极坐标PPT幻灯片课件

1.在极坐标系中，若点 A，B 的坐标分别是3，π3，
4，－π6，则△AOB 为(
)
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
解析：由题意知∠AOB＝π3－－π6＝π2，故选 B.
答案：B
2．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合，极轴与 x 轴
的正半轴重合，两种坐标系中取相同的长度单位时，平面内任意一
点 P 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则有互化公式
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
和Байду номын сангаасρta2n＝θx＝2＋yxyx2≠，0.
(4)在极坐标与直角坐标相互转化的两组公式中，把极坐标化为 直角坐标得到的点的坐标是唯一的，但在把直角坐标化为极坐标时， 所得的极坐标就不唯一，为了避免这一麻烦，通常在没有特别说明 时，可取 ρ≥0，θ∈[0,2π)(最小非负角)，有时也可取 θ∈(－π，π](绝 对值最小角)．
解析：∵ρcosθ＝4sinθcosθ，∴ρ＝4sinθ 或 cosθ＝0， ∴ρ2＝4ρsinθ 或 θ＝kπ＋π2.∴x2＋y2＝4y 或 x＝0. ∴ρcosθ＝2sin2θ 表示一条直线和一个圆．
答案：C
3．点 P 的直角坐标为(－ 2， 2)，那么它的极坐标可 表示为________．
解析：直接利用极坐标与直角坐标的互 化公式．
(2)由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程 ρ＝ρ(θ)的图 形的对称性：
若 ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称； 若 ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线 θ＝π2所在的直线对称； 若 ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点 O 对称．
●两种互化 (1)将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式 ρ＝ x2＋y2，tanθ＝xy(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 tanθ＝xy(x≠0) 求 θ 时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果 允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ＋2kπ(k∈Z) 即可． (2)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等， 还经常会用到同乘(或除以)ρ 等技巧．
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；
(3)当圆心位于 Ma，π2，半径为 a：ρ＝2asinθ.
●两个要点 (1)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果 限定 ρ 取正值，θ∈[0,2π)平面上的点(除去极点)与极坐标 (ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．
1.极坐标系的概念：在平面上取一个定点O叫做极 点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度 单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时 针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M是平面上的任一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极 轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫 做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为 点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
【考点分析】 (1)考查极坐标系与极坐标． (2)考查点的极坐标与直角坐标的互化． (3)考查特殊圆与直线的极坐标方程． 【复习指导】 解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直 角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的 曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思 想的应用．
2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作 为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设 M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标 分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
x＝ρcosθ y＝ρsinθ
，
ρ2＝x2＋y2 tanθ＝xyx≠0
.
3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且 极轴到此直线的角为α，则它的方程为：
ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
(3)直线过 Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.
4．圆的极坐标方程：若圆心为M(ρ0，θ0)，半径 为r的圆方程为：
答案：2，34π
4．在极坐标系中，若点 A，B 的坐标分别为3，π3， 4，－π6，则|AB|＝________，S△AOB＝________(其中 O 是 极点)．
答案：5 , 6
考点串串讲
1．极坐标系 (1)一般地，在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX， 同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为 正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，点 O 称为极点，射 线 OX 称为极轴． 设 M 是平面上任一点，ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 OX 为始边，射线 OM 为终边所成的角，那么，有序数对(ρ，θ)称为点 M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置． 其中，ρ 称为点 M 的极径，θ 称为点 M 的极角． 由极径的意义可知 ρ≥0.当极角 θ 的取值范围是[0,2π)时，平面 上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我 们规定，极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角 θ 可以取任意角．
(2)极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度
单位及它的方向．
注意 如果(ρ，θ)是点 M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ
＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点 M 的极坐标．但这样建立的极坐标
系，平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系．
(3)极坐标与直角坐标的互化．