2 混凝土材料的本构关系

非线性弹性本构关系－全量型
如果将材料常数E、v或K、G不取常数，而是随应力 状态变化的参数，则得到材料非线性弹性关系
方法一：试验直接确定 材料材料参数 方法二：利用一维试验结 果，给出算法，得到不同 应力状态下的材料参数 方法评价 形式二：增量型
形式一：全量型
以后介绍
非线性弹性本构关系－全量型
全量K－G型（方法一）
强化模型：等向强化，随动强化，混合强化 （1）等向强化模型
后继屈服面的形态与中心初始屈服面相同，大小则随着 强化程度的增加作均匀扩大
p F (ij , K ) F *[ij K (ij )] 0
K为硬化参数，与塑性变形等内变量有关，比如
p K H ( dW p ) H ( ij dij )
max 3
max (1 2 ) b2 a
a
max
材料必然破坏？
断裂力学理论
三种裂缝类型：
张开型(Ⅰ类)、滑开型(Ⅱ类)、撕开型(Ⅲ类)
KI
应力强度因子，常数
K I K IC
断裂韧度
a
总体上反映应力场奇异性
损伤力学理论
损伤因子D：表征材料内部缺陷的物理量
假定：
1）平均应力与平均应变成线弹性
2）应力主方向与应变主方向重合，应力偏量与应变偏量相似 3）应力强度是应变强度的确定函数
4）弹性卸载
卸载时，弹性部分可恢复，塑性部分不可恢复。
弹塑性本构关系－形变理论
1）平均应力与平均应变成线弹性
m K m
1 m ( x y z ) 3
弹塑性本构关系－增量理论
1）屈服准则
对于各相同性材料，屈服条件可表示为主应力或应力不变量 的函数：
f ( I1 , J 2 , ) 0
Tresca, Von Mises, Druck-Prager屈服准则等 屈服面闭合型：子午面上闭合 屈服面开口型：不符合混凝土等准脆 性材料在高三轴压应力下能够发生屈 服的事实。采用帽子模型修正。
p p K H ( d p ) H ( d ij d ij )
弹塑性本构关系－增量理论
2）硬（强）化条件和加卸载准则
（2）随动强化模型 后继屈服面的大小、形态与初始屈服面相同，但在应力 空间中平移
F (ij , H ) F ( ij ) 0
移动张量 （3）混合强化模型
非线性弹性本构关系－全量型
全量E 型 （Ottosen模型，方法二）
非线性指标

的确定：

fc
单向应力状态： 双向应力状态：
0 1
2 1 OP 2 f 1 f OF
三轴应力状态： Ottosen法
J2
法
非线性弹性本构关系－全量型
全量E 型 （Ottosen模型，方法二）
流变学理论
三种基本元件：
• 理想弹性元件（Hook体、弹簧体） E 也可表示剪应力与剪应变关系
• 粘性元件（Newton体、阻尼体）

• 理想塑性元件（St.Venant体、滑块体）
f
f
0

某值
流变学理论
两元件的组合单元之一： 麦克斯韦（Maxwell）模型 变形协调方程： 1 2 元件力－变形关系： E 组合元本构方程：
0 D 1
材料单轴受力：
An D 1 A
E En (1 D)
En (1 D)
构件： 结构：
非线性弹性本构关系－全量型
线弹性本构关系
D
也可用体积弹性模量K和剪切弹性模量G表示
非线性弹性本构关系－全量型
线弹性本构关系
D
2
E f：三轴应力状态下混凝土破坏时的割线弹性模量 其中，
Ottosen建议取值，王传志建议取值等
非线性弹性本构关系－全量型
全量E 型 （Ottosen模型，方法二）
即时的 s 的确定
s 的变化特点
Ottosen公式 Elwi-Murray公式
Darwin-Pecknold公式
江见鲸公式
( D 1)( ) 2 c c Sargin应力－应变表达式： fc 1 ( A 2) D( ) 2 c c E 将 和 s 带入上式得：
A
fc
即时的 Es和 s 的确定

