条件极值(精)

满足的必要条件. 由此产生了一个重要思想:
(2)
也就是说, (2) 式是函数 L( x , y , ) 在其极值点处所 通过引入辅助函数 L( x , y , ), 把条件极值问题 (1) 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.
前页 后页 返回
(B) 拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般
(5) (6) (7) (8) (9)
对 (5), (6), (7) 三式分别乘以 x, y, z 后相加, 得到
2( x 2 y 2 z 2 ) ( x y z ) 2 ( x 2 y 2 z 2 x y yz zx ) 0,
前页 后页 返回
借助 (8), (9) 两式进行化简, 又得
x2 y2 z2 ;
2 2 z x y , x y z 1. 约束条件:
还可举出很多这种带有约束条件的极值问题.
定义 设目标函数为
y f ( x1 , x2 , , xn ), ( x1 , x2 , , xn ) D R n ;
约束条件为如下一组方程:
前页 后页 返回
Lx 2 z y yz 0, Ly 2 z x xz 0, Lz 2( x y ) x y 0, L x yz V 0.
为消去 , 将前三式分别乘以 x , y , z , 则得
前页 后页 返回
2 xz x y x yz , 2 yz x y x yz , 2 z ( x y ) x yz .
最后得到
2 2( 1 3 ) x2 y2 z2 (2 4
3.
3 )2
前页 后页 返回

1 (1 2 3 3) 4 4 3 3 9 5 3 , 2 1 (1 2 3 3) 4 4 3 3 9 5 3. 2
3
2V 3 ( 2V 3 2V ) ( 2
3
3
2V )2 3
3
4V 2 ,
于是有 2 z ( x y ) xy 3
去 V 后便得不等式
2 z( x y ) x y 3
3
4V 2 , 其中 V x yz . 消
4( x yz )2 , x 0, y 0, z 0.
并令
前页 后页 返回
L 2 x (2 x y z ) 0, x Ly 2 y (2 y z x ) 0, Lz 2 z (2 z x y ) 0, L x y z 0, L ( x 2 y 2 z 2 x y yz zx 1) 0.
d 2 x2 y2 z2 .
这说明 d 2 的极值就是这里的 ( 即 d 的极值就是
), 问题便转而去计算 . 为此先从 (5)－(8) 式
消去 , 得到一个线性方程组:
(2 ) x 2 y (2 ) z 0, 2 x (2 ) y (2 ) z 0, x y z 0.
由此又得 (1 )( x y ) 0 x y . 再代入条件
前页 后页 返回
式, 继而求得: ( 这里 1, 否则将无解 )
z 2x 2 2 x 2 x 1 0, z 1 2x
2
1 3 , x y 2 z 1 (1 3 ) 2
前页 后页 返回
解 由以上分析, 自原点至椭圆上任意点 ( x, y, z ) 的距离 d
x 2 y 2 z 2 之最大、小值，就是该
椭圆的长、短半轴. ( 说明: 本例的题型与例2 相 类似, 但在具体计算策略上将有较大差异. ) 设拉格朗日函数为
L x2 y2 z2 ( x y z) ( x 2 y 2 z 2 x y yz zx 1),
圆的面积. 分析 (i) 如果能求得该椭圆的长、短半轴 a 与 b, 则椭圆面积为 ab ; (ii) 由方程 (4) 看到, 此圆柱面关于坐标原点是对
称的, 故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某
一直线; (iii) 因为所给平面也是通过坐标原点的, 所以此 平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点.
f ( P0 ) f ( P ) , P U ( P0; ) ( 或 P ),
则称 f ( P0 ) 是 f ( P ) 在约束条件 之下的极小值 (或最小值) , 称 P0 是相应的极小值点 (或最小值 点). 类似地又可定义条件极大 (或最大) 值.
前页 后页 返回
: k ( x1 , x2 ,
, xn ) 0, k 1, 2,
, m ( m n).
为简便起见, 记 P ( x1 , x2 , 若存在 P0 , 0, 使得
, xn ), 并设 , m }.
{ P | P D, k ( P ) 0, k 1, 2,
故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分 别为
dmin 9 5 3 , dmax 9 5 3 .
例3 已知圆柱面
x 2 y 2 z 2 x y yz zx 1 0 , (4)
前页 后页 返回
它与平面 x y z 0 相交得一椭圆, 试求此椭
题的极值点, 且
1 x 1 rank m x1
m,
P0
则存在 m 个常数 1(0) , 2(0) ,
( x1(0) , x2(0) ,
, m(0) , 使得 , m(0) )
前页 后页 返回
, xn(0) , 1(0) , 2(0) ,
L( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y ) ,
在点 ( x0 , y0 , 0) 处恰好满足:
Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, Ly f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, L ( x , y ) 0.
为拉格朗日函数 (3) 的稳定点, 即它是如下 n m 个方程的解:

