第六章机器人的轨迹规划
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注意：这组解只适用于关节起点、终点速度为零的运动情况。
（4-4）
6
6.2 关节空间法
例： 设机械手的某个关节的起始关节角θ0＝150，并且机械手原来 是静止的。要求在3秒钟内平滑地运动到θf=750时停下来(即要求在 终端时速度为零)。规划出满足上述条件的平滑运动的轨迹，并画出 关节角位置、角速度及角加速度随时间变化的曲线。 解： 根据所给约束条件，直接代入式(4-4)，可得： a0=15， a1=0， a2=20， a3=-4.44 所求关节角的位置函数为：
6.1.1 机器人规划的基机本概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是——机器人根据自身的
任务，求得完成这一任务的解决方案的过程。这里所说的任务，具
有广义的概念，既可以指机器人要完成的某一具体任务，也可以是 机器人的某个动作，比如手部或关节的某个规定的运动等。 轨迹：每个自由度的位移、速度和加速度的时间历程。 描述方法: 描述成工具坐标系{T}相对于工作台坐标系{S}的运动。 路径点-这个术语包括了所有的中间点以及初始点和最终点。 需要记住的是，虽然通常使用“点”这个术语，但实际上它们是 表达位置和姿态的坐标系。
22
THANK YOU
23
20
6.4 轨迹的实时生成
前面轨迹规划的任务，是根据给定的路径点规划出运 动轨迹的所有参数。 例如，在用三次多项式函数插值时，便是产生出 多项式系数a0,a1,a2,a3从而得到整个轨迹的运动方程：
q t ai 0 ai1t ai 2t 2 ai 3t 3
对上式求导，可以得到速度和加速度
1
6.1.1 机器人规划的基本概念
轨迹规划的目的是——将操作人员输入
的简单的任务描述变为详细的运动轨迹描述。
例如，对一般的工业机器人来说，操作员可能 只输入机械手末端的目标位置和方位，而规划的任务便
是要确定出达到目标的关节轨迹的形状、运动的时间和
速度等。
2
6.2
关节空间法首先将在工具空间中期望的路径点， 通过逆运动学计算，得到期望的关节位置，然后在关 节空间内，给每个关节找到一个经过中间点到达目的 终点的光滑函数，同时使得每个关节到达中间点和终 点的时间相同，这样便可保证机械手工具能够到达期 望的直角坐标位置。这里只要求各个关节在路径点之 间的时间相同，而各个关节的光滑函数的确定则是互 相独立的。
多段带有抛物线过渡的线性插值轨迹
t
17
18
•
如果要求机器人通过某个结点，同时速度不为零，怎么办？ 可以在此结点两端规定两个“伪结点”，令该结点在两伪结点的连线 上，并位于两过渡域之间的线性域上。
伪节点
原节点
0
用伪节点的插值曲线
t
19
6.3笛卡儿空间规划法
前面介绍的在关节空间内的规划，可以保证运动轨迹经过给定 的路径点。但是在直角坐标空间，路径点之间的轨迹形状往往是十 分复杂的，它取决于机械手的运动学机构特性。在有些情况下，对 机械手末端的轨迹形状也有一定要求，如要求它在两点之间走一条 直线，或者沿着一个圆弧运动以绕过障碍物等。这时便需要在直角 坐标空间内规划机械手的运动轨迹． 直角坐标空间的路径点，指的是机械手末端的工具坐标相对于 基坐标的位置和姿态．每一个点由6个量组成，其中3个量描述位置 ，另外3个量描述姿态。 在直角坐标空间内规划的方法主要有：线性函数插值法和 圆弧插值法。
3
6.2 关节空间法
下面具体介绍在关节空间内常用的两种规划方法 1） 三次多项式
考虑机械手末端在一定时间内从初始位置和方位移动到目标 位置和方位的问题。利用逆运动学计算，可以首先求出一组起始 和终了的关节位置．现在的问题是求出一组通过起点和终点的光 滑函数。满足这个条件的光滑函数可以有许多条，如下图所示： q (t ) qf
q0
0
tf
单个关节的不同轨迹曲线
t
4
6.2 关节空间法
显然，这些光滑函数必须满足以下条件：
wk.baidu.com
