函数在某一个点处连续的定义汇总

lim g ( f ( x)) g ( lim f ( x))
x x0
和刚才证明定理的一样： 任给 0 找 0 当 0 | x x0 |
| g ( f ( x)) g ( lim f ( x)) |
x x0
时
因为 g在 a处连续 所以存在 1 0 ，当 | u a | 1 时，有
1
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
lim g ( x) g ( x0 )
则有
若 f(x), g(x)都在点x0处连续，则根据极限的四则运算法
x x0
lim ( f ( x) g ( x)) f ( x0 ) g ( x0 )
即连续函数的和差仍然是连续函数
| g (u) g (a) |
lim f ( x) a 又因为 x 所以对上述的 1 存在 2 0 x 当 0 | x x0 | 2时 有 | f ( x) a | 1
0
从而
| g ( f ( x)) g (a) |
6
即当
| x x0 | 2 时，有
lim g ( f ( x)) g ( f ( x0 ))
由这个定理得到
x x0
lim g ( f ( x)) g ( f ( x0 )) g ( lim f ( x))
x x0
即
x x0
lim g ( f ( x)) g ( lim f ( x))
x x0
4
2 例如 求 lim sin(1 x ) x 1
x x0
| g ( f ( x)) g ( lim f ( x)) |
x x0
所以
lim g ( f ( x)) g ( lim f ( x))
x x0
例 求极限 （1） lim 2 sin x x 0 x （2）
lim 2
x
sin x x
解：这个函数是由这两个函数
P( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an 在定义域内的每一点都连续 2
函数 点都连续 Sinx cosx 也是R上的连续函数 所以得到 tanx cotx 在其定义域内连续
R( x)
p ( x) Q( x) （P,Q是多项式）在其定义域内每一
定理 4.5 对于复合函数y=g(f(x))，若函数f在点x0连续，g在 点u0=f(x0) 连续，则复合函数g.f在点x0连续。
sin x u,u 2 x
复合得到
sin x sin x lim 2 lim(2 ) 1 x 0 x 0 x x sin x sin x lim 2 lim(2 ) 2 x x x x
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函数在某一点处连续的一些性质 :局部有界性、局部保号性、 复合的连续性
又因为 f在x0处连续， 所以对上面的 1 存在 2 0 当 | x x0 | 2 时 有 | f ( x) f ( x0 ) | 1 即 | f ( x) u0 | 1
从而有：当
从而
x x0
| x x0 | 2
时有
| g ( f ( x)) g ( f ( x0 )) |
解：这个函数可以看做是由函数 sinu u=1-x2复合而得到的。 由于函数 sinu 1-x2等都是连续函数 所以 lim sin(1 x 2 ) sin lim(1 x 2 ) sin 0 0
x 1 x 1
其实对于公式
x x0
lim g ( f ( x)) g ( lim f ( x))
x x0
并非一定要求里面的函数一定要是连续函数，其实只要里面 的函数在x0处有极限a，至于函数在该点处的函数值是否等于 这个a，以及在该点处是否有定义我们都不用管，而外面的函数 在a处又连续
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即若 则
x x0
x x0
lim f ( x) a
lim g (函数的性质
一、函数在某一个点处连续的定义 f ( x) f ( x0 ) 设函数f在某 U ( x0 ) 内有定义，若 xlim x 则称f在点x0连续。
0
由于函数连续是指这个极限存在并且等于f(x0)，而极限 具有局部唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛 性等，那同样的这个极限也有这些性质 定理4.2 （局部有界性） 若函数f在点x0连续，则 f在某 U ( x0 ) 内有界 定理4.3 若函数f在点x0连续，且f(x0)>0(或<0)，则对任何的 正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某U(x0)， 使得对一切 x∈U(x0), 有 f(x)>r (或f(x)<-r)
x x0
lim ( f ( x) g ( x)) f ( x0 ) g ( x0 )
即连续函数的乘积仍然是连续函数 若 g(x0)≠0 则 lim ( f ( x) / g ( x)) f ( x0 ) / g ( x0 )
x x0
即在分母不为零的情况下，连续函数的商仍然是连续函数
由前面我们知道 y=c y=x都是连续函数，所以它们的乘 积，和差都连续函数，所以反复的和差乘积得到
函数在一个闭区间上的连续的性质： 定义1 设f为定义在数集D上的函数，若存在x0∈D，使得对一 切x∈D,都有 f ( x0 ) f ( x) ( f ( x0 ) f ( x)) 则称f在D上有最大（最小）值，并称f(x0)为f在D上的最 大（最小）值。 例如 函数 y=sinx 在闭区间 [0, ] 上 最大值是1， 最小 值是0 是不是任何一个函数在其定义域上都有最大值、最小值呢 ？
证明 要证明复合函数 gf在点x0连续，按定义，只要证明
x x0
lim g ( f ( x)) g ( f ( x0 ))
| g ( f ( x)) g ( f ( x0 )) |
要证明这个极限等于它，按定义 任给 0 找 0 当 | x x0 | 时
因为 g在 u0处连续 所以存在 1 0 ，当 | u u0 | 1 时，有 | g (u) g (u0 ) | 3