说明
m k L f k 0, i 1,2, x i x i k 1 x i
, n; , m.
L k ( x1 , x2 , k
, xn ) 0, k 1, 2,
目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数
L( x1 , x2 ,
f ( x1 , x2 ,
, xn , 1 , 2 ,
m k 1
, m )
, xn ). (3)
, m 称
, xn )
k k ( x1 , x2 ,
称此函数为拉格朗日函数, 其中 1, 2,
为拉格朗日乘数.
2V S ( x y) x y xy
的普通极值问题. 可是这样做并不总是方便的, 而 且往往无法将条件式作显化处理, 更不用说多个条
前页 后页 返回
件式的情形了. 现在的新办法是设辅助函数
L 2( xz yz ) xy ( xyz V ),
并求解以下方程组:

它有非零解 ( x, y, z ) 的充要条件是
§4 条 件 极 值
条件极值问题的特点是: 极值点的搜索范 围要受到各自不同条件的限制. 解决这类极 值问题的方法叫做拉格朗日乘数法. 条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还 能用来证明或建立不等式.
一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 三、应用举例
前页 后页 返回
一、问 题 引 入
很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义 域上自由变化, 而是要受到某些条件的约束. 例1 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试 问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到 最小?
定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数 f 与 k
( k 1, 2, , m ) 在区域 D上有连续一阶偏导数. 若
前页 后页 返回
(0) (0) P ( x , x D 的内点 0 1 2 ,
, xn(0) ) 是该条件极值问
1 xn m xn
二、拉格朗日乘数法
(A) 拉格朗日乘数法探源 先从 n = 2, m =1 的最简 情形说起, 即设目标函数与约束条件分别为
z f ( x , y ) 与 ( x , y ) 0. (1)
若由 ( x , y ) 0 确定了隐函数 y y( x ), 则使得目
标函数成为一元函数 z f ( x , y( x )). 再由
两两相减后立即得出 x y 2 z , 再代入第四式, 便求得
3 3
x V x 3 2V y , z 2
2V . 2
注 由以上结果还可以得到一个不等式 ( 这是获得 不等式的一种好方法 ). 那就是具体算出目标函数
前页 后页 返回
(表面积) 的最小值:
Smin 2
对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说
明; 对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理 23.19 中去进行.
前页 后页 返回
三、应 用 举 例
定理 18.6 指出的方法称为拉格朗日乘数法. 下面 用这种方法先来求解本节开头给出的两个例题. 例1 解 此例以往的解法是从条件式解出显函数, 例如 z V , 代入目标函数后, 转而求解 xy
例2 解 这里有两个条件式, 需要引入两个拉格朗 日常数; 而且为了方便计算, 把目标函数改取距离
前页 后页 返回
的平方 (这是等价的), 即设
L x 2 y 2 z 2 ( x 2 y 2 z ) ( x y z 1).
求解以下方程组:
Lx 2 x 2 x 0, L y 2 y 2 y 0, 2( x x ) Lz 2 z 0, 2( y y ) 2z . 2 2 L x y z 0, L x y z 1 0.
f ( x, y) z 0
与曲线 ( x , y ) 0 在
f ( x, y ) c
P0
点 P0 有公共切线(见图 18－12). 由此推知: 存在比例常数 0 , 满足
这又表示: 对于函数
前页 后页 返回
f ( x, y ) z 0
图 18－12
( f x ( P0 ), f y ( P0 ) ) 0 ( x ( P0 ) , y ( P0 )) ( 0, 0 ).

x dz dy fx f y fx f y 0, y dx dx
求出稳定点 P0 ( x0 , y0 ) ( x0 , y( x0 )), 在此点处满足
前页 后页 返回
( f x y f y x )
这表示 f 的等值线
P0
0.
( x, y ) 0
若设长、宽、高各等于 x, y, z, 则
目标函数: S 2 z ( x y ) x y ; 约束条件: x yz V .
前页 后页 返回
例2 设曲线 z x 2 y 2 , x y z 1. 求此曲线上
的点到原点距离之最大、最小值. 对此问题有 目标函数: u