隐函数的导数论文

本科学年论文

论文题目：隐函数的导数

学生姓名：

学号：

专业：数学与应用数学

班级：09届应数本一班

指导教师：

完成日期：2010年 12 月 10 日

隐函数的导数

内容摘要

本文章将给出隐函数的概念和隐函数的求导法则。且在一个二元方程所确定的隐函数的基础上进一步推广，并证明隐函数的存在性，连续性，隐函数在几何方面的应用等,并通过实例加以验证.

Content summary

Summary this article will give a notion of implicit and hidden functions of derivation rules. And in a binary equation by implicit function on the basis of the further promotion, and to prove the existence of implicit function, continuity, implicit function in the application of geometric aspects and, through the instance to be verified.

关键词：隐函数的存在性隐函数的求导法则隐函数的应用

Tags: hidden functions of implicit function derivation rules implicit application of the

目录

一．隐函数的定义 (1)

二.隐函数的存在性 (1)

三.隐含数求导法则 (1)

(一).应用复合函数求导法 (2)

(二).对数求导法 (2)

四.隐含数导数在几何方面的应用 (4)

参考文献 (6)

序言

在高等数学教学过程中，隐函数求导问题是一个非常重要的内容，因为导数是数学教学的基础，同时隐函数的求导问题一直是困扰数学学习的一个难点问题，隐函数求导中的诸多问题至今还未解决，隐函数求导问题是数学研究中非常重要的一个课题.

本文中对隐函数求导常用的方法做了汇总，并通过实例加以验证，文章对隐函数的探讨限于一阶导数，并对隐函数的存在性及可导加以说明。

一：隐函数的定义：

设有两个非空数集A 与B ，若任意x ∈A ，由二元方程F （x 、y ）=0对应唯一一个y ∈B ，

则称此对应关系f （或写为y=f(x)）是二元方程F （x 、y ）=0确定的隐函数。 二：隐函数的存在性：

若二元函数Z=F （x 、y ）在以点(x 0, y 0)为中心的矩形区域D （边界平行坐标轴）满

足下列条件：

1> F '

x （x 、y ）与F 'y （x 、y ）在D 上连续 (从而F （x 、y ）在D 连续);

2> F （x 0、y 0）=0; 3> F '

y （x 0、y 0）≠0;

则：ⅰ>.∃δ>0与β>0，∀x ∈∆=(x 0-δ、y 0+δ)存在唯一一个y=f(x 、y)（隐函数），使F[x 、f(x)]=0，f(x 0)=y 0,且有 y 0-β< f(x)< y 0+β;

ⅱ>.y=f(x)在区间∆连续； ⅲ>. y=f(x)在区间∆有连续导数且 F '

（x 、y ）=-''(,)

(,)

x y F x y F x y 。

例：验证方程在指定点的领域存在以X 为自变量的隐函数，并求

dy dx

。 1. xy+2lnx+3lny-1=0, 点（1，1）。

解：设 F （x,y ）= xy+2lnx+3lny-1

ⅰ> .F '

x （x 、y ）=y+2x

, F '

y （x 、y ）=x+3y 在点（1，1）连续；

ⅱ>. F (1,1)=0；

ⅲ>. F '

y ≠0；

根据定理。在点X=1的领域有可导的隐函数y=f(x),其中

dx dy =-y

x x y 32

++

=-x

y x y xy 3222++ 三.隐含数求导法则:

(一).应用复合函数求导法:

例1.求方程xy+3x 2

-5y=0确定的隐含数y=f(x)的导数。

解：方程两端对X 求导，由复合函数的求导法则（注意，y 是x 的函数），有

（xy+3x 2-5y-7）'=0,

(xy)'+3(x 2)'-5(y)' -(7)'=0, xy '+y+6x-5y '=0, 解得隐含数的导数y '=

x

y

x -+56. 例2. 求方程e y =xy 确定的隐含数y=f(x)的导数。

解：方程两端对X 求导，由复合函数的求导法则（注意，y 是x 的函数），有 e y y '=y+xy ' 解得隐含数的导数： y '

=

x e y y -=x xy y -=)

1(-y x y .

例3．证明双曲线122

22=-b

y a x 上一点（00,y x ）的切线方程是：

.12020=-b

y

y a x x （1） 证明：首先求过点),(00y x （y 00≠）的切线的斜率k ，即求双曲线确定的隐 含数y=f(x)的导数在点),(00y x 的值。

（'2222)b y a x -=（1）'

， .0222'2=-b

yy a x

解得y '

=.22y a x

b .在点),(00y x 的切线斜率k=.0

202y a x b 从而，切线是：

y-y 0

=

)(00

2

2x x y a x b -或.22

02202020b y a x b y y a x x -=- 因为点),(00y x 在双曲线上，所以.1220

22=-b

y a x o 于是，所求的切线的方程是

.12020=-b

y

y a x x 当y 0=0时，有x 0=a ±.过双曲线122

22=-b

y a x 上点（)0,a ±的切线方程是

x=a ±,也满足（1）式。 （二）.对数求导法：

将显函数化为隐含数的方法是在等号两端取绝对值再取对数，这就是对数求导