第3章控制系统的数学模型与转换

系统数学模型的获取
建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推 导的方式建立起系统的数学模型 辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型

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系统数学模型的分类
非线性 系统 模型 线性 连续 单变量
定常
时变
离散 混合
多变量
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主要内容



线性连续系统的数学模型与MATLAB表示 线性离散时间系统的数学模型 方框图描述系统的化简 系统模型的相互转换 线性系统的模型降阶 线性系统的模型辨识 本章要点简介

可以给出如下命令

得出的降阶模型
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降阶算法综述


状态方程方法不能任意选择分母分子阶次， 而很多传递函数方法可以 降阶效果比较，下章给出
时域响应比较 频域响应比较


降阶模型的应用
仿真应用（用途越来越小） 控制器设计应用

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3.6 线性系统的模型辨识

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3.5.1 降阶算法 与 Routh 降阶算法

原始模型

寻求降阶模型

假设
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展开原模型

其中时间矩量 可以递推求出

若已知状态方程模型
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时间矩量的MATLAB求解

降阶思想：保留前
时间矩量
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对比系数，则
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Tustin变换 数学表示


其他转换方法
FOH 一阶保持器 matched 单变量系统零极点不变 imp 脉冲响应不变准则

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离散模型连续化

对前面的变换求逆

Tustin反变换 MATLAB求解 (无需 )

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3.4.2 系统传递函数的获取
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例3-9

控制器为对角矩阵
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38
3.3.2 节点移动时的等效变换

考虑模型

难点：A点在回路间，移至输出端
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节点移动
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40
3.3.3 复杂系统模型的简化
例3-12 原系统可以移动

新支路模型
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得出
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传递函数属性修改

例 延迟传递函数
，即

若假设复域变量为 ，则
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传递函数参数提取


由于使用单元数组，直接用 有两种方法可以提取参数
不行

这样定义的优点：可以直接描述多变量系统 第 i 输入对第 j 输入的传递函数
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3.1.2 线性系统的状态方程模型


降阶模型的降阶效果 误差定义

ISE准则
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原模型

降阶模型

降阶误差定义
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参数向量 误差


MATLAB实现（从略） 调用格式
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例3-30 对给出的传递函数进行降阶研究

可以给出下面的语句

得出的降阶模型为
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例3-31 已知高阶模型
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Routh 降阶方法与实例

Routh算法（较烦琐，从略）
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Routh算法的最大特色：稳定系统降阶后能 保证降阶模型稳定性 例3-23 仍考虑稳定模型

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3.5.3 时间延迟模型的 Padé近似

纯延迟的Padé 近似方法 近似函数 纯滞后逼近


由传递函数到状态方程的转换 不同状态变量选择，结果不唯一 默认变换方式，采用MATLAB函数

G可以是传递函数、状态方程和零极点模型 适用于有延迟的、离散的或多变量模型
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例 连续多变量模型

状态方程获取
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得出的状态方程模型

ioDelay矩阵
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3.1 连续线性系统的数学 模型与MATLAB表示


3.1.1线性系统的状态方程模型
3.1.2 线性系统的传递函数模型 3.1.3 线性系统的零极点模型 3.1.4 多变量系统的传递函数矩阵模型

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5
3.1.1 线性连续系统数学模型及 MATLAB 表示

线性系统的传递函数模型


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编写 MATLAB 函数

其中 r/m 任意选择 可以选择 0/m ，以避免非最小相位模型
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例3-24 纯延迟模型

MATLAB求解

拟合结果
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例3-29 已知带有延迟的线性模型

可以得出近似模型
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*3.5.4 带有时间延迟系统的 次最优降阶算法

伪随机二进制序列
pseudo-random binary sequence 频率丰富 值为 可重复构建 MATLAB直接生成



矩阵是 方阵， 为 矩阵 为 矩阵， 为 矩阵 可以直接处理多变量模型 给出 矩阵即可 注意维数的兼容性
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例3-4
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带时间延迟的状态方程

数学模型

MATLAB输入语句

其他延迟属性：ioDelay
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3.1.3 线性系统的零极点模型
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该模型可以转换回传递函数矩阵

得出的转换结果
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3.4.4 状态方程的最小实现
例3-23 观察传递函数模型


未见有何特殊 求取零极点模型
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得出结果

相同位置的零极点，可以对消 问题：状Fra Baidu bibliotek方程如何处理？ MATLAB解决方法
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模型辨识

由已知实测数据获得系统模型的方法 时域响应数据、频率响应数据
实测数据

主要内容
离散系统辨识方法 辨识信号生成 多变量系统辨识 离散系统在线辨识

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3.6.1 离散系统的模型辨识

离散传递函数模型

对应的差分方程模型
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已知实测信号
例3-24 多变量模型

不能直接看出是否最小实现
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MATLAB求解
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3.5 线性系统模型降阶


用低阶模型近似高阶模型 和最小实现不同 最早由Edward J. Davison提出(1966) 主要内容
与Routh算法 时间延迟模型的 近似 带有延迟的最优降阶算法 状态空间的降阶算法
第3章 控制系统的数学模型与转换


