第3章控制系统的数学模型与转换
自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在 方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的 系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的 关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的 给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节， 直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量 间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标 明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见 式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列 于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动 机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动 机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后 再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也 是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同 的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数 也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为 若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统 的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是 理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和 输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后 从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。
《控制系统数字仿真与CAD 第4版》课件第3章 控制系统的数字仿真
传递函数如下：
Id (s) 1/ R Ud 0 (s) E(s) Tl s 1
（3-5）
电流与电动势间的传递函数为：
E(s)
R
Id (s) IdL (s) Tms
上述式（3-5）、（3-6）可用图的形式描述，如图3-2所示。
（3-6）
直流电动机与驱动电源的数学模型
Ud0 s
1/ R Tl s 1
直流电动机的转速/电流双闭环PID控制方案
一、 双闭环V-M调速系统的目的
双闭环V-M调速系统着重解决了如下两方面的问题： 1. 起动的快速性问题
借助于PI调节器的饱和非线性特性，使得系统在电动机允许的过载 能力下尽可能地快速起动。
理想的电动机起动特性为
直流电动机的转速/电流双闭环PID控制方案
从中可知 1）偏差使调节器输出电压U无限制地增加(正向或负向)。因此，输 出端加限制装置（即限幅Um)。 2）要使ASR退出饱和输出控制状态，一定要有超调产生。 3）若控制系统中（前向通道上）存在积分作用的环节，则在给定 作用下，系统输出一定会出现超调。
直流电动机的转速/电流双闭环PID控制方案
三、 关于ASR与ACR的工程设计问题
对上式取拉普拉斯变换，可得“频域”下的传递函数模型为：
Ud 0 (s) Uct (s)
K s eTs s
（3-7）
由于式（3-7）中含有指数函数 eTss，它使系统成为“非最小相位系统”；
为简化分析与设计，我们可将 eTss 按泰勒级数展开，则式（3-7）变成：
Ud 0 (s) Uct (s)
KseTss
n hTn 50.01834s 0.0917s
直流电动机的转速/电流双闭环PID控制方案
自动控制原理(胡寿松)第三章ppt
非线性控制系统是指系统中各部分之间的数学关 系不能用线性方程描述的系统。非线性控制系统 具有非均匀性和非叠加性，分析和设计较为复杂 。
控制系统的基本要求
稳定性
稳定性是控制系统的基本要求之一，是指系统受到扰动后能够回到原始平衡状态的能力。系统稳定性的判断依据是系 统的极点和零点分布情况。
实验法
通过系统输入和输出数据的实验测量，采用系统辨 识的方法得到系统的数学模型。
混合法
结合解析法和实验法的优点，先通过机理分 析建立部分数学模型，再通过实验数据进行 系统参数的调整和优化。
控制系统数学模型的分类
线性时不变系统
描述线性、时不变系统的动态特性，是最常 见的控制系统数学模型。
