柔性机械臂振动控制

柔性机械臂振动控制
1引言
随着人类科技水平的不断进步，机器人的应用越来越广泛。

新一代机器人正向着高速化、精密化和轻型化的方向飞速发展, 传统的将机器人视为刚体系统的分析与设计方法已显得愈加不适用。

近二十年,计及构件及关节弹性影响的柔性机器人动力学分析与振动控制问题已受到国内外学者的广泛关注[1]。

在工业、医疗、军事等领域内，它能够代替人类完成大量重复、机械的工作。

近些年，人类对外太空的探索不断深入，空间机器人因为具有较强的恶劣环境的适应能力，且完成任务的精确程度较高，正受到越来越多科研机构的关注和重视。

机械臂作为机器人的重要组成部分，其未来的发展趋势是高速、高精度和轻型化。

操作灵活、性能稳定的柔性机械臂，无论在航天领域还是在工业领域都具有很高的应用价值。

柔性机械臂系统的动力学特点是大范围刚体运动的同时，伴随着柔性臂杆的小幅弹性振动。

柔性臂杆的弹性振动将极大地影响机械臂末端的定位精度，甚至影响机器人系统的稳定性。

2研究背景及意义
随着工业自动化程度的提高，工业机器人的应用范围也从传统的汽车制造领域推广到了机械加工业、电子电气业、食品工业、物流、医疗等领域，机器人的科，类包括了焊接机器人、喷涂机器人、洁净机器人和医疗机器人等。

瑞典ABB公司制造的“IRB5400-12”喷涂机器人(图1所示)，具有6个自由度，工作时关节轴的最大转速137o/S，末端定位精度0.15mm，其性能特点是喷涂精确、工作域大、负载能力强且运行可靠性高。

日本FANUC公司制造的“M-10iA”工业机器人(图2所示)，工作半径1420mm，重复精度士0.8mm，主要用途包括搬运、弧焊、机床上下料等。

图1 IRB“5400-12”喷漆机器人图2 “M-10iA”工业机器人
日本松下公司和IRT研究院（(Information and Robotics Technology）联合研制的“KAR”洗碗机辅助机器人(图3所示)，臂杆上安装了18个传感器，手爪配备防滑材料，可以牢牢抓住碗碟，防止意外跌落[2]。

如图4所示，是“KAR”机器人正在完成洗碗工作。

图3“KAR”洗碗机辅助机器人
图4 “KAR”机器人正在完成洗碗动作
分析上述材料可以发现，机器人的应用已经渗透到了人类生活的各个方面，它能够代替人类完成许多单调、重复的作业，甚至危险、恶劣环境下的作业，对人类的作用越来越重要。

从近年来机器人的发展趋势看，无论是工业机器人、服务机器人，还是空间机器人，都朝着智能化、模块化和系统化的方向发展。

作为机器人的重要组成部分，机械臂的发展趋势呈现高速、高精度、高可靠性，便于操作和维修的特点。

近年来，很多学者针对机械臂协调操作柔性负载进行了研究，这些研究主要集中在对保证系统稳定性的控制器设计与操作技巧的讨论，然而在许多工作场合需要精确操作，此时就不得不考虑柔性负载的振动问题。

在航天、印刷线路板、汽车工业等领域由于大型或者轻薄金属板的应用，在操作过程中不可避免的要引起振动，这些领域对精确性与安全性的要求很高，因此振动必须得到控制。

由于对象的振动必然会给机械臂的稳定带来影响，因此必须寻找合适的方法抑制这种影响，以使危害降低到最小程度。

为了防止对柔性对象带来损害，内力必须得到控制。

从国内外的研究现状来看，操作柔性负载机械臂协调运动系统的研究刚刚处于起步阶段，对于协调控制及振动抑制问题学术上还没有形成完整的体系，特别是对振动抑制进行研究的还很少，大多数学者都是对操作柔性物体过程中的某一个具体问题进行研究的，因此对机械臂协调操作柔性负载的研究具有很重要的意义和前景。

3柔性机械臂关键技术的研究现状
对柔性对象的研究刚刚处于起步阶段，进行研究的学者还很少，特别是对柔性负载振动进行直接抑制的还不多，还有许多关键问题需要解决。

机械臂代替人手可以大大增加效率，可以使准确度提高，在工作空间中用机器人取代人可以使安全性大大提高，并且机器人不易疲劳可以连续工作，这几方面又间接带来经济上的效益。

