中考数学 第一轮 系统复习 夯实基础 第三章 函数及其图象 第13讲 二次函数

(2)∵将 x＝0 代入 y＝12x＋32得 y＝32，将 x＝1 代入得 y＝2，∴直线 y＝12x ＋32经过点(0，32)，(1，2)．直线 y＝12x＋32的图象如图所示，由函数图象可 知：当 x＜－1.5 或 x＞1 时，一次函数的值小于二次函数的值 (3)先向上平移54个单位，再向左平移12个单位，平移后的顶点坐标为 P(－1， 1)．平移后的表达式为 y＝(x＋1)2＋1，即 y＝x2＋2x＋2.点 P 在 y＝12x＋32的 函数图象上．理由：∵把 x＝－1 代入得 y＝1，∴点 P 的坐标符合直线的 解析式，∴点 P 在直线 y＝12x＋32的函数图象上
－52)2－14.∴该抛物线沿 y 轴向上平移14个单位长度后，得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点
二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的移动，需要先将二次函数 解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下 减”的规律移动．
确定二次函数的解析式
9．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过
二次函数是中考的重点内容： 1．直接考查二次函数的概念、图象和性质等． 2实际情境中构建二次函数模型，利用二次函数的性质来解释、解决实 际问题． 3在动态的几何图形中构建二次函数模型，常与方程、不等式、几何知 识等结合在一起综合考查． 4．体现数形结合思想、转化的思想、方程的思想．
1．(2016·衢州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x， y)对应值列表如下：
若选取点 A 为坐标原点时的抛物线解析式是 y＝－19(x－6)2＋4，则选取 点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是_y_＝__－__19_(_x_＋__6_)_2＋__4_________．
11．已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与 x 轴的另一 交点到原点的距离为 1，求该二次函数的解析式．
二次函数的图象性质
1．(2017·预测)二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛 物线的说法，正确的是( D ) A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点(2，3) C．抛物线的对称轴是直线x＝1 D．抛物线与x轴有两个交点 【解析】根据二次函数的性质对A，C进行判断；根据二次函数图象上点 的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2－3＝0解的情况对D进行判断．
a＝12， ∴b＝－12，∴二次函数的解析式为
c＝－1，
y＝12x2
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－12x－1
二次函数关系式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 2．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
10．如图的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12 m 时，桥洞顶部离水面 4 m， 已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，
【解析】先求出绕原点旋转 180°的抛物线解析式，再求出向下平移 3 个 单位长度的解析式即可． 抛物线的解析式为 y＝x2＋5x＋6，∴绕原点旋转 180°变为 y＝－x2＋5x－ 6，即 y＝－(x－52)2＋14，∴向下平移 3 个单位长度的解析式为 y＝－(x－52)2
＋14－3＝－(x－52)2－141，故选 A.
(3)如图，点 P 是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当 的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在 P 点上，写出平移后二次 函数图象的函数表达式，并判断点 P 是否在函数 y＝12x＋32的图象上，请说 明理由．
解：(1)∵令y＝0，得x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(0，0)，(－1，0)．作直线y＝1，交抛物线于A，B两 点，分别过A，B两点，作AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D ，点C和点D的横坐标即为方程的根．根据图象可知方程的解为x1≈－ 1.6，x2≈0.6
二次函数图象的平移
7．(2017·预测)在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 3 个单位 长度，然后绕原点旋转 180°得到抛物线 y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的解 析式是( A ) A．y＝－(x－52)2－141 B．y＝－(x＋52)2－141 C．y＝－(x－52)2－14 D．y＝－(x＋52)2＋14
A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，求二次函数
的解析式．
解析：待定系数法求二次函数解析式，得出关于
a，b，c的三元一次方程组，求得解析式． 解：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过 A(2，0)，B(0，－1)和 C(4，5)
三点，∴4c＝a＋－21b，＋c＝0， 16a＋4b＋c＝5，
利用图象判断a，b，c的符号
3．(2017·预测)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，并且 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个不相等的实数根，下列 结论： ①b2－4ac＜0；②abc＞0；③a－b＋c＜0；④m＞－2. 其中正确的个数有( B ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2－4ac＞0，故①错 误；根据图象有a＞0, b＜0, c＜0，∴abc＞0，故②正确；当x＝－1时 ，a－b＋c＞0，故③错误；二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标纵坐 标为－2，∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个不相等的 实数根，∴m＞－2，故④正确．故选B.
