固体力学中的无网格方法
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固体力学中的无网格方法
• • • • • 无网格方法的概述 无网格方法的近似方案 不连续性近似 离散化实现 基本边界条件的实现
无网格方法的概述
无网格法是在建立问题域的系统代 数方程时，不需要利用预定义的网 格信息，或者只利用更容易生成的 更灵活、更自由的网格进行域离散 的方法。（刘桂荣，2009）
无网格方法的概述
最近几年，Duarte和Oden等人提出了单位分解法， 并且认识到基于移动最小二乘法的近似方法实际上是 单位分解法的一种特例，从而将这类近似方法加以扩 展；Liu等人也对此类方法做了大量的研究工作，并对 其收敛性给以证明。
无网格方法的概述
无网格法求解过 程（与FEM对比）
无网格方法的概述
无网格方法模拟裂纹扩展
无网格方法的近似方案
• 核函数近似方法 • 移动最小二乘近似(MLS) • 单位分解法
无网格方法的近似方案
核函数近似方法
核函数近似方法最初主要用于SPH方 法。它对函数u（x）利用核函数进行近 似 u ( x ) x y , h u ( y ) d x y , h 被称为核函数或权函数，h是紧 支集尺寸的一个度量。
无网格方法的概述
一条构造无网格方法的途径是采用 移动最小二乘法（moving least square approximation method，简记为MLS）进 行近似。Nayroles等人最早将移动最小二 乘近似用于Galerkin方法，并将之称为扩 散单元法（difflnse elernent methods，简 称DEM）。Belytschko等人提出了无单元 的Galerkin法（element free galerkin method，简称EFG）。这类方法具有较 好的协调性及稳定性。
无网格方法的近似方案
单位分解法
单位分解法是由Duarte和Oden等人发展起来的。对 于求解区域 ，单位分解法用一些相互交叉的子域 I 来覆盖，每个子域都与一个函数 I (x) 相联系。函数 I (x) 仅在 I 内非零，并且满足单位分解条件 I ( x) 1
I
Duarte和Oden等人从K阶MLS形函数来构造单位分解， u ( x) ( x) u
Belytschko，Organ等人提出了衍射法则， 用于构造不连续线尖端附近场函数的近似。衍 射法适用于中心对称的权函数，它们仅包含一 个变量S。与常规的权函数w(s)不同之处仅仅在 于对那些可视性法则不可见点的s的计算，从 而可以使影响区绕过不连续线的尖端。
不连续性近似
透射法
无网格方法的概述
计算力学的发展面临着许多难以处理的问 题，例如具有非常大变形的冲压成型问题、裂 纹扩展问题等等。对于这些问题，传统的计算 方法如有限元法、有限差分法等都难于应付。 其主要原因是网格的存在妨碍了处理与原始网 格线不一致的不连续性和大变形。这些基于网 格的方法，在处理随时间变化的不连续性和大 变形时，常用的是网格重构。然而，这样不仅 计算费用昂贵，而且会使计算精度严重受损。 无网格方法中，网格可以彻底或部分地消除， 而采用基于点的近似，因此可以完全抛开网格 重构，从而保证了计算的精度。
离散化实现
• 配点法 • Galerkin方法
基本边界条件的实现
• Lagrange乘子法 • 修正的变分原理 • 与有限元相祸合的无网格方法
谢谢大家
透射法是指在不连续区域的尖端通过透射 的概念将函数加以光滑。在尖端，不连续线被 看成是全透过的；随着与尖端距离的增加，不 连续线的透射性逐渐减小，直至消失。
不连续性近似
场函数具有不连续的导数
对于无网格方法，Cordes和Moran等人提 出Lagrange乘子法来处理这种导数的不连续性， 他们在导数不连续的界面两侧分别加以近似， 然后再通过Lagrange乘子法引入界面处应满足 的连续性条件。
m h K I I I i 1 il i
其中qi(x)可以是单项式基。系数是未知量，可以通过 Galerkin法或配点法求解。
不连续性近似
• 场函数不连续性的处理方法
1、可视性准则 2、衍射法则 3、透射法
• 场函数具有不连续的导数
不连续性近似
可视性准则
可视性准则是处理无网格计算中场函数不 连续性最简单的方法。在该方法中，物体的边 界以及内部的不连续面都被看成是不可穿透的 界面。在考虑权函数的影响区域时，将某点A 到另一点B的连线看成是光线，如果它碰到不 可穿透的界面，则该线中止，即B点不包含在 A点的影响区域内。
形成逼近函数 光滑粒子法 移动最小二乘法 单位分解法 重构核粒子法 径向基函数法
与基于网格的方法不同 与基于网格的方法相同
形成求解方程 加权残数法
+
变分原理 边界积分方程
无网格方法的概述
为何采用无网格法？ • 形成FEM网格时的计算成本高 • 应力精度低 • 自适应分析困难 • 对某些问题分析的局限性 大变形问题（如冲压变形） 裂纹扩展问题 流固耦合问题 爆炸问题
h y
无网格方法的近似方案
移动最小二乘近似(MLS)
移动最小二乘近似是由Nayroles和Salkauskas 等人发展起来的。在近似中，取
u ( x)
h
P ( x) a
i 1 i
m
i
( x) P T ( x) a ( x)
其中m是基函数的个数，Pi(x)是基函数，ai(x) 是相应的系数。与标准最小二乘法相比较，移 动最小二乘近似中的系数ai(x)是空间坐标的函 数。通常基函数选用单项式，当然，也可以使 用任何其它函数作为基函数。尤其是在分析具 有奇异性的问题时，可以将奇异函数作为一个 基函数。