非线性系统
描述非线性系统的动态特性，其数学模型通 常较为复杂。
时变系统
描述时变系统的动态特性，其数学模型中包 含时间变量。
离散系统
描述离散时间系统的动态特性，其数学模型 通常采用差分方程或离散状态方程。
控制系统数学模型的转换与化简
01
线性化处理
将非线性系统通过泰勒级数展开 等方法转换为线性系统，便于分 析和设计。
化简模型
02
03
模型降阶
对复杂的控制系统模型进行化简 ，如采用等效变换、状态空间平 均等方法。
控制系统设计的步骤与方法
选择合适的控制策略
根据系统特性和要求选择合适 的控制算法。
控制器设计
基于系统模型设计控制器，满 足性能指标。
确定系统要求
明确控制目标，确定性能指标 。
系统建模
建立被控对象的数学模型，为 后续设计提供依据。
系统仿真与调试
通过仿真验证设计的有效性， 并进行实际调试。
matlab里控制系统的三种数学模型的转换
在MATLAB中，控制系统的建模和分析是非常重要的。
控制系统的数学模型是描述系统行为的数学表示，可以用来进行模拟、分析和设计控制系统。
在控制系统中，常见的数学模型包括积分-微分模型、状态空间模型和传递函数模型。
接下来，我将按照深度和广度的要求，对这三种数学模型进行全面评估，并据此撰写一篇有价值的文章。
1. 积分-微分模型在控制系统中，积分-微分模型是一种常见的数学表示方法。
它由两部分组成：积分部分和微分部分。
积分部分描述了系统的累积效应，微分部分描述了系统的瞬时响应。
这种模型常用于描述惯性较大、响应缓慢的系统，例如机械系统和电气系统。
在MATLAB中，可以使用积分-微分模型来进行系统建模和仿真，以分析系统的稳定性和性能指标。
2. 状态空间模型状态空间模型是另一种常见的控制系统数学表示方法。
它由状态方程和输出方程组成，用来描述系统的状态变量和外部输入之间的关系。
状态空间模型适用于描述多变量、多输入多输出系统，例如飞行器、汽车控制系统等。
在MATLAB中，可以使用状态空间模型来进行系统分析和设计，包括系统的稳定性、可控性和可观性分析，以及控制器设计和系统性能评价。
3. 传递函数模型传递函数模型是控制系统中最常用的数学表示方法之一。
它用传递函数来描述系统的输入和输出之间的关系，其中传递函数是输入信号和输出信号的比值。
传递函数模型适用于描述单输入单输出系统，例如电路系统、机械系统等。
在MATLAB中，可以使用传递函数模型进行系统分析和设计，包括频域分析、极点和零点分析，以及控制器设计和系统稳定性评估。
总结回顾：在本文中，我按照深度和广度的要求对MATLAB中控制系统的三种数学模型进行了全面评估。
我从积分-微分模型入手，介绍了其构成和适用范围。
我转而讨论了状态空间模型，阐述了其在多变量系统中的重要性。
我详细介绍了传递函数模型，强调了其在单输入单输出系统中的广泛应用。
在文章的我共享了对这三种数学模型的个人观点和理解，指出了它们在控制系统中的重要性和实用性。
自动控制原理第3章
2
一、典型的输入信号
1、阶跃信号 数学表达式
r(t) A t 0
拉氏变换式
R(s) A s
当A=1时，称为单位阶跃信号！
r(t) 1
2.斜坡信号 数学表达式
r(t)
R(s) 1 s
At t 0 0 t0
3
典型的输入信号
y(tr ) 1
经整理得
tr
n
1
2
25
二阶系统分析
t tp
2、超调量 ：
暂态过程中被控量的最大值超过稳态值的百分数。
即
%
y(t
P ) y y
100
%
峰值时间 t t p
在 t 时t p刻对 求y导t，令其等于零，经整理得
tp 1 2n
将其代入超调量公式得
% e 1 2 100%
r(t)
A 0t 0 t0 t
拉氏变换式 R(s) A
5
典型的输入信号
当A=1时， 称为单位理想脉冲信号
r(t) (t) R(s) 1
5、正弦信号 数学表达式
r(t) Asin t t 0
拉氏变换式
R(s)
A s2 2
6
二、时域性能指标
以单位阶跃信号输入时，系统输出的一些特征值来表示。
系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入 信号响应的微分（积分）。
例3-1(解释)
14
第三节 二阶系统分析 一、二阶系统
用二阶微分方程描述的系统。 二、二阶系统典型的数学模型
先看例：位置跟踪系统
15
二阶系统分析 系统结构图：
控制系统数学模型及其转换
第三章控制系统数学模型及其转换
系统类型
一.连续和离散系统
根据系统变量是时间连续函数还是时间离散函数，系统分 为连续系统和离散系统。 (1) 连续系统——系统输入、输出信号都是连续时间信号。 （一般L、R、C电路） (2) 离散系统——系统输入、输出信号都是离散时间信号。 （数字计算机） (3) 混合系统——系统输入、输出信号包含连续信号和离 散信号。（计算机控制系统 ） 连续时间系统的数学模型用微分方程描述。离散时间系统 的数学模型用差分方程描述。
3.7
第三章控制系统数学模型及其转换
控制系统常用数学模型
2．传递函数 若系统的初始条件为零，那么对微分方程两边取拉普拉斯 变换后可得