抛物线的平移：将y＝ax2的图象平移得到y＝a(x＋h)2＋k的图象规则是： ①若h＞0(或h＜0)，则图象______平移______个单位； ②若k＞0(或k＜0)，则图象______平移______个单位． 答案：①向左(或向右)；|h|；②向上(或向下)；|k|
8．已知抛物线 y＝(x－m)2－(x－m)，其中 m 是常数． (1)求证：不论 m 为何值，该抛物线与 x 轴一定有两个公共点；
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如右图所示，下列说法正确的 个数是( B) ①a＞0；②b＞0；③c＜0； ④b2－4ac＞0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：第3题直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的 关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案；第4题根据图象特 征进行判断．
1．一般地，形如y＝____________(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二 次函数． 2．二次函数图象和性质
答案：1.ax2＋bx＋c
2．(2017·预测)对于二次函数 y＝－14x2＋x－4，下列说法正确的是( B ) A．当 x>0，y 随 x 的增大而增大 B．当 x＝2 时，y 有最大值－3 C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与 x 轴有两个交点
(a≠0)有一个根为－1a. 其中正确结论的个数是( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D. 4 个
【解析】由抛物线开口方向得 a＜0，由抛物线的对称轴位置可得 b＞0， 由抛物线与 y 轴的交点位置可得 c＜0，则 abc＞0，①正确；当 x＝3 时， y＝ax2＋bx＋c＝9a＋3b＋c＞0，②错误；由 A(－c，0)得出－c＜1，即 c
5. (2017·预测)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图，反比例函数 y＝xa与 正比例函数 y＝bx 在同一坐标系内的大致图象是( C )
【解析】根据函数图象的开口方向，对称轴，可得 a＜0，得 b＞0，进一步 y＝ax图象位于第二、四象限，y＝bx 图象位于第一、三象限，故选 C.
6．(2017·预测)如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象与 x 轴正半轴 相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，对称轴为直线 x＝2，且 OA＝OC. 则下列结论： ①abc＞0; ②9a＋3b＋c＜0；③c＞－1；④关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0
x … －3 －2 －1 0
1…
y … －3 －2 －3 －6 －11 …
则该函数图象的对称轴是( B ) A．直线x＝－3 B．直线x＝－2 C．直线x＝－1 D．直线x＝0 【解析】由于x＝－3和－1时的函数值都是－3，所以二次函数的对称轴 为直线x＝－2，故选B.
2．(2016·宁波)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确 的是( )D A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 【解析】A.∵当a＝1，x＝－1时，y＝2，∴函数图象不经过点(－1，1) ，故错误；B.当a＝－2时，∵Δ＝8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点， 故错误；C.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随 x的增大而增大，故错误；D.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴若a＜0 ，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确．故选D.
3．(2016·衢州)已知二次函数y＝x2＋x的图象如图所示．
(1)根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程 x2＋x＝1 的根在图上近似地表示出来(描点)，并 观察图象，写出方程 x2＋x＝1 的根(精确到 0.1)； (2)在同一直角坐标系中画出一次函数 y＝12x＋32 的图象，观察图象写出自变量 x 取值在什么范围 时，一次函数的值小于二次函数的值；
解：根据题意得，与 x 轴的另一个交点为(1，0)或(－1，0)，因此分两 种情况：①过点(－1，0)，设 y＝ax(x＋1)，则－14＝a(－12)(－12＋1)， 解得 a＝1，∴抛物线的解析式为 y＝x2＋x；②过点(1，0)，设 y＝ax(x －1)，则－14＝a(－12)(－12－1)，解得 a＝－13，∴抛物线的解析式为 y ＝－13x2＋13x
(2)若该抛物线的对称轴为直线 x＝52， ①求该抛物线的函数解析式； ②把该抛物线沿 y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与 x 轴 只有一个公共点？
解：(1)∵y＝(x－m)2－(x－m)＝(x－m)(x－m－1)，∴由 y＝(x－m)(x－ m－1)＝0 得 x1＝m，x2＝m＋1.∵m≠m＋1，∴不论 m 为何值，该抛物 线与 x 轴一定有两个公共点 (2)①∵y＝(x－m)(x－m－1)＝x2－(2m＋ 1)x＋m(m＋1)，∴抛物线的对称轴为直线 x＝－－（2m2 ＋1）＝52，解得 m＝2，∴抛物线的函数解析式为 y＝x2－5x＋6 ②∵y＝x2－5x＋6＝(x
第13讲 二次函数
1．理解二次函数的有关概念，知道给定不共线三点的坐标可以确定一 个二次函数． 2．会用描点法画出二次函数的图象，了解二次函数的性质． 3．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的 形式，掌握二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图 象的对称轴，并能解决简单实际问题． 4．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
＞－1，③正确；假设方程有一根为－1a，则有1a－ba＋c＝0，则 ac－b＋1 ＝0，两边同乘 c，则 ac2－bc＋c＝0，∴方程有一根为 x＝－c，∵OA ＝OC，则 A(－c，0)，故假设正确，④正确．故选 C.
解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛 物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况． 当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号，并 以此推出其他代数式的符号．
【解析】二次函数中 a＝－14，所以二次函数的开口向下，∵－2ba＝2， ∴对称轴为 x＝2，当 x＝2 时，取得最大值，最大值为－3，所以 B 正 确．
1．将抛物线解析式写成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，则顶点坐标为(h，k)， 对称轴为直线 x＝h，也可应用对称轴公式 x＝－2ba，顶点坐标(－2ba， 4ac4－a b2)来求对称轴及顶点坐标． 2．解题时尽可能画出草图．