1 1 1 1 E s E 0 ( E 0 E c ) E 0 ( E 0 E f ) E c2 D(1 ) 1 2 2 2 2
m
1 ( x y z ) 3
K
E 3(1 2 )
2）应力主方向与应变主方向重合，应力偏量与应变偏量相似
弹塑性本构关系－形变理论
3）应力强度是应变强度的确定函数
i ( i )
i 1 2 (1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
i
2 (1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3
函数通常以单向拉伸试验确定。可以把单向拉伸图形作为 函数的曲线
弹塑性本构关系－形变理论
应力应变关系矩阵
进而可得到单元刚度矩阵
Ke BT Dep Bdv
v
弹塑性本构关系－增量理论
引入非线性指标概念，基于一维应力－应变关 系表达式，求出即时的 Es 和 s ，进而得到材 料非线性本构矩阵 步骤：1. 已知材料
f c E0 0
F ( ij ) 0
J3
2. 求主应力，或不变量 I 1 J 2
3. 求非线性指标


4. 求出即时的 Es 和 s 5. 得到材料非线性本构矩阵
对于泊松比：
非线性弹性本构关系－增量型
三向应力状态下的Bathe模型
非线性弹性本构关系－增量型
三向应力状态下的Bathe模型
非线性弹性本构关系－增量型
三向应力状态下的Bathe模型
非线性弹性本构关系－增量型
三向应力状态下的Bathe模型
．．．．．．
弹塑性本构关系－形变理论
弹塑性小变形理论，适用于简单加载 （各应力分量按比例加载）
等向强化和随动强化的组合
F (ij , H ) F (ij ij ) K 0
弹塑性本构关系－增量理论
3）流动法则
Mises提出的塑性位势理论认为，经过应力空间任一点M， 必有一塑性位势等势性存在：
g (ij , H ) 0
塑性变形增量的变形方向与塑性位势面正交：
p d ij d
弹性卸载
适合混凝土吗？
弹塑性理论
等强强化模型与随动强化模型 适用于混凝土材料吗？
流变学理论
弹性理论：仅与应力状态有关 塑性理论：与应力状态、加载历史、加载路径有关
流变学理论：除上述外，还与时间有关
应变徐变、应力松弛．．．
三种基本元件：
• 理想弹性元件（Hook体、弹簧体） • 粘性元件（Newton体、阻尼体） • 理想塑性元件（St.Venant体、滑块体）
E


引入中间变量t，考察 t 关系 徐变： t 0
0
E
0
0 t
卸载：恢复弹性变形，保留徐变
Biblioteka Baidu
流变学理论
两元件的组合单元之一： 麦克斯韦（Maxwell）模型 0 松弛： t 0
t 任意 0
0e
非线性弹性本构关系－增量型
全量型：按比例一次加载，与加载路径无关 增量型：逐级加载/非比例加载 建立应力增量与应变增量的关系
以一维为例， d Et d • Saenz公式
• Sargin公式
Et
：切线弹性模量 应力对应变求导得到
• Elwinad-Murray公式
非线性弹性本构关系－增量型
• Saenz公式
非线性弹性本构关系－增量型
• Sargin公式
非线性弹性本构关系－增量型
• Elwinad-Murray公式
非线性弹性本构关系－增量型
双向应力状态下的Darwin-Pecknold模型
考虑泊松比的影响，正交异性的应力增量和应变 增量的关系为：
d 1 1 d 2 d 1 1 2 3 E1 2 E1 E E2 1 2 0 0 d 1 d 0 2 (1 1 2 )G d 3 0
屈服面：F ( ij ) 0
弹塑性本构关系－增量理论
2）硬（强）化条件和加卸载准则
加卸载准则 （2）强化材料的加卸载准则
弹塑性本构关系－增量理论
2）硬（强）化条件和加卸载准则
加卸载准则 （3）软化材料的加卸载准则
( ij , H ) 0
应变空间！
弹塑性本构关系－增量理论
2）硬（强）化条件和加卸载准则
E1 ?
E2 ?
1 ? 2 ?
G?
Darwin-Pecknold：在消除了泊松比影响后，双轴受压下 各主向的应力－应变关系可用Saenz公式描述。 双轴受拉，一轴受压一轴受拉，受拉方向：
非线性弹性本构关系－增量型
双向应力状态下的Darwin-Pecknold模型
i
E0 iu iu 2 1 ( 2)( ) ( ) Ec ic ic
弹塑性本构关系－增量理论
2）硬（强）化条件和加卸载准则
后继屈服面：卸载后再加载，初始屈服面扩大或缩小 与应力状态、塑性变形程度和加载历史有关
p f (ij , ij , k) 0
K为硬化或软化参数
弹塑性本构关系－增量理论
2）硬（强）化条件和加卸载准则
加卸载准则
（1）理想弹塑性材料的加卸载准则
E t