s n Y ( s ) a 1 s n 1 Y ( s ) a n 1 s Y ( s ) a n Y ( s ) b 0 s m U ( s ) b 1 s m 1 U ( s ) b m
引进后移算子 q 1 q1y(k)y(k1)
可得
3.12
n
n
ajqjy(k n) bjqju(k n)
j0
y(n k)
n
j1
bjq j
j1
B(q 1)
u(n k)
n
ajq j
A(q 1)
j0
第三章控制系统数学模型及其转换
控制系统常用数学模型
2．离散传递函数(Z传函) 假设系统的初始条件为零，即 y(k)u(k)0( k 0 ) 则得
第三章控制系统数学模型及其转换
控制系统常用数学模型
对于线性时变系统，系数矩阵A，B，C，D，均与时间t有关， 状态空间描述为
X A(t)XB(t)U Y C(t)XD(t)U
控制系统的数学模型及传递函数【可编辑全文】
可编辑修改精选全文完整版控制系统的数学模型及传递函数2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。
《控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用第2版》薛定宇_课后习题答案
【17】
（1)z＝ｘy
＞>[x,y]=mesｈgrid(-3:0.01:3，-3：0.０1:３);
z=x.*y；
mesh(x,ｙ，z);
>> contoｕr3(x,ｙ,z,５0)；
(１)ｚ=sin（xｙ)
>> [x,y］=mesｈgrid(-3:０.01:3，-3:０.０1：3);
【２】
相应的ＭATＬAB命令:B=A(２：2:end,：）
>>Ａ=ｍagic(8)
A=
64２361６06７57
95５5412１3 51５01６
1７47４6 20２１43 42２4
40262737３6 30313３
3２３435 29２838 392５
41２32244４5１91８48
4９１514 5253 11 10 5６
【１0】
fｕｎcｔion y＝fｉb(ｋ)
if nargin~=1,ｅrror（＇出错：输入变量个数过多，输入变量个数只允许为１!')；ｅｎdﻭif narｇout＞１,ｅｒrｏr(＇出错：输出变量个数过多！'）;end
if k<=０,error('出错:输入序列应为正整数！＇）;endﻭiｆk==1|k＝=2,y＝１;ﻭｅｌsｅy=ｆib（k-１)＋fib(k-２);ｅnｄﻭeｎｄ
8５8 5954 62 6３1
＞＞Ｂ=Ａ(2:2:ｅnd，:)
B =
9５5 54１21３515０16
402６27３7 3６30３1３3
4１２3２24４4519１8 4８
858 5954 6２631
3第三章控制系统的数学模型
R( s)
bm s m + bm −1s m −1 + +b1s + b0
C ( s) G (s) = 称为系统或元件的传递函数， 令 R ( s ) ，称为系统或元件的传递函数，
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3.2 传递函数
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3.1 控制系统的微分方程
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项放在微 将该方程整理成标准形式。 分方程的右边，把与输出量有关的各项放在微分方程的左边， 分方程的右边，把与输出量有关的各项放在微分方程的左边，方程 两边各阶导数按降幂排列， 两边各阶导数按降幂排列，并将方程的系数化为具有一定物理意义 的表示形式，如时间常数等。 的表示形式，如时间常数等。
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3.2 传递函数
（4）传递函数的分母是它所对应的微分方程的特征方程多项 式，即传递函数的分母是特征方程 an s n + an −1s n −1 + • • • + a1s + a0 = 0 的 等号左边部分。而以后的分析表明： 等号左边部分。而以后的分析表明：特征方程的根反映了系统的动 态过程的性质，所以由传递函数可以研究系统的动态特性。 态过程的性质，所以由传递函数可以研究系统的动态特性。特征方 程的阶次n即为系统的阶次。 程的阶次n即为系统的阶次。 （5）传递函数的分子多项式的阶次总是低于分母多项式的阶 次，即 m
≤ n 。这是由于系统总是含有惯性元件以及受到系统能源
的限制的原因。 的限制的原因。
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3.3 控制系统的动态结构图
自动控制原理第3章
例1. 系统特征方程式为
s 6 s 12 s 11 s 6 0
4 3 2
例2. 系统特征方程式为
s 3 s 2 s s 5s 6 0
5 4 3 2
特殊情况:
1) 劳斯行列表中某一行左边第一个数为零,其余 不为零或没有. 例: 例:
s 4 3s 3 s 2 3S 1 0
-
1/s
k/(s+5)(s+1)
例:系统特征方程式:
2 s 3 T s 2 10 s 100 0 s
4
按稳定要求确定T的临界值.