• • • • • 无网格方法的概述 无网格方法的近似方案 不连续性近似 离散化实现 基本边界条件的实现
无网格方法的概述
无网格法是在建立问题域的系统代 数方程时，不需要利用预定义的网 格信息，或者只利用更容易生成的 更灵活、更自由的网格进行域离散 的方法。（刘桂荣，2009）
无网格方法的概述
最近几年，Duarte和Oden等人提出了单位分解法， 并且认识到基于移动最小二乘法的近似方法实际上是 单位分解法的一种特例，从而将这类近似方法加以扩 展；Liu等人也对此类方法做了大量的研究工作，并对 其收敛性给以证明。
无网格方法的概述
无网格法求解过 程（与FEM对比）
无网格方法的概述
无网格方法模拟裂纹扩展
无网格方法的近似方案
• 核函数近似方法 • 移动最小二乘近似(MLS) • 单位分解法
无网格方法的近似方案
核函数近似方法
核函数近似方法最初主要用于SPH方 法。它对函数u（x）利用核函数进行近 似 u ( x ) x y , h u ( y ) d x y , h 被称为核函数或权函数，h是紧 支集尺寸的一个度量。
无网格方法的概述
一条构造无网格方法的途径是采用 移动最小二乘法（moving least square approximation method，简记为MLS）进 行近似。Nayroles等人最早将移动最小二 乘近似用于Galerkin方法，并将之称为扩 散单元法（difflnse elernent methods，简 称DEM）。Belytschko等人提出了无单元 的Galerkin法（element free galerkin method，简称EFG）。这类方法具有较 好的协调性及稳定性。
无网格方法的近似方案
单位分解法
单位分解法是由Duarte和Oden等人发展起来的。对 于求解区域 ，单位分解法用一些相互交叉的子域 I 来覆盖，每个子域都与一个函数 I (x) 相联系。函数 I (x) 仅在 I 内非零，并且满足单位分解条件 I ( x) 1
I
Duarte和Oden等人从K阶MLS形函数来构造单位分解， u ( x) ( x) u
Belytschko，Organ等人提出了衍射法则， 用于构造不连续线尖端附近场函数的近似。衍 射法适用于中心对称的权函数，它们仅包含一 个变量S。与常规的权函数w(s)不同之处仅仅在 于对那些可视性法则不可见点的s的计算，从 而可以使影响区绕过不连续线的尖端。
不连续性近似
透射法
无网格方法的概述
计算力学的发展面临着许多难以处理的问 题，例如具有非常大变形的冲压成型问题、裂 纹扩展问题等等。对于这些问题，传统的计算 方法如有限元法、有限差分法等都难于应付。 其主要原因是网格的存在妨碍了处理与原始网 格线不一致的不连续性和大变形。这些基于网 格的方法，在处理随时间变化的不连续性和大 变形时，常用的是网格重构。然而，这样不仅 计算费用昂贵，而且会使计算精度严重受损。 无网格方法中，网格可以彻底或部分地消除， 而采用基于点的近似，因此可以完全抛开网格 重构，从而保证了计算的精度。
离散化实现
• 配点法 • Galerkin方法
基本边界条件的实现
• Lagrange乘子法 • 修正的变分原理 • 与有限元相祸合的无网格方法
谢谢大家
透射法是指在不连续区域的尖端通过透射 的概念将函数加以光滑。在尖端，不连续线被 看成是全透过的；随着与尖端距离的增加，不 连续线的透射性逐渐减小，直至消失。
不连续性近似
场函数具有不连续的导数
对于无网格方法，Cordes和Moran等人提 出Lagrange乘子法来处理这种导数的不连续性， 他们在导数不连续的界面两侧分别加以近似， 然后再通过Lagrange乘子法引入界面处应满足 的连续性条件。
m h K I I I i 1 il i
其中qi(x)可以是单项式基。系数是未知量，可以通过 Galerkin法或配点法求解。
不连续性近似
• 场函数不连续性的处理方法
1、可视性准则 2、衍射法则 3、透射法
• 场函数具有不连续的导数
不连续性近似
可视性准则
可视性准则是处理无网格计算中场函数不 连续性最简单的方法。在该方法中，物体的边 界以及内部的不连续面都被看成是不可穿透的 界面。在考虑权函数的影响区域时，将某点A 到另一点B的连线看成是光线，如果它碰到不 可穿透的界面，则该线中止，即B点不包含在 A点的影响区域内。
形成逼近函数 光滑粒子法 移动最小二乘法 单位分解法 重构核粒子法 径向基函数法
与基于网格的方法不同 与基于网格的方法相同
形成求解方程 加权残数法
+
变分原理 边界积分方程
无网格方法的概述
为何采用无网格法？ • 形成FEM网格时的计算成本高 • 应力精度低 • 自适应分析困难 • 对某些问题分析的局限性 大变形问题（如冲压变形） 裂纹扩展问题 流固耦合问题 爆炸问题
h y
无网格方法的近似方案
移动最小二乘近似(MLS)
移动最小二乘近似是由Nayroles和Salkauskas 等人发展起来的。在近似中，取
u ( x)
h
P ( x) a
i 1 i
m
i
( x) P T ( x) a ( x)
其中m是基函数的个数，Pi(x)是基函数，ai(x) 是相应的系数。与标准最小二乘法相比较，移 动最小二乘近似中的系数ai(x)是空间坐标的函 数。通常基函数选用单项式，当然，也可以使 用任何其它函数作为基函数。尤其是在分析具 有奇异性的问题时，可以将奇异函数作为一个 基函数。