几何体与球切,接的问题(解析版)

2018高考数学二轮复习（文科）

几何体与球切、接问题

一、选择题（12*5=60分）

1.【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考】若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图1所示，则此几何体的表面积是（ ）

A ．(4π+

B ．6π+

C ．6π

D ．(8π 【答案】C 【解析】

圆柱的侧面积为ππ42121=⨯⨯=S ，半球的表面积为ππ21222=⨯=S ，圆锥的侧面积为

ππ2213=⨯⨯=S ，所以几何体的表面积为ππ26321+=++=S S S S ，故选C.

2.【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考】已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥

平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，PA PD ==锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）

A ．10π

B ．4π C. 16π D ．8π 【答案】D

ππ8242

=⨯=S ,应选D.

3.【2016届甘肃省天水市一中高三上学期期末考试】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P —ABCD ，其中底面四边形ABCD 是边长为1的正方形，1PA =，且D A BC P A ⊥平面，则球体毛坯体积的最小值应为（ ）

A ．

3 B C ．43π

D ．2

【答案】D

4.【2016届河北省邯郸市一中高三下学期研六考试】在菱形ABCD 中，60,A AB =︒=将ABD 折起到PBD 的位置，若二面角P BD C --的大小为23

π

，则三棱锥P BCD -的外接球的体积为（ ）

A ．

43π B D 【答案】C 【解析】

取BD 中点E ，连接AE CE ，，则23

32

AEC AE CE π∠=

==，，设BCD V 的外接圆的圆心与球心的距离为h ，三棱锥P BCD -的外接球的半径为R ，则

22222154()()R h h R =+-+=，∴22

R h ==

∴三棱锥P BCD -的外接球体

积为

3(6

432π⋅=

．故选：C ． 5.【2016届湖南师大附中高三上学期月考四】若长方体1111D C B A ABCD -中，AB=1，C B 1，

D C 1分别与底面ABCD 所成的角为︒45，︒60，则长方体1111D C B A ABCD -的外接球的体积为

（ ） A ．

677π B ．37π C ．3

74π D ．67π

【答案】A

6.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ） A ． 18

B ．36

C ． 45

D ． 54

【答案】D 【解析】

由三视图知：几何体为正三棱柱，

∵俯视图是边长为6的正三角形，∴几何体的内切球的半径R=6×

33

1

23=⨯， ∴三棱柱的侧棱长为32． ∴几何体的表面积

35432632

3

66212=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=S ，故选：D ．

7.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）

A ．4π

B ．π3

C ．π2

D ．π 【答案】

B

8.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a

，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

左视图

（ ）

A.2a π

B. 2

3

7a π C. 2

3

11a π D. 25a π 【答案】B 【解析】

根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为220

2127)60sin 2()2(a a a R =+=， 球的表面积为2

23

71274a a S ππ=⋅

=，故选B ． 9.【广东省惠州市2017届高三第一次调研】已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2AB =， 2SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ）

A ．1 C

【答案】A

【解析】因为三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，

S

∴ 在面ABC 内的射影为AB 中点H ，SH ∴⊥平面ABC ，SH ∴上任意一点到

,,A B C 的距离相等．

S

∴ SH 1CH =，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO ，则O 为S ABC -的

外接球球心．

2SC = ，1SM ∴=，30OSM ∠=︒，SO OH ∴=

=

，即为O 到平面ABC 的距离，故选A ．

10.【2016届河北省正定中学高三上学期期末考试】球O 半径为13=R ，球面上有三点A 、B 、

C ，312=AB ，12==BC AC ，则四面体OABC 的体积是

A ．360

B ．350

C ．660

D ．650 【答案】A