六.系统的相对稳定性
§3-3 控制系统的稳态误差
一.误差及稳态误差的定义 系统的误差为 e(t)=被控量的希望值－被控量的实际值 常用的误差定义有两种
二.线性定常系统稳定的充分必要条件
线性定常系统微分方程为:
a0
d dt
n 1
n
n
c (t )
d a dt
1
n 1
c (t ) n 1
d a dt
2
n2 n2
c (t )
d a dt
3
n3 n3
c ( t ) ........
a
d dt
m m
c (t )
a
n
c (t )
第三章 控制系统的时域分析法
§3-1 引言
一. 典型输入信号 1、阶跃函数
r(t)
r (t ) {
0 A
t0 t0
A
t
2、斜坡函数
r(t) {
r(t)
0 At
t0 t0
斜率＝A
第3章控制系统数学模型及其转换
第三章 控制系统数学模型及其转换3.1 控制系统常用数学模型（线性时不变\ LTI 模型） ● 传递函数模型● 零极点增益模型● 状态空间模型● 部分分式模型1.传递函数模型（transfer function model ）连续系统传递函数为：n n n m m m a s a s a b s b s b s G ++++++=-- 110110)(离散系统传递函数为：n n n m m m a z a z a b z b z b z G ++++++=-- 110110)(MATLAB 中可采用tf 函数建立传递函数，其调用格式为：（设num=[b 0,b 1,…,b m ]为分子多项式系数组成的向量，den=[a0,a1,…,a m]为分母多项式系数组成的向量）①sys=tf(num,den)生成连续传递函数。
②sys=tf(num,den,T s)生成离散传递函数，T s为采样时间。
当T s=[ ]或T s=-1时，表示采样时刻未指定。
③sys=tf(num,den,’Property1’,Value1,’Property2’ , Value2,…, ’PropertyN’,ValueN)生成具有LTI模型属性的连续传递函数。
④sys=tf(num,den,T s ,’Property1’,Value1,’Property2’ , Value2,…, ’PropertyN’,ValueN)生成具有LTI模型属性的离散传递函数。
⑤sys=tf(‘s’)用于生成s域的有理传递函数⑥sys=tf(‘z’, T s)用于生成z域的有理传递函数,且采样周期为T s ⑦sys_tf=tf(sys)将其它模型转换成传递函数的形式(s→s,z→z) 例：给定SISO系统的传递函数为：132106126)(23423+++++++=s s s s s s s s G用MATLAB 语句表示该传递函数。
解：法1: num=[6,12,6,10];den=[1,2,3,1,1];sys=tf(num,den)结果为：Transfer function:6 s^3 + 12 s^2 + 6 s + 10----------------------------------s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s + 1法2:s=tf('s');sys=(6*s^3+12*s^2+6*s+10)/(s^4+2*s^3+3*s^2+s+1) 结果仍为：Transfer function:6 s^3 + 12 s^2 + 6 s + 10----------------------------------s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s + 1也可采用printsys 函数，如：num=[6,12,6,10];den=[1,2,3,1,1];printsys (num,den) % printsys(num,den,’s ’)printsys(num,den,’z ’), 默认时为S 域。
精品文档-物联网控制基础(王志良)-第3章
第 3 章 控制理论与方法
9
3.1.2 自动控制系统的分类 1. 线性连续控制系统可以用线性微分方程描述， 其一般形
式为
式中， c(t)是被控量； r(t)是系统输入量。 系数a0, a1， …, an， b0， b1， …， bm是常数时， 称该系统为 定常系统； 系数a0， a1， …， an， b0， b1， …， bm 随时间变化时， 称该系统为时变系统。
第 3 章 控制理论与方法
29
（2） 传递函数G(s)的拉氏反变换是单位脉冲响应g(t)。 单位脉冲响应（也称脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲δ(t) 输入时的输出响应， 因此R(s)=L［δ(t)］=1， 故有g(t)= L－1［C(s)］=L－1［G(s)R(s)］=L－1［G(s)］。
第 3 章 控制理论与方法
18
如果F(s)已知， 要求出它所对应的原函数f(t)， 则称 F(s)到f(t)的这种变换为拉普拉斯反变换。 它的定义为
为书写简便起见， 通常可用记号“L［］”表示对方 括号里的函数作拉氏变换， 即L［f(t)］=F(s)； 用记号 “L－1［］”表示对方括号里的函数作拉氏反变换， 即 f(t)=L－1［F(s)］。
第 3 章 控制理论与方法
21
性质3 （时域）导数性质（微分定理）： 原函数 f(t)的象函数与其导数f′(t)=df／(t)dt的象函数之间有如 下关系：
式中， f(0)为原函数f(t)在t=0时的值。
