数学建模算法与应用—综合评价与决策方法

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14.1.1 方法和原理
设多属性决策方案集为 D {d1 , d 2 , , d m }， 衡量方案 优劣的属性变量为 x1 , , xn ， 这时方案集 D 中的每个方案 d i （ i 1, , m ）的 n个属性值构成的向量是[ai 1 , , ain ]， 它作为 n维空间中的一个点，能唯一地表征方案 d i 。
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14.1.2 TOPSIS法的算法步骤 TOPSIS 法的具体算法如下 （1）用向量规划化的方法求得规范决策矩阵 设多属性决策问题的决策矩阵 A (aij )mn ， 规范化
bij aij
2 a ij ， i 1,2, i 1 m
决策矩阵 B ( bij )mn ，其中
数学建பைடு நூலகம்算法与应用
第14章 综合评价与决策方法
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评价方法大体上可分为两类，其主要区别在确定 权重的方法上。一类是主观赋权法，多数采取综合咨 询评分确定权重，如综合指数法、模糊综合评判法、 层次分析法、功效系数法等。另一类是客观赋权，根 据各指标间相关关系或各指标值变异程度来确定权 数，如主成分分析法、因子分析法、理想解法（也称 TOPSIS 法）等。
, m ， j 1,2,
,n .
（14.1）
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（2）构造加权规范阵C ( cij )mn 设 由 决 策 人 给 定 各 属 性 的 权 重 向 量 为 T w [ w1 , w2 , , wn ] ，则 cij w j bij ，i 1,2, , m， j 1,2, , n . （14.2）
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（3）确定正理想解 C * 和负理想解C 0 * 0 * C C j 设正理想解 的第 个属性值为 c j ， 负理想解 第 j 个 属性值为 c 0 j ，则 正理想解 max cij , j为效益型属性, i j 1,2, c* j min cij , j为成本型属性, i 负理想解
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正理想解 C * 是一个方案集 D 中并不存在的虚拟的最 佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好 值；而负理想解 C 0 则是虚拟的最差方案，它的每个属性 值都是决策矩阵中该属性的最差值。在 n 维空间中，将 方案集 D 中的各备选方案 d i 与正理想解 C * 和负理想解C 0 的距离进行比较，既靠近正理想解又远离负理想解的方 案就是方案集 D 中的最佳方案；并可以据此排定方案集 D 中各备选方案的优先序。
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目前国内外综合评价方法有数十种之多， 其中主要 使用的评价方法有主成分分析法、 因子分析、 TOPSIS、 秩和比法、灰色关联法、熵权法、层次分析法、模糊评 价法、物元分析法、聚类分析法、价值工程法、神经网 络法等。
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14.1 理想解法
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14.1.3 示例
例 14.1 研究生院试评估。 为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研 究生院的教学质量，国务院学位委员会办公室组织过 一次研究生院的评估。为了取得经验，先选 5 所研究 生院，收集有关数据资料进行了试评估，表 14.1 是所 给出的部分数据。
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表 14.1
研究生院试评估的部分数据 生师 科研经费 x 3 逾期毕业率 比 x 2 （万元/年） x4 （%） 5 6 7 10 2 5000 6000 7000 10000 400 4.7 5.6 6.7 2.3 1.8
i 1 2 3 4 5
人均专著 x1 j （本/人） 0.1 0.2 0.4 0.9 1.2
目前已有许多解决多属性决策的排序法，如理想点 法、简单线性加权法、加权平方和法、主成分分析法、 功效系数法、可能满意度法、交叉增援矩阵法等。本节 介绍多属性决策问题的理想解法，理想解法亦称为 TOPSIS 法，是一种有效的多指标评价方法。这种方法 通过构造评价问题的正理想解和负理想解，即各指标的 最优解和最劣解，通过计算每个方案到理想方案的相对 贴近度，即靠近正理想解和远离负理想解的程度，来对 方案进行排序，从而选出最优方案。
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用理想解法求解多属性决策问题的概念简单，只要 在属性空间定义适当的距离测度就能计算备选方案与理 想解的距离。TOPSIS 法所用的是欧氏距离。至于既用正 理想解又用负理想解是因为在仅仅使用正理想解时有时 会出现某两个备选方案与正理想解的距离相同的情况， 为了区分这两个方案的优劣，引入负理想解并计算这两 个方案与负理想解的距离，与正理想解的距离相同的方 案离负理想解远者为优。
, n . （14.3）
min cij , j为效益型属性, i j 1,2, c0 j max cij , j为成本型属性, i
, n.
（14.4）
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（4）计算各方案到正理想解与负理想解的距离 备选方案 d i 到正理想解的距离为
si*
* 2 ( c c ij j ) ，i 1,2, j 1
n
, m.
（14.5）
备选方案 d i 到负理想解的距离为
si0
0 2 ( c c ij j ) ，i 1,2, j 1
n
, m.
（14.6）
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（5）计算各方案的排序指标值（即综合评价指数） （14.7） f i* si0 / ( si0 si* )， i 1,2, , m. （6）按 f i* 由大到小排列方案的优劣次序。
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解 第一步，数据预处理 数据的预处理又称属性值的规范化。 属性值具有多种类型， 包括效益型、 成本型和区间 型等。这三种属性，效益型属性越大越好，成本型属性 越小越好，区间型属性是在某个区间最佳。