麦克斯韦模型与混凝土徐变/松驰的差异：趋于某一限值
流变学理论
两元件的组合单元之二： 开尔文（Klevin）模型 力平衡方程： 1 1 2 元件力－变形关系： E

组合元本构方程： E
引入中间变量t，考察 t 关系 徐变：
g ij
上式可确定塑性变形的方向 若塑性势面g＝0与屈服面F＝0取为相同，则称相关联的 流动法则； 否则，称非关联的流动法则
Ks ab oct c d K0
Gs pq oct m s oct t G0
K 0 ：初始体积模量
G0
：初始剪切模量
oct
：八面体正应变
oct ：八面体剪应变
非线性弹性本构关系－全量型
全量K－G型（方法一）
非线性弹性本构关系－全量型
全量E 型 （Ottosen模型，方法二）
t0

E
0
(1 e
E t
0
E

)
卸载： 应变逐渐消失 松弛
与混凝土相符吗？
非松弛体
流变学理论
三元件的组合单元之一：
流变学理论
三元件的组合单元之二：
略!
柏格斯模型
流变学理论
三元件的组合单元之三： 粘塑性模型
塑性元件 粘性元件
徐变
松弛
断裂力学理论
研究固体材料中裂缝的扩散规律和断裂条件
混凝土材料的本构关系
• 弹性理论 • 弹塑性理论 • 粘弹性理论 • 粘塑性理论 • 断裂力学理论 • 损伤力学理论 • 内时理论
E
d E( )d Et d
• 非线性弹性理论 E( ) 各种模型 流变学理论
弹塑性理论
塑性变形：卸载后产生不可恢复的变形 • 加载模型 理想弹塑性模型 强化弹塑性模型 刚塑性模型 一般弹塑性模型 • 卸载模型 • 反向加载（强化）模型 等强强化模型 随动强化模型 软化如何考虑？ 弹性段： E 塑性段： E[1 ( )]
i为主应力方向（i＝1，2）
E0 iu
ic ：采用Kupfer公式
ic ：Darwin-Pecknold建议公式
E1 和E 2 可解
非线性弹性本构关系－增量型
由弹性理论（正交异性）：
由于试验资料不足取：
1 E1 2 E2
1 2
正交异性的应力增量和应变增量的关系为：
考虑加载过程，计算机时代被广泛使用
三方面作出假定：
1）屈服准则
应力状态满足什么条件，材料进入屈服状态 2）流动法则 材料处于屈服状态时，塑性变形增量的方向 3）硬化法则
材料达初始屈服面后，卸载后再次加载，屈服条件变化法则
理想弹塑性、硬化、软化？
弹塑性本构关系－增量理论
1）屈服准则
几个概念：初始屈服面，后继屈服面，加载面，破坏面