(完整)上海师范大学高数试题(13)

《微积分下》作业5
学院 专业 年级班级 姓名 序号 一．
单选题（共3×10分）
*1．.若D 是由y=2x, y=x, x=1所围成的平面区域,则
⎰⎰D
dxdy =( B )
A.1
B.
21 C.41 D.2
3 *2．设二重积分的积分区域D 为:,4122≤+≤
y x 则
⎰⎰D
dxdy =( C )
A.π
B.2π
C.π3
D.π4 3.改变积分次序,则
⎰
⎰21
2),(x
x
dy y x f dx =( C )
A.
⎰⎰
10
),(y
y
dx y x f dy B.⎰⎰210
),(y
y
dx y x f dy
C.
⎰
⎰
⎰⎰+410
214
121),(),(y
y
y
dx y x f dy dx y x f dy
D.
⎰
⎰⎰⎰
+410
21214
1),(),(y
y
y
dx y x f dy dx y x f dy
*4.若D 是由y=1, y=x, x=2所围成的平面区域,则D
xydxdy ⎰⎰= ( B )
A.1
B.
98 C.18
D.23
*5.改变积分次序,则
2
2
1
sin
2y y
x
dy dx y
π⎰
⎰= ( C )
A.
dy y
x
dx x
x ⎰
⎰4
1
2sin
π
B.4
1
2x
x
dx dy y
π⎰
C.
dy y
x
dx dy y
x
dx x
x x ⎰⎰⎰⎰+42
2
21
2sin
2sin
ππ
D.
2
4
1
2
2
in
22x
x
x
dx dy dx dy y
y
ππ+⎰
⎰
6．设积分区域D 为：1,2≤≤y x 则
dxdy D
⎰⎰21
=（ D ） A.1 B.2 C.3 D.4
7．改变积分次序,则⎰
⎰-x
dy y x f dx 10
10
),(＝（ D ）
A ．⎰⎰
-1
010
),(dx y x f dy x
B.⎰
⎰-x
dx y x f dy 101
),( C.
⎰⎰
1
1
),(dx y x f dy D.⎰
⎰-y
dx y x f dy 10
1
),(
8．设D ：,2
22a y x ≤+当=a ( B )时
π=--⎰⎰
dxdy y x a D
222
A.1
B.32
3
C.
3
43 D.3
2
1 rdr r a d a
⎰
⎰
-0
2
2
20
π
θππ=⋅=323
1a
2
3
3
=a 32
3
=
a 9改变积分次序,则⎰
⎰
-2
22
1
),(x x
dy y x f dx =（ B ）
A.⎰
⎰
-1
02
2),(y dx y x f dy B.⎰
⎰⎰
⎰-+2
24121
),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy
C.
⎰
⎰-y
y
dx y x f dy 524
),( D.⎰
⎰⎰⎰+-y
y
dx y x f dy dx y x f dy 52
41
22
1
0),(),(
10．由曲线,22
2
x y x =+ ,42
2
x y x =+ x y =, 0=y 所围成的图形的面积
S ＝（ C ） A.
)2(41π+ B.)2(21π+ C.)2(4
3
π+ D.π+2 ⎰⎰
==40
cos 4cos 2π
θ
θ
θrdr d s )2(4
3
cos 640
2+=
⎰πθθπ
d 二.计算题(共5×10分)
1. 计算
⎰⎰--D
dxdy y x ,)1(其中D 是由x=0,y=0及x+y=1所围成的闭区域.
⎰⎰=
--D
dxdy y x )1(⎰
⎰
---x
dy y x dx 10
1
)1(=⎰--
-1
102]2
1)1[(dx y y x x
=1
0321
2
)1(61])1(21)1[(x dx x x --=--
-⎰=61 2. 计算22
(),D x y x d σ+-⎰⎰其中D 是由y=x,y=2及y=2x 所围成的闭区域.
2
2
(),D
x y x d σ+-⎰⎰=⎰⎰-+2
022
2
)(y
y dx x y x dy dy y x x y x y 222
32
0]2131[-+=⎰
dy y y )832419(
232
-⎰
02)24
3241941(34y y -⋅=613
3．求
dxdy y x D
⎰⎰
+22，D 是由222a y x ≤+所确定的区域。

