特殊数列的通项公式的求法

递推数列的通项公式的求法
高中数学中经常遇到求递推数列通项公式的问题，许多学生对此感到十分困难。

其实好多递推数列都是转化成等差数列或等比数列来处理的，我们只要抓住各种类型数列的结构特征，要求出它们的通项公式也不难。

下面逐一举例说明。

类型一：11,()n n a a a a f n -==+
分析：因为1()n n a a f n -=+，所以1()n n a a f n --=，用叠加法，有
⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=--)
()4()
3()
2(13423
12n f a a f a a f a a f a a n n 即： (2)(3)(4)()n a a f f f f n -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
(1)(2)(3)()n a f f f f n a =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++
这样只要求出(2)(3)(4)(),n f f f f n a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+也就求出来了。

例1：已知数列{}n a 满足，n a a a n n +==
+11,2
1
，求通项公式n a 。

解：由题可得n a a n
n =-+1，由叠加法，得⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=--1
32
113423
12n a a a a a a a a n n
2
1
2)1(211
32121342312+-=
∴-=-∴-++++=-++-+-+--n n a n n a n a a a a a a a a n n n n 即
练习1：已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

（答案：2n n a =）
类型二： 1
()
n n a g n a +=
分析；因为1()
n n a g n a +=，所以1(1)n n a g n a -=-，用叠乘法,12211231n n n n n n n a a a a a
a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
即
12211231
(1)(2)(3)(1)n n n n n n n a a a a a a g n g n g n g a a a a -----=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅，这样求出
(1)(2)(3)(1),n g n g n g n g a -⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅即可求出。

例2：已知数列{}n a 满足n n a n n a a 1
,3211+==
+，求通项公式n a 。

解：由题意得：
11+=+n n
a a n n ，叠乘，得n
n a n
a a n
n a a a a a a a a n n n n 32
32111
43322111342312=⨯=
∴=
-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-
练习2：已知数列{}n a 满足，n n
n a a a 3,311==+，求通项公式n a （答案：(1)2
3n n n a -=）
类型三：形如a a =1，q pa a n n +=+1（其中p,q 为非零常数） 分析：由待定系数法，设)(1k a p k a n n +=++，其中1
q
k p =
-，进而构造一个等比数列。

例3：已知数列{}n a 满足11=a ，121+=-n n a a （n>1)，求此数列的通项公式。

解：设)(21k a k a n n +=+-，1,21=∴+=∴-k k a a n n 即：)1(211+=+-n n a a ，21
1
1=++∴
-n n a a ，
{}1+∴n a 构成等比数列，首项为2，公比为2，通项公式为n 2 12,21-=∴=+∴n n n n a a
当n=1时，1121
1=-=a ，也满足通项公式
所以数列{}n a 的通项公式为12-=n
n a
点评：本题也可以构造1n n a pa q -=+，两式相减得，11()n n n n a a p a a +--=-，转化成等比数列，再用类型一，由叠加法求解。

迭代法
q pa a n n +=-1=q pq q pa p q pq a p q q a p n n n +++=++⋅=++---)()(32222
= =++⋅+⋅-q pq q p a p n 233
=,3211q q p q p q p a p n n n +⋅++⋅+⋅+---
而q p q p q p q n ⋅++⋅+⋅+-22 是一个等比数列，求出其和，即可求出通项。

练习3：已知数列{}n a 中，11,123n n a a a =+=+，求{}n a 的通项公式。

（答案：1
2
3n n a +=-）
类型四：1n n n a pa rp -=+
分析：两边同时除以n
p ，得
1
1n n n n a a r p p
--=+，转化为等差数列来解。

例4. 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

解：n n 1n 23a 2a ⋅+=+两边除以1n 2+，得23
2a 2a n
n 1
n 1n +
=
++，则232
a 2a n n 1n 1n =-++， 故数列}2a {
n n 是以1
2
22a 11==为首，以23
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23)
1n (12a n
n -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 2)2
1
n 23(a -=。

练习4：已知数列{}n a 中，651=
a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a （答案：n
n n
n n b a )31(2)21(32-==） 类型五 ：()n f pa a n n +=+1( f(n)是一次多项式)
分析：由待定系数法设1(1)()n n a A n B p a An B ++++=++，求出A,B ，再转化为等比数列来解决。

例5. 设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。

解：设1(1)3()n n a A n B a An B ++++=++ 1322n n a a An B A +∴=++-
与原式比较系数得：221
211A A B A B ==⎧⎧⇒⎨⎨
-==⎩⎩
即1(1)13(1)n n a n a n ++++=++
令1,n n b a n =++n+1n 11则b =3b 且b =a +1+1=3
{}n b ∴1是b =3为首项，公比q=3的等比数列
133331n n n n n b a n -∴=⋅==--即:
点评：若)(n f 为n 的二次式，则可设22
1(1)(1)[(1)(1)]n a A n B n C p A n B n C ++++++=++++。

练习 5. 已知数列{}n a 满足，11a =，11
21(2)2
n n a a n n -=+-≥，求通项公式n a （答案:13
462
n n a n -=
+-） 类型六：1
1n n n a pa rq ++=+
分析：由待定系数法设1
1(),n n n n qr
a tq
p a tq t p q
+++=+=
-其中，求出t ，再转化为等比数列来解决。

例6 设数列{}n a 中，111,32n
n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式。

解：设1
12
3(2)n n n n a t a t +++=+，展开后对比132n n n a a +=+得：1t =
1123(2)n n n n a a ++∴+=+
令1
1,12,323n
n n n n b a b b a +=+=+=1则且b =
{}n b ∴1是b =3为首项，公比q=3的等比数列
133332n n n n n
n b a -∴=⋅==-即:
点评：本题也可以同除1
+n q
，得
11n n
n n
a p a r q q q ++=⋅+，令n n n
q a b =从而化归为q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）型，由类型一求解．对于1
1n n n a pa rq c ++=++类型，由待定系数法设
11()n n n n a tq s p a tq s ++++=++,求出t,s ，再转化为等比数列来解决。

练习6：已知数列}a {n 满足6a 53a 2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式（答案：n 1n n 52a +=-）。

类型七 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

分析：有待定系数法设为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++，其中s ，t 满足⎩
⎨
⎧-==+q st p
t s ，求出p,q,然后转化为等比数列来解决。

例7. 已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++，求n a 。

解：由n n n a a a 3
1
3212+=
++可转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++
即n n n sta a t s a -+=++12
)(⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-==+⇒3132st t s ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒311t s 或⎪⎩⎪⎨
⎧=-=131t s 这里不妨选用⎪⎩
⎪⎨⎧-==311t s （当然也可选用⎪⎩⎪⎨
⎧
=-
=131t s ，大家可以试一试），则)(3
1
112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -⇒+1是以首项为112=-a a ，公比为31-的等比数列,所以
11)3
1
(-+-=-n n n a a ,应用类型1的方法，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加
之，即2101)3
1()31()31(--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=-n n a a 3
11)31(11
+--=
-n 又11=a ，所以1
)3
1(4347---=n n a 。

练习7.数列{}n a 中，n n n a a a a a +===++122123,2,1，求数列{}n a 的通项公式。

（答案：
1731
()443
n --⨯-）。