2014中考总复习第5讲二次根式

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所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
2 问: ( 1) 请仿照例中的分类讨论的方法, 分析二次根式 a 的各种展开的情况;
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分类讨论思想 解答数学题总是在一定的范围内进行的, 有时需将问题涉及的所有对象按一定的 标准分成若干类, 然后逐类讨论, 才能得出正确的答案. 这种解题方法称为分类讨论法. 分类的原则是: 不重复, 不遗漏. 对于某些几何问题, 因图形的位置或形状不确定, 只有通 过讨论才能保证结论的完整性, 即不漏解. 例 阅读材料, 解答下列问题. 当 a>0 时, 如 a=6, 则| a| =| 6| =6, 故此时 a 的绝对值是它本身; 当 a=0 时, | a| =0, 故此时 a 的绝对值是零; 当 a<0 时, 如 a=-6, 则| a| =| -6| =6=- ( -6) , 故此时 a 的绝对值是它的相反数.
12
9. (2011·厦门九上质检)计算 2 × 3 - 6 . 【解析】 原式= 6 6 6 . 10. ( 每小题 5 分, 共 10 分) 计算:
1 B. x≠ 2
1 C. x≥0 且 x≠ 2
D. 一切实数
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2. 下列函数中, 自变量 x的取值范围是 x≥3 的是(
1 A. y= x 3
)
B. y=
1 x3
C. y=x-3
D. y= x 3
【解析】 选 D . A 项中 x≠3; B 项中 x>3; C 项中 x为任意数; 只有 D 项中 x≥3. 3. (2012·福州)若 20n 是整数, 则正整数 n 的最小值是 【答案】 5 .
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(时间: 6 0 分钟 分数: 1 0 0 分) 一、选择题( 每小题 6 分, 共 2 4 分) 1. (2 0 1 1 ·福州九上质检)下列二次根式中, 最简二次根式是( A. )
2
B.
8 8
=2
C.
12
D.
18
【解析】 选 A .
2 , 12 =2 3 , 18 =3 2 ,只有 2 是最简二次根式.
)
【解析】 选 A . B 中应为 3 3 2 3 , C 中应为 3 × 3 3 , D 中应为
3÷ 3 1 .
7. (2011·福州九上质检)计算: 27 × 50 ÷ 6 . 【解析】 原式=3 3 × 5 2 ÷ 6 =15 6 ÷ 6 =15.
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2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
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【自主解答】 ( 1) 当 a>0 时, 如 a=3 时,
a2 = 9 =3=a;
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2 -1, 则
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.
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7. (2011·厦门九上质检)若 a= 【解析】原式=a( a当 a=
2)
a2-
2 a 的值是
2 -1 时, 原式= ( 2 -1) ( 2
-1-
2) =1- 2 .
8. (2013·龙岩中考)已知| a-2| + 【解析】∵| a-2| 与 要使| a-2| +
【思路点拨】 根据二次根式的性质求解. 【自主解答】 根据公式
(a 1) 2
a2
=| a| 可知:
-1=| a-1| -1,
由于 a<1, ∴a-1<0, 因此| a-1| -1= ( 1-a) -1=-a. 【答案】 D
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2 5. 若 (a 3) =3-a, 则 a 与 3 的大小关系是(
2 【解析】 选 B . ( 6) =6, ∵4<6<9, ∴2< 6 <3, ∴3< 6 +1<4.
二、填空题( 每小题 6 分, 共 24 分)
4 x 5. 函数 y= x 2 中, 自变量 x的取值范围是
.
【解析】 由题意, 得: 4-x≥0 且 x≠2, ∴x≤4 且 x≠2. 【答案】 x≤4 且 x≠2
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3. 二次根式的运算. 考向分析 结合近几年中考试题分析, 二次根式的内容考查主要有以下特点: 1. 命题方式为二次根式的化简与运算, 常常结合分式的化简求值题 目进行考查, 题型以填空题、解答题为主. 2. 命题的热点为二次根式的性质的运用, 二次根式的运算, 利用 a ( a≥0) 有意义确定字母的取值范围.
1 3 D. 3 = 3 , 不是最简二次根式, 故此选项错误.
【答案】 B
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知识考点 02 二次根式的性质 1. a ( a≥0) 具有双重非负性, 一是 a≥0, 二是 a ≥0.
2 2 2. a2 中的 a 可以是任意实数, 而( a ) 中的 a 必须是非负数, 当 a<0 时, ( a)
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8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
【解析】
2 1 1 x 原式= 3 × 3 x +6× -2x· x x =2 x +3 x -2 x =3 x . 2
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已知 a 为实数, 那么 a2 = ( A. a C. -1 B. -a D. 0
)
【解析】 选 D . 当 a>0 时, -a2<0, a2 无意义; 当 a=0 时, -a2=0, a2 =0; 当 a<0 时, -a2<0, a2 无意义.