tf f
0 0
满足起点和终点的关节角度约束 （4-1）
同时若要求在起点和终点的速度为零，即：
tf 0
0 0
三次曲线在路径点处按照一定的规则联系起来，拼凑成所要求的轨迹。
其约束条件是：联接处不仅速度连续，而且加速度也要连续。
g
v
0
0
t0
tv
tg t
12
•
对于方法（3）， 这里所说的启发式方法很简单，即假设用直线段 把这些路径点依次连接起来，如果相邻线段的斜率在路径点处改变符 号，则把速度选定为零；如果相邻线段不改变符号，则选择路径点两 侧的线段斜率的平均值作为该点的速度。
t 15 20t 2 4.44t 3
t 40t 13.33t 2 t 40 26.66t
对上式求导，可以得到角速度和角加速度
（4-6） （4-7）
7
6.2 关节空间法
根据式(4-5)～(4-7)可画出它们随时间的变化曲线如下图所 示。由图看出，速度曲线为一抛物线，加速度则为一直线。
15
6.2 关节空间法
线性函数插值图
利用抛物线过渡的线性函 数插值图
16
• 过路径点的路径与抛物线拟合的线性函数
如图所示，某个关节在运动中设有n个路径点，其中三个相邻的 路径点表示为j，k和l，每两个相邻的路径点之间都以线性函数相连， 而所有的路径点附近则用抛物线过渡。（同样存在多解）
j l k 0
10
（1） 根据工具坐标系在直角坐标空间中的瞬时线速度和
角速度来确定每个路径点的关节速度 ；该方法工作量大。
（2）采用路径点处加速度连续的方法，由控制系统按照 此要求自动地选择路径点的速度。 （3）在直角坐标空间或关节空间中采用某种适当的启发 式方法，由控制系统自动地选择路径点的速度；
11
•
对于方法（2），为了保证路径点处的加速度连续，可以设法用两条
满足起点和终点的关节速度约束 （4-2）
那么可以选择如下的三次多项式：
t a0 a1t a2t 2 a3t 3
（4-3）
作为所要求的光滑函数。式4-3中有4个待定系数，而该式需满 足式4-1和4-2的4个约束条件，因此可以唯一地解出这些系数：
5
6.2 关节空间法
a0 q0 a1 0 3 a 2 2 q f q0 tf 2 a3 3 q f q0 tf
A
D
C
0
B
t0
tA tB
tC
tD t
路径点上速度的自动生成
13
• 如果对于运动轨迹的要求更为严格，约束条件增多，那么 三次多项式就不能满足需要，必须用更高阶的多项式对运 动轨迹的路径段进行插值。例如，对某段路径的起点和终
点都规定了关节的位置、速度和加速度（有六个未知的系
数），则要用一个五次多项式进行插值。
q t ai1 2ai 2t 3ai 3t 2 q t 2ai 2 6ai 3t
21
6.4 路径的描述
前面讨论了在给定路径点的情况下如何规划出运
动轨迹的问题。但是还有一个如何描述路径点并以合
适的方式输入给机器人的问题。最常用的方法便是利 用机器人语言。 用户将要求实现的动作编成相应的应用程序，其 中有相应的语句用来描述轨迹规划，并通过相应的控 制作用来实现期望的运动。
3
0
0 t0 t1 t2 t
9
• 同理可以求得此时的三次多项式系数：
此时的速度 约束条件变为：
0 0
tf f
由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位置 和速度的运动轨迹。剩下的问题就是如何确定路径点上的期望关节 速度，有以下三种方法：
t a0 a1t a2t 2 a3t 3 a4t 4 a5t 5
14
6.2 关节空间法
2）与抛物线拟合的线性函数 前面介绍了利用三次多项式函数插值的规划方法 。另外一种常用方法是线性函数插值法，即用一条直 线将起点与终点连接起来。但是，简单的线性函数插 值将使得关节的运动速度在起点和终点处不连续，它 也意味着需要产生无穷大的加速度，这显然是不希望 的。因此可以考虑在起点和终点处，用抛物线与直线 连接起来，在抛物线段内，使用恒定的加速度来平滑 地改变速度，从而使得整个运动轨迹的位置和速度是 连续的。
30 θ
75
θ
.