第 3 章 控制理论与方法
22
性质4 （时域）积分性质（积分定理）： 原函数 f(t)的象函数与其积分的象函数之间有如下关系:
第 3 章 控制理论与方法
30
（3） 服从不同物理规律的系统可以有同样的传递函数， 正如一些不同的物理现象可以用形式相同的微分方程描述一样， 故它不能反映系统的物理结构和性质。 传递函数只描述系统的 输入/输出特性， 而不能表征系统内部所有状况的特性。
控制工程基础7-第3章 (控制系统时域分析-1)
动态过程与稳态过程
动态过程
又称过渡过程或瞬态过程，指 系统在典型输入信号作用下， 系统输出量从初始状态到最终 状态的响应过程。
y
瞬态过程
稳态过程
稳态过程
t
0
稳号态作过用程下指，系当统时在间典t趋型于输无入穷信时，某系统的单位阶跃响应曲线
系统输出量的表现方式。
稳态过程又称稳态相应，表征 系统输出量最终复现输入量的 程度，提供系统有关稳态误差 的信息，用稳态误差描述
应上升越快，响应过程的快速性也越
好。
系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得
的曲线与上图作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统
或等效为一阶系统。
22
输入r(t)=1(t)，输出
c(
t
)
1
1
eT
t
(
t
0
)
S平面 j
p=-1/T 0
(a) 零极点分布
c(t) 初始斜率为1/T
1
0.865 0.95 0.982
当A=1时，即面积为1的脉冲函数称
为单位脉冲函数，记为(t)
( t )
0
1/
t 0 ,t 0t
(t) 1
（t）函数的图形如右图所示。
t
0
脉冲函数的积分就是阶跃函数。
脉冲函数的拉氏变换为
R( s ) L[ r( t )] A ( t )estdt 0
r(
t
)
1 2
At 2
t0
t 01
输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做
等加速变化的信号，其图形如图所示。
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
第三章 系统模型及转换
对于离散时间系统来讲，状态空间模型可以写成 X(k十1)＝FX(k)＋GU(k) Y(k+1)＝CX(k+1)十DU(k+1) 在MATLAB中，用函数SS也可以建立一个离散时间系统 的传递函数模型，其调用格式为 sys＝ss(F，G，C，D，Ts) 其中，F，G，C，D为离散系统状态方程系数矩阵；Ts为 采样周期。
3.2.2 系统的传递函数模型
传递函数是经典控制论描述系统数学模型的一种方法，它表 达了系统输入量和输出量之间的关系。它只和系统本身的结 构、特性和参数有关，而与输入量的变化无关。传递函数是 研究线性系统动态响应和性能的重要工具。 对于一个SISO连续系统，系统相应的微分方程作Laplace变 换，则该连续系统的传递函数为
若系统的输入和输出量不是一个，而是多个，则称为多输入 多输出系统(MIMO)。和SISO系统类似，MIMO系统的数学模 型形式也有微分方程、传递函数、矩阵状态空间和零极点。
对于SISO离散时间系统进行Z变换，则可得到该离散系统的 脉冲传递函数(或Z传递函数)
f m z m f m1 z m1 ... f 0 Y ( z) G( z ) U ( z) g n z n g n1 z n1 ... g 0
an y(n) (t ) an1 y(n1) (t ) ... a0 y(t ) bmu (m) (t ) bm1u (m1) (t ) ... b0u(t )
其中，y和u分别为系统的输出与输入，ai和bi分别表示输 出和输入各导数项系数。
离散时间系统用差分方程描述。对于单输入单输出的系统系 统模型的一般形式为：
[num，den]＝fdata(sys，’v’) [z，p，k]＝zpkdata(sys，’v’)
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3.4.1 连续模型和离散模型的相互转换
连续状态方程的解析阶
采样周期 选择
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这样可以得出离散模型
记 则可以得出离散状态方程模型
MATLAB函数直接求解
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例3-18 时间延迟系统的离散化
MATLAB求解 零阶保持器变换
变换结果
数学形式
注意兼容性 MATLAB表示方法
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离散延迟系统的状态方程
数学模型
MATLAB表示方法
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3.3 方框图描述系统的化简
单环节模型前面已经介绍了 实际系统为多个环节互连 如何解决互连问题，获得等效模型？ 主要内容
控制系统的典型连接结构 节点移动时的等效变换 复杂系统模型的简化
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该模型可以转换回传递函数矩阵
得出的转换结果
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3.4.4 状态方程的最小实现