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b 3 =0, 则
ab=
.
b 3 均为非负数
b 3 =0 成立
a 2 0 a 2 必须 , 解得 , b 3 0 b 3
∴ab=23=8. 【答案】 8
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三、解答题( 共 52 分)
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6. (2012·厦门九上质检)若 x= a +1, y= a -1, x2-y2=8, 则 a= 【解析】 ( x+y) ( x-y) =8, ( a +1+ a -1) ( a +1- a +1)=8 4 a =8 a=4.
.
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)
A. a<3
B. a≤3
C. a>3
D. a≥3
2 【解析】 选 B . ∵ (a 3) =| a-3| ,
2 又∵ (a 3) =3-a,
∴| a-3| =3-a, ∴a-3≤0, ∴a≤3.
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知识考点 03 二次根式的运算 1. 二次根式的运算结果, 必须化简为最简二次根式. 2. 在被开方数相乘时, 可先考虑因式分解或因数分解,避免繁杂运算. 3. 实数运算中的运算律,运算法则及所有的乘法公式,在二次根式的运算中仍 然适用. 例3
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4. ( 2013 上海) 下列式子中, 属于最简二次根式的是(
)
A. 9
B. 7
C . 20
1 D. 3
【解析】 A . 9 =3, 故此选项错误; B . 7 是最简二次根式, 故此选项正确; C . 20 =2 5 不是最简二次根式, 故此选项错误;
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例 1 (2012·龙岩中考)使代数式 x 1 有意义的 x的取值范围是 【思路点拨】 要使 x 1 有意义, 须满足 x-1≥0. 【答案】 x≥1
.
x 1. (2012·德阳)使代数式 2 x 1 有意义的 x的取值范围是(
)
A. x≥0 【答案】 C
没有意义. 3. 如果被开方数中有的因式能够开得尽方,可以利用公式 =|a|把开得尽方 的因式用它的算术平方根代替移到根号外面.
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(a 1) 2
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-1= ( )
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例 2 (2010·广州中考)若 a<1, 化简 A. a-2 B. 2-a C. a
D. -a
2 当 a=0 时, a = 0 =0;
当 a<0 时, 如 a=-3 时,
a2 = 9 =3=-a.
a 0 2 ∴综上所述: a = a
2 (2) a =| a| .
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
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3 1 (2013·南京中考)计算 2 - 2 的结果是
.
【思路点拨】 先把式子中的每一项化简, 再合并. 【自主解答】 原式= 2 2 2 2.
3 2 2 2 2
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6. (2012·厦门九上质检)下列计算正确的是( A. 3 3 0 C . 3× 3 6 B. 3 3 3 D . 3÷ 3 3
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二、二次根式的性质
2 1. ( a) =a(
) .
.
(a 0) a 2. a =| a| = ____ (a 0)
2
3. ab =
b 4. a =
( a≥0, b≥0) .
( b≥0, a>0) .
三、二次根式的运算 1. 二次根式的加、减法: 先把二次根式化为 ,
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2. (2012·三明)下列计算错误的是( A . 2× 3 6 C . 12 ÷ 3 2 【答案】 B
B. 2 + 3 6 D. 8 2 2
3. (2013·同安质检)下列各式中, 运算正确的是( A. 2+ 3 5 C. a6÷ a3=a2 B . 6÷ 3 2
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第五讲
二次根式
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课标要求 了解: 二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则. 会: 用二次根式的概念和运算法则进行有关实数的简单四则运算 ( 不要求分母有理化) . 高频考点 1. 二次根式的有关概念. 2. 二次根式的性质.
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一、二次根式的有关概念 1.二次根式:形如 的式子叫做二次根式.
2.最简二次根式:最简二次根式必须同时满足以下两个条件: (1)被开方数不含分母; (2)被开方数(或式)中不含能开得尽方的 .
3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果 相同,这几个二次根式叫做同类二次根式.
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再合并
二次根式. ( a≥0, b≥0) .
2. 二次根式的乘法: a · b =
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
2 D. ( a3) =a5
)
2 【解析】 选 B . A 中 2 + 3 不能再合并, C 中应为 a6÷ a3=a3, D 中应为( a3) =a6.
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)
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4. (2012·天津中考)估计 6 +1 的值在( A. 2 到 3 之间 C. 4 到 5 之间 B. 3 到 4 之间 D. 5 到 6 之间
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
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2. ab
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知识考点 01 二次根式的有关概念 1.二次根式 a 中的被开方数 a 可以是数,也可以是单项式、多项式、分 式等代数式,但必须注意 a≥0 是 a 为二次根式的前提条件. 2.判断一个代数式是不是二次根式,不能先化简再判断,如 4a2 是二次 根式. 3.判断几个二次根式是否为同类二次根式,必须先把它们化为最简二 次根式,然后看它们的被开方数是否相同.