dxdy y x D
⎰⎰
+2
2
=⎰⎰⋅π
θ200a
rdr r d =a
r 0
3
3
1
2⋅π=33
2a π 4．计算
⎰⎰
+D
dxdy y x ,)sin(其中D 为矩形区域,20π≤≤x 2
0π≤≤y
⎰⎰+D
dxdy y x )sin(⎰
⎰+=2
20
)sin(ππ
dy y x dx dx y x ⎰+-=20
20
)cos(π
π
dx x x ]cos )2
[cos(20
-+
-=⎰π
π
2]sin )2
[sin(π
π
x x -+
-=
2]11[=---=
*5．计算二重积分
ydxdy x
D
⎰⎰2
其中区域D 是由0=x ,0=y 与122=+y x 所围成的第一
象限的图形。

ydxdy x
D
⎰⎰2
rdr r r d ⋅⋅⋅⋅=⎰⎰θθθπ
sin cos 20
1
2
2
θθθπ
d r 0
1
51sin cos 520
2
⎰
⋅⋅=
⎰-=202cos cos 51πθθd 15
1cos 3
1512
3
=
⋅-=π
θ
6. 计算二重积分
⎰⎰-D
dxdy y x )2(,其中区域D 是由直线1=y ,032=+-y x 与
03=-+y x 所围成的图形。

⎰⎰-D
dxdy y x )2(⎰⎰---=31
3)
3(2
1
)2(y y dx y x dy dy y y
xy x ⎰---=3
1
2
1
2)3(3)( ⎰+-=312)34(49dy y y 313)323
1(492
3-=+-=y y y
(dy y x dx dy y x dx x x
⎰
⎰
⎰⎰
-+--+-0
1
3
21
20
31
)2()2()
7. 计算二重积分
σd y x D
⎰⎰
+22其中区域D 是园y y x 222=+围成的图形。

解：
σd y x D
⎰⎰
+22 =2sin 20
d r dr π
θ
θ⎰⎰
=θθπ
d r sin 20
3
3
1⎰
=
⎰πθθ03
sin 3
8d =
θθπcos )1(cos 3802d ⎰-=π
θθ03)cos cos 31(38-329
=
8. . 计算二重积分
⎰⎰++D y
x dxdy 221,其中D 是由12
2≤+y x 所确定的区域。

⎰⎰++D
y x dxdy 221rdr r d ⎰⎰⋅+=1022011πθθπd r 01)1ln(21220+=⎰⎰=πθ202ln 21d 2ln 022ln 2
1
ππθ=⋅=
9. 求由四个平面1,1,0,0====y x y x 所围成的柱体被平面0=z 及632=++z y x 截得的立体的体积。

}{
10,10),(:≤≤≤≤y x y x D ⎰⎰--=
D
d y x V σ)326(⎰⎰--=1010)326(dy y x dx dx x )2326(10⎰--= 2
7
01)23216(2=--
=x x x 10. 求由平面1,0,0=+==y x y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+62
2
截得的立体的体积。

{
}x
y x y x D -≤≤≤≤10,10),(:
⎰⎰--=D
d y x V
σ)6(22⎰
⎰---=x
dy y x dx 10
2210
)6(
dx x x x x ])1(3
1
)1()1(6[3102-----=⎰ 6
1701])1(121
4131)1(3[4432=-++--
-=x x x x 三﹑综合题(共10×2分)
1.求由曲面2
22y x z +=及2
2
26y x z --=所围成的立体的体积。

`
⎩⎨⎧--=+=2
222262y
x z y x z ⇒ 22
2=+y x dxdy y x y x V D
]226[2
222⎰⎰
----=
⎰⎰-=π
θ20
2
2)36(rdr r d
ππ60
2]433[242
=-
=r r 2．计算积分dx e I x ⎰
+∞
∞
--=
2
⎰⎰--=D
y x dxdy e
H
2
2设 D 为第一象限
dy e
dx y x ⎰
⎰+∞
∞
=--=
2
2dy e
dx e
y x ⎰⎰+∞
+∞
--⋅=0
2
2
4
222
I I I =⋅=
dxdy e
D y x ⎰⎰--2
2Θ又rdr e
d r ⎰⎰∞
+-=20
2
π
θθπ
d e r
02
1220∞+-=-⎰⎰==20421π
πθd
ππ
=⋅
==4
442
H I π=I。