第6节多元函数的极值与最值74013

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拉格朗日乘数法
要 找 函 数 z f(x ,y )在 条 件 (x ,y ) 0 下 的 可
能 极 值 点 ，
引入拉格朗日函数
极小值.
使函数取得极值的点称为极值点. 极大值、极小值统称为极值.
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例1 函数z3x24y2在点(0，0)处有极小值．
z
O
y
x
例 2 函 数 z x 2 y 2 在 点 ( 0 ， 0 ) 处 有 极 大 值 ．
z
O y
x
例3 函数zxy 在点(0，0)处既不取得极大值也不取得极小
值．因为在点(0，0)处的函数值为零，而在点(0，0)的任一邻域 内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．
第六节 多元函数的极值与最值
一、多元函数的极值与最值
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有定 义，对于该邻域内异于( x0 , y0 )的点( x, y)：若恒有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 )有极大值； 若恒有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 )有
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例4 求 函 数 f ( x ,y ) x 3 y 3 3 x 2 3 y 2 9 x 的 极 值 .
解
令ffxy
3x2 6x90 3y2 6y0
x3,1 y0,2
求 得 驻 点 ： ( 3 , 0 ) ( 1 , 0 , ) ( 3 , , 2 ) ( 1 , 2 , ) ,
二 阶 偏 导 数 为 ： f x 6 x x 6 , f x 0 y , f y y 6 y 6 ,
极值的求法
定理8.5（必要条件）
设 函 数 zf(x,y)在 点 (x0,y0)具 有 偏 导 数 ， 且 在 点
(x0,y0)处 有 极 值 ， 则 它 在 该 点 的 偏 导 数 必 然 为 零 ： fx (x0,y0)0，fy (x0,y0)0.（称驻点）
注意：极值点
驻点
例如, 点(0,0)是函数zxy的驻点， 但 不 是 极 值 点 .
（ 1 ） B 2 A 0 时 C 具 有 极 值 ， 且 当 A 0 时 有 极 大 值 ， 当 A 0 时 有 极 小 值 ；
（ 2 ） B 2 A 0 时 C 没 有 极 值 ；
（ 3 ） B 2 A 0 C 时 可 能 有 极 值 , 也 可 能 没 有 极 值 ，
还 需 另 作 讨 论 ．
代入目标函数,化为无条件极值问题： x y
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目 标 函 数 化 为 ： S2(x y VV ),x0,y0 xy
令
S
x
S
y
2( y 2( x
V x2
)
0
,
V y2
)
0
求得唯一驻点xy3V , 从而z3V,
内部唯一驻点,且由实际问题S有最小值,故做成立方
体表面积最小.
这种做法的缺点： 1.变量之间的平等关系和对称性被破坏； 2.有时隐函数显化困难甚至不可能.
例6 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,
问怎么做用料最省？
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二、条件极值与拉格朗日乘数法
实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域 的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极 值问题称条件极值问题.
例6 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V, 问怎么做用料最省？
解 即表面积最小.设 水 箱 的 长 、 宽 、 高 分 别 为 x ,y ,z, 则 目 标 函 数 ： S 2 (x y z), x 约 束 条 件 ： V x, yzz V ， z xy
L ( x ,y ) 5 ( 2 x 0 2 1 x 0 2 y 2 5 y ) 2 x y
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L ( x ,y ) 5 ( 2 x 0 2 1 x 0 2 y 2 5 y ) 2 x y
10 5x 0 24x 8 1y0 22y4 ，
令
Lx Ly
10x480， 20y240
驻点 (3, 0) (1, 0) (3, 2) (1, 2)
A B C B2 AC f
12 0 6
无极值
12 0 6
极小值-5
120 6 极大值31
12 0 6 无极值
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二元函数的最值
• 如果f (x，y)在有界闭区域D上连续， 则f (x，y)在D上必定能取得最大值和最 小值．这种使函数取得最大值或最小值 的点既可能在D的内部，也可能在D的边 界上．我们假定，函数在D上连续、在D 内可微分且只有有限个驻点，这时如果 函数在D的内部取得最大值(最小值)，那 么这个最大值(最小值)也是函数的极大值 (极小值)．
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
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定理8.6（充分条件）
设 函 数 zf(x ,y)在 点 (x 0,y0)的 某 邻 域 内 连 续 ，
有 一 阶 及 二 阶 连 续 偏 导 数 ，
设 f x ( x 0 ,y 0 ) 0 ,f y ( x 0 ,y 0 ) 0 ，
令 f x ( x 0 , y x 0 ) A ， f x ( x 0 , y y 0 ) B ， f y ( x 0 , y y 0 ) C ， 则 f ( x ,y ) 在 点 ( x 0 ,y 0 ) 处 是 否 取 得 极 值 的 条 件 如 下 ：
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若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值), 而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断 定该极大(小)值点即为最大(小)值点. 例5 设生产某种商品需原料A和B，设A的单价为2，
数量为x；而B 的单价为Biblioteka Baidu，数量为y，而产量为
z2 0x21x 02y25y，
且商品售价为5,求最大利润. 解 利润函数为
解得唯一驻点
x4.8,y1.2，
A f x x 1 ,B 0 f x y 0 ,C f y y 2 ,0
B2AC0, A 0, 唯一驻点为极大值点，
即为最大值点，
最大利润为 L(4.8,1.2)22 .6.9
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在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区 域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往 可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若 函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就 是最大值点或最小值点.