40 .. θ 0 t/s 3
15 0
t/s
3
15 0 t
t/s
3
t
-40
利用三次多项式规划出的关节角的运动轨迹
8
• 过路径点的三次多项式
方法是：把所有路径点都看成是“起点”或“终点”，求解逆运
动学，得到相应的关节矢量值。然后确定所要求的三次多项式插
值函数，把路径点平滑的连接起来。不同的是，这些“起点”和 “终点”的关节速度不再是零。
（4-4）
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6.2 关节空间法
例： 设机械手的某个关节的起始关节角θ0＝150，并且机械手原来 是静止的。要求在3秒钟内平滑地运动到θf=750时停下来(即要求在 终端时速度为零)。规划出满足上述条件的平滑运动的轨迹，并画出 关节角位置、角速度及角加速度随时间变化的曲线。 解： 根据所给约束条件，直接代入式(4-4)，可得： a0=15， a1=0， a2=20， a3=-4.44 所求关节角的位置函数为：
6.1.1 机器人规划的基机本概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是——机器人根据自身的
任务，求得完成这一任务的解决方案的过程。这里所说的任务，具
有广义的概念，既可以指机器人要完成的某一具体任务，也可以是 机器人的某个动作，比如手部或关节的某个规定的运动等。 轨迹：每个自由度的位移、速度和加速度的时间历程。 描述方法: 描述成工具坐标系{T}相对于工作台坐标系{S}的运动。 路径点-这个术语包括了所有的中间点以及初始点和最终点。 需要记住的是，虽然通常使用“点”这个术语，但实际上它们是 表达位置和姿态的坐标系。
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6.4 轨迹的实时生成
前面轨迹规划的任务，是根据给定的路径点规划出运 动轨迹的所有参数。 例如，在用三次多项式函数插值时，便是产生出 多项式系数a0,a1,a2,a3从而得到整个轨迹的运动方程：
q t ai 0 ai1t ai 2t 2 ai 3t 3
对上式求导，可以得到速度和加速度
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6.1.1 机器人规划的基本概念
轨迹规划的目的是——将操作人员输入
的简单的任务描述变为详细的运动轨迹描述。
例如，对一般的工业机器人来说，操作员可能 只输入机械手末端的目标位置和方位，而规划的任务便
是要确定出达到目标的关节轨迹的形状、运动的时间和
速度等。
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关节空间法首先将在工具空间中期望的路径点， 通过逆运动学计算，得到期望的关节位置，然后在关 节空间内，给每个关节找到一个经过中间点到达目的 终点的光滑函数，同时使得每个关节到达中间点和终 点的时间相同，这样便可保证机械手工具能够到达期 望的直角坐标位置。这里只要求各个关节在路径点之 间的时间相同，而各个关节的光滑函数的确定则是互 相独立的。
多段带有抛物线过渡的线性插值轨迹
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如果要求机器人通过某个结点，同时速度不为零，怎么办？ 可以在此结点两端规定两个“伪结点”，令该结点在两伪结点的连线 上，并位于两过渡域之间的线性域上。
伪节点
原节点
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用伪节点的插值曲线
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6.3笛卡儿空间规划法
前面介绍的在关节空间内的规划，可以保证运动轨迹经过给定 的路径点。但是在直角坐标空间，路径点之间的轨迹形状往往是十 分复杂的，它取决于机械手的运动学机构特性。在有些情况下，对 机械手末端的轨迹形状也有一定要求，如要求它在两点之间走一条 直线，或者沿着一个圆弧运动以绕过障碍物等。这时便需要在直角 坐标空间内规划机械手的运动轨迹． 直角坐标空间的路径点，指的是机械手末端的工具坐标相对于 基坐标的位置和姿态．每一个点由6个量组成，其中3个量描述位置 ，另外3个量描述姿态。 在直角坐标空间内规划的方法主要有：线性函数插值法和 圆弧插值法。
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6.2 关节空间法
下面具体介绍在关节空间内常用的两种规划方法 1） 三次多项式
考虑机械手末端在一定时间内从初始位置和方位移动到目标 位置和方位的问题。利用逆运动学计算，可以首先求出一组起始 和终了的关节位置．现在的问题是求出一组通过起点和终点的光 滑函数。满足这个条件的光滑函数可以有许多条，如下图所示： q (t ) qf
q0
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单个关节的不同轨迹曲线
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6.2 关节空间法
显然，这些光滑函数必须满足以下条件：
wk.baidu.com
tf f
0 0
满足起点和终点的关节角度约束 （4-1）
同时若要求在起点和终点的速度为零，即：
tf 0
0 0
三次曲线在路径点处按照一定的规则联系起来，拼凑成所要求的轨迹。
其约束条件是：联接处不仅速度连续，而且加速度也要连续。
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0