薛定宇著《控制系统计算机辅助设计---MATLAB 语言与应用》第二版，清华大学出版社2006 CAI课件开发：张望舒 哈尔滨工程大学 薛定宇 东北大学
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系统的数学模型

系统数学模型的重要性
系统仿真分析必须已知数学模型 系统设计必须已知数学模型 本课程数学模型是基础
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例3-13 电机拖动模型

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信号单独输入

得出另一个传递函数
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最终得出传递函数矩阵
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3.4 系统模型的相互转换


前面介绍的各种模型之间的相互等效变换
主要内容
连续模型和离散模型的相互转换 系统传递函数的获取 控制系统的状态方程实现 状态方程的最小实现 传递函数与符号表达式的相互转换

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3.4.1 连续模型和离散模型的相互转换

连续状态方程的解析阶

采样周期 选择
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这样可以得出离散模型

记 则可以得出离散状态方程模型


MATLAB函数直接求解
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例3-18 时间延迟系统的离散化

MATLAB求解 零阶保持器变换
变换结果

零极点模型是因式型传递函数模型

零点 、极点 零极点模型的 MATLAB表示
和增益
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例3-5 零极点模型

MATLAB输入方法

另一种输入方法
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3.1.4 多变量系统传递函数矩阵模型

传递函数矩阵

为第 i 输出对第 j 输入的传递函数 可以先定义子传递函数，再由矩阵定义

基于MATLAB的计算方法



并联
优点，无需实现转换
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系统的反馈连接

反馈连接

正反馈
负反馈
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状态方程的反馈等效方法

其中 若
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反馈连接的MATLAB求解

LTI 模型

符号运算 (置于@sym目录)
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例3-10


算子输入方法：
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例3-7 离散传递函数，采样周期

MATLAB输入方法

另一种输入方法
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离散延迟系统与输入

数学模型

延迟为采样周期的整数倍 MATLAB输入方法
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MATLAB表示方法
例3-8
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3.2.2 离散状态方程模型
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数学形式

辨识模型的提取

还可以写成
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还可以由下面语句求解

辨识结果
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直接辨识方法

辨识结果

辨识界面：ident
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3.6.2 离散系统辨识信号的生成


问题：什么样信号激励系统，辨识效果最好？ 有丰富频率信息的信号最好，如 PRBS

状态方程模型

状态变量 ， 阶次 n ，输入和输出 非线性函数： 一般非线性系统的状态方程描述
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线性状态方程

时变模型

线性时不变模型 (linear time invariant, LTI)
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线性时不变模型的MATLAB描述

MATLAB 输入方法

已知状态方程

两端Laplace变换

则
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因此可以得出传递函数
难点 基于Fadeev-Fadeeva算法能得出更好结果



由零极点模型，直接展开分子分母 用MATLAB统一求解
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例 多变量模型，求传递函数矩阵
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3.4.3 控制系统的状态方程实现

为阶次，
为常数，
物理可实现
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传递函数的引入
Pierre-Simon Laplace (1749--1827)，法国数学家 Laplace变换 Laplace变换的一条重要性质： 若 则
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传递函数表示

数学方式

MATLAB输入语句
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传递函数输入举例
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例3-6 多变量模型
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3.2 线性离散时间系统的数学模型

单变量系统：差分方程取代微分方程

主要内容
离散传递函数 离散状态方程

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3.2.1 离散传递函数模型

数学表示 （Z变换代替Laplace变换）
MATLAB表示 （采样周期 ）

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3.3.1 控制系统的典型连接结构

系统串、并联

串联传递函数 并联传递函数
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串、并联状态方程模型

串联系统的状态方程

并联系统的状态方程
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串、并联系统的MATLAB求解

若一个模型为传递函数、另一个为状态方 程，如何处理？

将二者变换成同样结构再计算 串联 注意次序：多变量系统

例3-1 输入传递函数模型

MATLAB输入语句

在MATLAB环境中建立一个变量 G
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另外一种传递函数输入方法

例 如何处理如下的传递函数？

定义算子
，再输入传递函数
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应该根据给出传递函数形式选择输入方法 例 输入混合运算的传递函数模型
显然用第一种方法麻烦，所以

数学形式


注意兼容性 MATLAB表示方法
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离散延迟系统的状态方程

数学模型

MATLAB表示方法
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3.3 方框图描述系统的化简

单环节模型前面已经介绍了 实际系统为多个环节互连 如何解决互连问题，获得等效模型？ 主要内容
控制系统的典型连接结构 节点移动时的等效变换 复杂系统模型的简化
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这样可以得出
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降阶求解函数
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例3-25 原始模型

Padé近似

结果
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例3-26 反例
零极点模型求取

稳定模型
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Padé近似

不稳定降阶模型


Padé不能保证降阶模型的稳定性 不稳定降阶模型可能得出稳定降阶模型

输入
输出

由数据可以得出
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矩阵形式

定义残差最小指标 最小二乘解
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系统辨识工具箱求解


T 为结构体变量，T.a, T.b, tf(T)
当然由前面的公式也能直接求解
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例3-32 实测数据
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基于MATLAB的求解