对操作对象是柔性的机械臂的控制与对象是刚性的机械臂的控制有很大的区别。

传统刚性机械臂的基座粗壮，臂杆短，操作空间有限，灵活性较差，难以满足现代自动化生产以及高精密行业的使用要求。

结构轻、载重/自重比高的柔性机械臂以其能耗低、操作灵活、响应快速的优点，逐渐在制造业、航天工业等领域中占据了越来越重要的地位。

柔性机械臂由柔性单元件构成，主要包括柔性关节和柔性臂杆两个部分。

这些柔性部件在机械臂运动过程中会产生一定程度的扭曲、弹性、剪切变形，使得柔性机械臂成为一类刚柔耦合、非线性的无限维分布参数系统，其动力学模型比刚性机械臂更为复杂。

从目前的调研情况看，想要建立完整而精确的动力学模型是困难的，这就使得柔性机械臂的轨迹规划和末端定位控制比刚性机械臂要困难很多。

针对柔性机械臂容易发生弹性振动影响系统稳定性和机械臂末端定位精度的问题，分析柔性机械臂振动的动力学特性，设计有效控制策略实现柔性机械臂的轨迹规划和末端精确定位，以提高机械臂的工作稳定性和系统可靠性，是近年来国内外学者的研究重点。

4柔性机械臂的动力学建模
为了有效地实现柔性机械臂的振动控制，分析柔性机械臂振动的动力学特性，建立较为准确的数学模型是非常重要的，它为控制器的设计提供了理论依据。

对柔性机械臂进行动力学分析时，需要考虑四个基本问题，文献[3]做了详细阐述，包括变形的描述、变形场的离散化、建模方法、近似分析。

根据柔性机械臂振动时的动力学特点，借助振动模态理论和材料力学中的相关理论，建立柔性臂杆的振动数学模型。

图5 柔性机械臂的运动示意图
将未变形时柔性臂杆的轴线选作x 轴，原点O 取在臂杆与关节轮毂的联接处，臂杆上任意一点P 的横向振动位移为u ，图5为柔性机械臂的运动示意图。

取距离原点x 处，长度为dx 的微段作为分离体，分析其振动式的受力情况。

设柔性臂杆长度为常量L ，臂杆的横截面积为常量A ，材料弹性模量为常量E,体密度为常量p ，横截面关于中性轴的惯性矩为常量I ，u(x ，t)表示微段在向振动位移，f(x ，t)和m(x ，t)分别表示该微段上分布的横向外力和外力矩，V 和M 分别是截面上的剪切力和弯矩，
臂杆的t 时刻的横，22t)(x,t
u Adx ∂∂ρ是微段的惯性力。

微段的受力情况如图6所示，图中所有力和力矩均按正方向画出。

图6 柔性机械臂振动受力分析图
根据牛顿第二定律，该微段横向振动时满足
dx f t
u Adx x V -t)dx f(x ,dx )x V (V -V t)dx (x ,t)(x ,22∂∂=∂∂++=∂∂ρ (1) 忽略横截面绕中性轴的转动惯量，对微段右侧端面内任意一点取矩，并略去高阶小
量得到
dx dx x
M M t)m(x ,Vdx M +∂∂+=+ (2) 根据材料力学中挠曲轴近似微分方程EI M t
u =∂∂22t)(x,，将其代入上式，得到化简后的柔性臂杆的弯曲振动微分方程为
x t)m(x ,-t)f(x,x
t)(x ,t)(x ,4422∂∂=∂∂+∂∂u EI t u A ρ (3) 上述方程中的载荷是分布力与分布力矩，如果是集中力F(t)和集中力矩M(t)，则相应项变为: )-(x F(t)t)(x ,1ζδ=f ，)()(),(2ζδ-=x t M t x m ,其中1ζ和2ζ是施力点，(x)δ为狄拉克函数。

当机械臂处于自由振动时，f(x,t)和m(x,t)恒等于零，于是推出柔性臂杆的弯曲自由振动微分方程为
0x t)(x,t)(x,4
422=∂∂+∂∂u EI t u A ρ (4) 这是一个四阶常系数齐次偏微分方程，用分离变量法求解，可以得到柔性机械臂的固定频率和主振型。

建立精确的、适用的柔性机械臂动力学模型是柔性臂振动控制研究的基础。

5柔性机械臂振动控制
5.1基于线性二次型最优控制的柔性臂振动控制
柔性机械臂是典型的机电耦合的动力系统，也是带有分布参数的强耦合、非线性、时变、多输入、多输出系统，且具有逆运动学不确定性。