例3-23 观察传递函数模型
未见有何特殊 求取零极点模型
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得出结果
相同位置的零极点，可以对消 问题：状态方程如何处理？ MATLAB解决方法
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系统数学模型的获取
建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推 导的方式建立起系统的数学模型 辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型
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系统数学模型的分类
非线性 系统 模型 线性 连续 单变量
定常
时变
离散 混合
多变量
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主要内容
线性连续系统的数学模型与MATLAB表示 线性离散时间系统的数学模型 方框图描述系统的化简 系统模型的相互转换 线性系统的模型降阶 线性系统的模型辨识 本章要点简介
零极点模型是因式型传递函数模型
零点 、极点 零极点模型的 MATLAB表示
和增益
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例3-5 零极点模型
MATLAB输入方法
另一种输入方法
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3.1.4 多变量系统传递函数矩阵模型
传递函数矩阵
为第 i 输出对第 j 输入的传递函数 可以先定义子传递函数，再由矩阵定义
例3-24 多变量模型
不能直接看出是否最小实现
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MATLAB求解
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3.5 线性系统模型降阶
用低阶模型近似高阶模型 和最小实现不同 最早由Edward J. Davison提出(1966) 主要内容
与Routh算法 时间延迟模型的 近似 带有延迟的最优降阶算法 状态空间的降阶算法
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Routh 降阶方法与实例
Routh算法（较烦琐，从略）
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Routh算法的最大特色：稳定系统降阶后能 保证降阶模型稳定性 例3-23 仍考虑稳定模型
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3.5.3 时间延迟模型的 Padé近似
纯延迟的Padé 近似方法 近似函数 纯滞后逼近
状态方程模型
状态变量 ， 阶次 n ，输入和输出 非线性函数： 一般非线性系统的状态方程描述
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线性状态方程
时变模型
线性时不变模型 (linear time invariant, LTI)
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线性时不变模型的MATLAB描述
MATLAB 输入方法
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这样可以得出
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降阶求解函数
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例3-25 原始模型
Padé近似
结果
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例3-26 反例
零极点模型求取
稳定模型
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Padé近似
不稳定降阶模型
Padé不能保证降阶模型的稳定性 不稳定降阶模型可能得出稳定降阶模型
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编写 MATLAB 函数
其中 r/m 任意选择 可以选择 0/m ，以避免非最小相位模型
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例3-24 纯延迟模型
MATLAB求解
拟合结果
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例3-29 已知带有延迟的线性模型
可以得出近似模型
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*3.5.4 带有时间延迟系统的 次最优降阶算法
伪随机二进制序列
pseudo-random binary sequence 频率丰富 值为 可重复构建 MATLAB直接生成
