几何体与球切,接的问题(解析版)

2018高考数学二轮复习（文科）
几何体与球切、接问题
一、选择题（12*5=60分）
1.【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考】若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图1所示，则此几何体的表面积是（ ）
A ．(4π+
B ．6π+
C ．6π
D ．(8π 【答案】C 【解析】
圆柱的侧面积为ππ42121=⨯⨯=S ，半球的表面积为ππ21222=⨯=S ，圆锥的侧面积为
ππ2213=⨯⨯=S ，所以几何体的表面积为ππ26321+=++=S S S S ，故选C.
2.【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考】已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥
平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，PA PD ==锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）
A ．10π
B ．4π C. 16π D ．8π 【答案】D
ππ8242
=⨯=S ,应选D.
3.【2016届甘肃省天水市一中高三上学期期末考试】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P —ABCD ，其中底面四边形ABCD 是边长为1的正方形，1PA =，且D A BC P A ⊥平面，则球体毛坯体积的最小值应为（ ）
A ．
3 B C ．43π
D ．2
【答案】D
4.【2016届河北省邯郸市一中高三下学期研六考试】在菱形ABCD 中，60,A AB =︒=将ABD 折起到PBD 的位置，若二面角P BD C --的大小为23
π
，则三棱锥P BCD -的外接球的体积为（ ）
A ．
43π B D 【答案】C 【解析】
取BD 中点E ，连接AE CE ，，则23
32
AEC AE CE π∠=
==，，设BCD V 的外接圆的圆心与球心的距离为h ，三棱锥P BCD -的外接球的半径为R ，则
22222154()()R h h R =+-+=，∴22
R h ==
∴三棱锥P BCD -的外接球体
积为
3(6
432π⋅=
．故选：C ． 5.【2016届湖南师大附中高三上学期月考四】若长方体1111D C B A ABCD -中，AB=1，C B 1，
D C 1分别与底面ABCD 所成的角为︒45，︒60，则长方体1111D C B A ABCD -的外接球的体积为
（ ） A ．
677π B ．37π C ．3
74π D ．67π
【答案】A
6.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ） A ． 18
B ．36
C ． 45
D ． 54
【答案】D 【解析】
由三视图知：几何体为正三棱柱，
∵俯视图是边长为6的正三角形，∴几何体的内切球的半径R=6×
33
1
23=⨯， ∴三棱柱的侧棱长为32． ∴几何体的表面积
35432632
3
66212=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=S ，故选：D ．
7.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．π3
C ．π2
D ．π 【答案】
B
8.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a
，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
左视图
（ ）
A.2a π
B. 2
3
7a π C. 2
3
11a π D. 25a π 【答案】B 【解析】
根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为220
2127)60sin 2()2(a a a R =+=， 球的表面积为2
23
71274a a S ππ=⋅
=，故选B ． 9.【广东省惠州市2017届高三第一次调研】已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2AB =， 2SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ）
A ．1 C
【答案】A
【解析】因为三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，
S
∴ 在面ABC 内的射影为AB 中点H ，SH ∴⊥平面ABC ，SH ∴上任意一点到
,,A B C 的距离相等．
S
∴ SH 1CH =，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO ，则O 为S ABC -的
外接球球心．
2SC = ，1SM ∴=，30OSM ∠=︒，SO OH ∴=
=
，即为O 到平面ABC 的距离，故选A ．
10.【2016届河北省正定中学高三上学期期末考试】球O 半径为13=R ，球面上有三点A 、B 、
C ，312=AB ，12==BC AC ，则四面体OABC 的体积是
A ．360
B ．350
C ．660
D ．650 【答案】A
11.【2016届贵州省贵阳市一中高三第五次月考】如图，已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是（ ）
A ．74π
B ．2π
C ．94π
D ．3π
【答案】C 【解析】
设正ABC △的中心为1O ，连接1O A ，11O O O C ，，∵1O 是正ABC △的中心，A B C ，，
三点都在球面上，∴1O O ABC ⊥平面，结合1O C ABC ⊂平面，可得11O O O C ⊥，∵球的半径2R =，球
心O 到平面ABC 的距离为1，得11O O =，∴在1Rt O OC △
中，1OC =又∵E 为AB 的中点，ABC △是等边三角形，13
cos302
AE AO =︒=∴，∵过E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的半径32r =，可得截面面积为29ππ4
S r ==，故选C ．
12.【江西省新余市2016届高三第二次模拟】已知C B A 、、是球O 的球面上三点，2=AB ，
32=AC ， 60=∠ABC ，且棱锥ABC O -的体积为
3
6
4，则球O 的表面积为（ ） A ．π10 B ．π24 C ．π36 D ．π48 【答案】 D
二、填空题（4*5=20分）
13.【2016届河北省邯郸一中高三下学期研七】球O 面上四点P 、A 、B 、C 满足：PA 、PB 、
PC 两两垂直，3,4,PA PB PC ===O 的表面积等于______．
【答案】100π 【解析】
空间四个点P A B C 、、、在同一球面上，PA PB PC 、、两两垂直，
且3,4,PA PB PC ===则P
A P
B P
C 、、可看作是长方体的一
个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P A B C 、、、的球面即为棱
长分别为3,4,PA PB PC ===
10=，所以这个球面的面积
2
1024100S ππ⎛⎫
=⎪⎝⎭
=．
14.【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研】已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径5R =，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为__________． 【答案】
128
3
π
15.【湖北省襄阳市第四中学2017届高三七月第二周周考】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的表面积为________． 【答案】169π 【解析】
由下图可知，球心在O 的位置，球的半径为2
2252514416962444R ⎛⎫
=+=+=
⎪⎝⎭，故表面积为24169R ππ=．
16.【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）】已知三棱锥S ABC -，满足
,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，则点Q
到平面ABC 的距离的最大值为 .
三、解答题（共6道小题，共70分）
17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．
【答案】
3
R 【解析】由条件可抓住BCD A -是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设a AB =，则截面BCD 与球心的距离R a d -=
3
6
，过点B 、C 、D 的截面圆半径a r 33=
，所以222)36()33(R a R a --=得R a 3
62=．
18. 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
．
19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，
O 的体积.
【答案】
9
2
π． 【解析】本题用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图所
示的长方体，又因为CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O 的体积等于
92
π.
20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0
DAB=60∠，E 为AB 的
中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE
的外接球的体积.
． 【解析】如图，因为AE=EB=DC=1，0
DAB=CBE=DEA=60∠∠∠，所以
AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD =，即三棱锥P-DCE 为正四面体，至此，不难求得三棱
.
21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.
【答案】9π．
C
D
C
E
22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6
1
，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．
【答案】
【解析】设球的半径为R ，小圆的半径为r ，则ππ42=r ，∴2=r ． 如图所示，设三点A 、B 、C ，O 为球心，3
62π
π==
∠=∠=∠COA BOC AOB ．又∵OB OA =，∴AOB ∆。