迄今为止，对柔性机械臂的振动控制的研究尚难尽人意。

研究目标大多还停留在对单个柔性机械臂控制规律的摸索中。

随着研究的深入和工程实际的需要，使得相应的控制系统分析和控制器的设计日趋复杂，几乎涉及到控制的所以领域。

振动控制主要解决柔性臂杆弹性振动的抑制问题，控制效果的好坏直接影响柔性机械臂的稳定性和末端定位精度。

从是否需要外界输入能量的角度考虑，振动控制可以分为:被动控制、主动控制和主被动混合控制[4]。

目前，应用较为广泛的控制算法主要有
PD控制、最优控制、自适应控制、变结构控制[5]、智能控制等。

建立旋转柔性机械臂动力学模型的目的是为了对柔性机械臂进行振动主动控制。

柔性机械臂振动的主要来源有两个方面:
(1)柔性臂本身在运行过程中由于弹性而引起的变形和振动。

柔性机械臂的轻质、柔性化大幅度地提高了工作效率和机动性，降低了能耗，但带来了更为突出的、需解决的振动问题[5]。

(2)由驱动系统的弹性及非线性因素引起的振动。

在柔性机械臂的驱动系统中，存在着转轴之间的库仑干摩擦阻尼，传动装置中的齿轮间隙及谐波齿轮减速器的弹性等因素，都可能引起柔性臂的振动。

当柔性机械臂的运动速度不高时，忽略这些因素，还能得到较好的近似效果。

但在高速度高精度的性能要求下，则必须计入库仑干摩擦阻尼、齿轮间隙及谐波齿轮减速器的弹性等因素。

线性二次型最优控制系统原理如图7所示。

图7线性二次型最优控制原理图
实现状态反馈需要用传感器测量状态变量，但许多中间状态变量不易测得或不可能测得，给工程实现带来困难。

例如在进行状态反馈设计时，受控系统的状态变量x往往不能直接获得，可测量到的经常是系统的输出，这时一般用状态观测器来重构状态变量。

这里的状态观测器是指一个物理上可以实现的动力学系统，它在待观测系统的输入和输出(可测量得到)的驱动下产生一组逼近于待观测系统状态变量的输出，则动力学系统所输出的一组状态变量可作为待观测系统的状态变量的估计值。

5.2仿真分析
考虑在水平平面内转动的单连杆柔性机械臂。

取前一阶模态，设状态变量,]q ,q ,[T 11。

，θθ=x 得到始于控制的柔性臂状态空间模型为： u x x ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2-5002-0105-06019010000100。

[]x y 000.03-1==‘θ
设跟踪轨迹线(t)ξ为阶跃函数，其赋值为1rad ，
即：
3Cz (t)=ξ， (5)
选取[]T
z 0001(0)3=可使(t)ξ与规划跟踪轨迹一致。

参考有关文献[7-8]，结合多次筛选，取
,10000000001000001000⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=。

x R=0.1，得最优控制],z --K[x (t)*u 3=
此时控制器的增益[],4.56638.862530.9531100-=K
柔性机械臂的端部转角‘θ如图8所示，从图中可以看出，大约经过5秒的时间柔性机械臂能够达到规定的位置，并且在达到规定位置时的振动很快地衰减。

图8柔性机械臂的端部转角‘θ
如果取前二阶模态，取状态变量,]q ,q ,q ,q ,[T 2121。

，
θθ=x 得到的柔性臂状态空间模型为:
u x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=16-7.5-3000000189-143-0000132-81-0000146130100000010000001000。

[]x y 00003.0-07.0-1=
取，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000010000001000
0001000000500000020Q R=0.3，得最优控制],z --K[x (t)*u 3=
此时控制器的增益[]4.77912.44104.042559.822927.58098.1650----=K
图9 柔性机械臂控制力矩(t)u
如图9所示，基于线性二次型最优控制柔性机械臂的振动控制方法，经过较短的时间柔性机械臂就能够达到规定的位置，并且在达到规定位置时的振动很快地衰减;在柔性机械臂线性二次型最优控制设计中，选取适当的加权矩阵非常重要;取较为精确的柔性机械臂动力学模型有助于改善振动抑制效果。

参考文献
[1]陆佑方，冯冠民，齐朝晖。

柔性机械臂动力学与控制建模的若干基本问题[J],机器人，
1993,15（5.：52- 59.）
[2]/article/html/752.shtml.
[3]宋轶民，余跃庆等.柔性机器人动力学分析与振动控制研究综述[J].机械设计，2003，
20(4):l-5.
[4]李山青，刘正兴，杨耀文.压电材料在智能结构形状和振动控制中的应用[J].力学进
展，1999，29(l):69-70.
[5] E. K. Dimitriadis, C. R. Fuller, C. A. Rogers. Piezoelectric actuators for distributed
vibration excitation of thin Plates [J]. Journal of Vibration and Acoustics, 1991, 113(l): 100- 107.
[6]Dubowsky S. Active control of mechanical systems: the state for robotic manipulator[J].
AIAA paper，85- 0683.
[7]Gamarra Rosado V O, Yuhara E A，Dynamic modeling and simulation of a flexible robot
manipulator[J]. Robotica, 1999，17(5):523-528.
[8]马香峰主编，机器人机构学[M]，机械工业出版社，1991
10。