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例3-13 电机拖动模型
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信号单独输入
得出另一个传递函数
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最终得出传递函数矩阵
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3.4 系统模型的相互转换
前面介绍的各种模型之间的相互等效变换
主要内容
连续模型和离散模型的相互转换 系统传递函数的获取 控制系统的状态方程实现 状态方程的最小实现 传递函数与符号表达式的相互转换
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传递函数属性修改
例 延迟传递函数
，即
若假设复域变量为 ，则
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传递函数参数提取
由于使用单元数组，直接用 有两种方法可以提取参数
不行
这样定义的优点：可以直接描述多变量系统 第 i 输入对第 j 输入的传递函数
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3.1.2 线性系统的状态方程模型
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例3-6 多变量模型
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3.2 线性离散时间系统的数学模型
单变量系统：差分方程取代微分方程
主要内容
离散传递函数 离散状态方程
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3.2.1 离散传递函数模型
数学表示 （Z变换代替Laplace变换）
MATLAB表示 （采样周期 ）
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Tustin变换 数学表示
其他转换方法
FOH 一阶保持器 matched 单变量系统零极点不变 imp 脉冲响应不变准则
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离散模型连续化
对前面的变换求逆
Tustin反变换 MATLAB求解 (无需 )
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3.4.2 系统传递函数的获取
例3-1 输入传递函数模型
MATLAB输入语句
在MATLAB环境中建立一个变量 G
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另外一种传递函数输入方法
例 如何处理如下的传递函数？
定义算子
，再输入传递函数
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应该根据给出传递函数形式选择输入方法 例 输入混合运算的传递函数模型
显然用第一种方法麻烦，所以
为阶次，
为常数，
物理可实现
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传递函数的引入
Pierre-Simon Laplace (1749--1827)，法国数学家 Laplace变换 Laplace变换的一条重要性质： 若 则
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传递函数表示
数学方式
MATLAB输入语句
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传递函数输入举例
算子输入方法：
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例3-7 离散传递函数，采样周期
MATLAB输入方法
另一种输入方法
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离散延迟系统与输入
数学模型
延迟为采样周期的整数倍 MATLAB输入方法
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MATLAB表示方法
例3-8
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3.2.2 离散状态方程模型
第3章 控制系统的数学模型与转换
薛定宇著《控制系统计算机辅助设计---MATLAB 语言与应用》第二版，清华大学出版社2006 CAI课件开发：张望舒 哈尔滨工程大学 薛定宇 东北大学
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系统的数学模型
系统数学模型的重要性
系统仿真分析必须已知数学模型 系统设计必须已知数学模型 本课程数学模型是基础
由传递函数到状态方程的转换 不同状态变量选择，结果不唯一 默认变换方式，采用MATLAB函数
G可以是传递函数、状态方程和零极点模型 适用于有延迟的、离散的或多变量模型
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例 连续多变量模型