AC =

（II ）设二面角A BD C --为60°，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小。

19（本小题满分12分）

设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+

（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列

（II ）求数列{}n a 的通项公式。

20（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（II ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望。

21（本小题满分12分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B

两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2

（I ）求a ，b 的值；

（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？ 若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。

22.(本小题满分12分)

设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <

（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；

（II ）证明：()21224

In f x ->