全国中学生物理竞赛课件：曲线运动曲直谈

一、曲线运动的发生条件 F 合外力方向与速度方向不在一直线 二、曲线运动的特点

速度方向一定变化 切向力改变速度大小 法向力改变速度方向 v F n

F t 三、求解曲线运动问题的运动学基本方法

矢量的合成与分解 微元法

曲线运动的加速度 ♠质点的瞬时加速度定义为 0lim t v a t ∆→∆=∆ A v B v ∆n v ∆t v ∆0lim n n t v a t ∆→∆=∆0lim t t t v a t ∆→∆=∆为求一般的做曲线运动质点在任一

点的瞬时加速度，通常将其分解为法向加速度a n 与切向加速度a t ． O

A 点曲率圆 ρn A v v A

B ρ∆=n A v v AB t t ρ∆⋅=∆⋅∆0lim An t a ∆→=0lim A t v AB t ρ∆→⋅=⋅∆2n v a ρ=A 点曲率圆半径

0lim t t t v a t ∆→∆=∆a

B

在离水面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳的速率恒为v 0，试求船在离岸边s 距离处时的速度与加速度的大小各为多少？

专题7-例1 依据实际运动效果分解船的运动： v 0

A v v n h s θv t 船及与船相系的绳端A 的实际运动是水平向左的，这可看作是绳之A 端一方面沿绳方向向“前方”滑轮处“收短”，同时以滑轮为圆心转动而成，即将实际速度v 分解

成沿绳方向“收短”的分速度v n 和

垂直于绳方向的转动分速度v t ;

注意到绳子是不可伸长的，人收绳的速率v 0也就是绳端A 点沿绳方向移动速率v n :

由图示v 、v t 、v n 矢量关系及位置的几何关系易得： 0n v v =00cot t h v v v s θ==0sin v v θ=则220h s v s =+求船的速度 续解

θ

求船的加速度 在一小段时间Δt 内,船头位置

从A 移A ′，绳绕滑轮转过一小角度Δθ→0: A

v v 0 θ

v t A 'θ

v 'v 0 t v 'θ∆()0sin v v θθ'=-∆θθ-∆读题 ()011sin sin v v θθθ⎛⎫∆=- ⎪ ⎪-∆⎝⎭

由加速度定义得： 0lim t v a t ∆→∆=∆0cos tan cos t h h t v v θθθθθ⎛⎫⋅∆ ⎪⋅∆⎝⎭∆==由几何关系得： cos h θθ

⋅∆()00011sin sin lim tan cos v a h v θθθθθθθ

∆→⎛⎫- ⎪ ⎪-∆⎝⎭=⋅∆则()()200sin sin cos lim tan sin sin v h θθθθθθθθθθ∆→--∆=⋅∆⋅-∆⋅()200cos sin cos 22lim tan sin sin 2

v h θθθθθθθθθθ∆→∆∆⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=∆⋅-∆⋅230cot v h θ=2203v h s =320v h h s ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭

质点沿圆周做速度大小、方向均变化的运动．每个瞬时的加速度均可分解为切向加速度a t 与法向加速度a n ，前者反映

质点速率变化快慢，后者反映质点速度方向变化快慢． 如图所示，质点从O 点由静止开始沿半径为R 的圆周做速率均匀增大的运动，到达A 点时质点的加速度与速度方向夹角为α，质点通过的弧s 所对的圆心角为β，试确定α与β间的关系．

专题7-例2 v A a A O β s αa t a n 由题给条件 22t n a t a R =

则222,A n t a a s v R

t

==而 ()22,A t v a t s R β

==2n t t a a t a R ⇒=222st t R =2β=tan n t a a α=又 tan 2αβ

=

如图所示，质点沿一圆周运动，过M 点时速度大小为v ，作加速度矢量与圆相交成弦MA =l ，试求此加速度的大小．

将M 点加速度沿切向与法向进行分解! v a M A l O a t

a n 法向加速度 2sin n v a a R α==α2

2a v l =sin =2而l R αα2sin v a R α=

如图所示，曲柄OA 长40 cm,以等角速度ω=0.5rad/s 绕O 轴反时针方向转动．由于曲柄的A 端推动水平板B 而使滑杆C 沿竖直方向上升，求当曲柄与水平线夹角θ=30°时，滑杆C 的加速度．

杆A 与B 板接触点有相同沿竖直方向的加速度 !

杆上A 点加速度 2A a l ω=⋅O A B

C ω θ a A

a Ay a C 2

0.05m/s B a =21sin 2

Ay A a a l θω==⋅θ 此即滑杆C 的加速度 C Ay

a a =代入数据得滑杆C 的加速度

有一只狐狸以不变的速度v 1沿着直线AB 逃跑，一猎犬以不变的速率v 2追击，其运动方向始终对准狐狸．某时刻狐狸在F 处，猎犬在D 处，FD ⊥AB ，且FD ＝L ，如图．试求此时猎犬的加速度的大小．

设Δt 时间内，v 2方向变化Δθ, Δθ→0时: F L A B D A 'B '

v 1 v 2 v 2 v

∆1v t ⋅∆v 2 1tan v t L

θθ⋅∆∆=→∆θ∆θ∆由加速度定义，猎犬 加速度 0lim t v a t ∆→∆=∆20lim t v t θ∆→⋅∆=∆12a v v L

=

赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶，在0.1 s 内速度由10.0m ／s 加大到10.5 m ／s ，那么该赛车在半径为30 m 的环形公路段行驶中，要达到同样大的速度需要多少时间？当环形公路段的半径为多少时，赛车的速度就不可能增大到超过10 m/s ？（公路的路面是水平的）

直线加速时车的加速度 :

20005m/s t v v a t -==在环形公路上，法向加速度 2t n v a R =0t t v v a t -=切向加速度 2220n t a a a +=代入数据 4210.50.2525900t +=0.15t 200m v a R =当轨道半径令法向加速度大小等于a 0: 无切向加速度，赛车速率不会增加 m 20m R =