投资学利率敏感性

Defn: Macaulay Duration:
D PV (t1)t1 PV (t2)t2 ... PV (tn)tn
PVtotal wt1t1 wt2t2 ... wtntn
where
wti
PV (ti ) PVtotal
PV(ti) 是在 ti 的现金流的现值
PVtotal n PV (ti ) 是各个时点现金流现值的总和 i0
dP / dy 10000
dP/dy衡量y变动10000bp 的价格变动量，所以上式 代表y变动1bp所造成的价格变动。因为利率上升， 多数固定收益证券价格下跌，所以公式前加负号。
例：某投资者认为某债券的价格低估，买
进该债券。他计算债券当时的PVBP为5.79 元，由于期待价值回归，而不愿受利率影
投资学第四讲
利率敏感性 Bond Price Sensitivity
利率敏感性
市场利率的升降对债券投资的总收益具有影 响：利息收入和再投资收益。
P
c1 1 y
c2 (1 y)2
...
cn (1 y)n
债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除
利率变动带来的风险，即利率风险免疫 （Interest rate immunization），使得债券 组合对利率变化不敏感。
tCt (1 y)t
P
T t 1
Ct (1 y)t
dP / P 1 T
tCt
/P
1
T
(
tCt
T
/
Ct )
dy
1 y t1 (1 y)t
1 y t1 (1 y)t t1 (1 y)t
@ D D* 1 y
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时， 二者近似相等。
Macaulay Duration
Bond Price Sensitivity
PVBP Duration Convexity Management of Bonds Portfolio
1 一个基点的价格
一个基点的价格 （price value of a basic point PVBP）代表利率变动1 bp时，某固定 收益证券的价格变动量，在数学上表示为：
D 80 /(110%) 280 /(110%)2 31080 /(110%)3 950.25
72.731 66.12 2 811.40 3 950.25
2.78(年）
修正久期 D*＝D/(1+y)=2.78/1.1=2.527(年)
ΔP/P=－D*Δy 久期可以解释为利率变动一单位，债券价 格相应变动率。以上例来说，2.527被解释 为：当利率上升1％，债券价格下降 2.527%。
D dP / P (1 y) D (1 y)dP / dy 0
dy
P
若债券的贴现率y不变，则当息票率上升时,
债券的价格P上升，从而由上可知
久期D下降，则修正久期D*也下降。
定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越 长，久期一般也越长。
定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加 而增加。
D 1 C1 /(1 y)1 2 C2 /(1 y)2 .......T CT /(1 y)T
P
P
P
1 P1 2 P2 .......T PT
PP
P
T
@t wt t 1
其中，wt为t时期的权重
麦考利久期 Macaulay duration 是现金流对应期间的 加权和，单位是年.
例如，某债券息票率为8%，收益率为10%， 面值1000美元，每年支付一次票息，三年 后到期，一次性偿还本金。求其麦考利久 期。
当收益率上升1％，此时债券价格是多少？
（P2-P1）/P1=－0.02527 P2=926.24元
久期：现金流现值翘翘板的支点
以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金 流发生时间加权平均的结果
债券久期
时间
Macaulay久期定理
定理1：只有零息债券的Macaulay久期等于 它们的到期时间。
TD T0,2D T 20
定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到 期收益率越高，久期越短。
证明：D dP / P (1 y) D (1 y)dP / dy
dy
P
D 1 C1 /(1 y)1 2 C2 /(1 y)2 .......T CT /(1 y)T
P
P
P
若到期收益率y上升，则有久期D下降
证明：D t [
Ct
T
/
Ct ]
t1 (1 y)t t1 (1 y)t
[ 1C1 (1 y)
2 C2 (1 y)2
...
TCT (1 y)T
]/
CT (1 y)T
T
定理2：附息债券的Macaulay久期小于它们 的到期时间。
证明：D
T t 1
t
[
(1
Ct y)t
/
T t 1
Ct (1 y)t
PVBP是衡量某特定面值债券的价格敏 感性。已知两个债券，一个PVBP是5.79 元，另一个是4元，如果不知道面值， 则无法判断谁对利率变动更敏感。
Bond Price Sensitivity
PVBP Duration Convexity Management of Bonds Portfolio
响，所以希望卖空另一债券避险。假定他 选择的另一债券面值相同，PVBP为2.895 元，应该放空2份该债券。建立头寸后，如 果利率上升1bp，则多头亏损5.79元，空头 获利2×2.895元，反之一样。如此就免于 承受（immunize）短期利率变动的风险。
PVBP
一个投资组合的PVBP，相当于组合中 个别证券PVBP的加权和。
dy t ty t 1 dy
d
1 (1 y)t
/
dy
t (1 y)t1
dP
dy
d(
T t 1
Ct (1 y)t
) / dy
T t 1
(1
tCt y)t
1
1 1 y
T t 1
tCt (1 y)t
2 久期(Duration)
dP
dy
T t 1
tCt (1 y)t1
1 1 y
T t 1
]
[ 1C1
(1 y)
2C2 (1 y)2
...
TCT (1 y)T
]/
T t 1
Ct (1 y)t
[
T (1
C1 y)
TC2 (1 y)2
...
TCT (1 y)T
]/
T t 1
Ct (1 y)t
T
定理3：在到期时间相同的条件下，息票率 越高，久期越短。
证明：由于 dP / P @ D ＝ D*，所以 dy 1 y