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•
对于方法（3）， 这里所说的启发式方法很简单，即假设用直线段 把这些路径点依次连接起来，如果相邻线段的斜率在路径点处改变符 号，则把速度选定为零；如果相邻线段不改变符号，则选择路径点两 侧的线段斜率的平均值作为该点的速度。
t 15 20t 2 4.44t 3
t 40t 13.33t 2 t 40 26.66t
对上式求导，可以得到角速度和角加速度
（4-6） （4-7）
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6.2 关节空间法
根据式(4-5)～(4-7)可画出它们随时间的变化曲线如下图所 示。由图看出，速度曲线为一抛物线，加速度则为一直线。
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6.2 关节空间法
线性函数插值图
利用抛物线过渡的线性函 数插值图
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• 过路径点的路径与抛物线拟合的线性函数
如图所示，某个关节在运动中设有n个路径点，其中三个相邻的 路径点表示为j，k和l，每两个相邻的路径点之间都以线性函数相连， 而所有的路径点附近则用抛物线过渡。（同样存在多解）
j l k 0
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（1） 根据工具坐标系在直角坐标空间中的瞬时线速度和
角速度来确定每个路径点的关节速度 ；该方法工作量大。
（2）采用路径点处加速度连续的方法，由控制系统按照 此要求自动地选择路径点的速度。 （3）在直角坐标空间或关节空间中采用某种适当的启发 式方法，由控制系统自动地选择路径点的速度；
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•
对于方法（2），为了保证路径点处的加速度连续，可以设法用两条
满足起点和终点的关节速度约束 （4-2）
那么可以选择如下的三次多项式：
t a0 a1t a2t 2 a3t 3
（4-3）
作为所要求的光滑函数。式4-3中有4个待定系数，而该式需满 足式4-1和4-2的4个约束条件，因此可以唯一地解出这些系数：
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6.2 关节空间法
a0 q0 a1 0 3 a 2 2 q f q0 tf 2 a3 3 q f q0 tf
A
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tA tB
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路径点上速度的自动生成
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• 如果对于运动轨迹的要求更为严格，约束条件增多，那么 三次多项式就不能满足需要，必须用更高阶的多项式对运 动轨迹的路径段进行插值。例如，对某段路径的起点和终
点都规定了关节的位置、速度和加速度（有六个未知的系
数），则要用一个五次多项式进行插值。
q t ai1 2ai 2t 3ai 3t 2 q t 2ai 2 6ai 3t
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6.4 路径的描述
前面讨论了在给定路径点的情况下如何规划出运
动轨迹的问题。但是还有一个如何描述路径点并以合
适的方式输入给机器人的问题。最常用的方法便是利 用机器人语言。 用户将要求实现的动作编成相应的应用程序，其 中有相应的语句用来描述轨迹规划，并通过相应的控 制作用来实现期望的运动。
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• 同理可以求得此时的三次多项式系数：
此时的速度 约束条件变为：
0 0
tf f
由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位置 和速度的运动轨迹。剩下的问题就是如何确定路径点上的期望关节 速度，有以下三种方法：
t a0 a1t a2t 2 a3t 3 a4t 4 a5t 5
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6.2 关节空间法
2）与抛物线拟合的线性函数 前面介绍了利用三次多项式函数插值的规划方法 。另外一种常用方法是线性函数插值法，即用一条直 线将起点与终点连接起来。但是，简单的线性函数插 值将使得关节的运动速度在起点和终点处不连续，它 也意味着需要产生无穷大的加速度，这显然是不希望 的。因此可以考虑在起点和终点处，用抛物线与直线 连接起来，在抛物线段内，使用恒定的加速度来平滑 地改变速度，从而使得整个运动轨迹的位置和速度是 连续的。
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利用三次多项式规划出的关节角的运动轨迹
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• 过路径点的三次多项式
方法是：把所有路径点都看成是“起点”或“终点”，求解逆运
动学，得到相应的关节矢量值。然后确定所要求的三次多项式插
值函数，把路径点平滑的连接起来。不同的是，这些“起点”和 “终点”的关节速度不再是零。