保险学之风险汇聚与风险偏好(ppt 49页)
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（x1,…,xn），那么该项赌博的吸引力由该赌博获得的期望收益x=∑xipi决定。
27
二、倍努利的圣·彼得斯伯格悖论（St. Petersburg Paradox)
但通常所运用的期望值规律却并不总是适用，比如1738 年倍努利（Bernoulli)提出的：即”圣·彼得斯伯格悖论 （St. Petersburg Paradox)“：投掷质地均匀的硬币，直至出 现反面，如果掷第一次就出现反面，得到2美元，第二次 掷出现正面，得到4美元，第三次掷得到8美元，这样赌 局的期望值是：但没有人愿意出十几美元或更多的钱去 冒险。
n
k1
Biblioteka Baidu
19
• 切贝雪夫大数法则说明，当n足够大时，平均每个被保险人实际 获得的赔偿金额与每个被保险人获得的赔偿金额的期望值之间的 差异很小，或者说，平均每个人获得的赔款与赔款的期望值之差 的绝对值小于这一事件，在n→∞时是个必然事件。而保险公司从 投保人那里收取的纯保费（不包括保险公司的管理费用、税收和 利润等）应等于每个被保险人获得的赔偿金的期望值。切贝雪夫 大数法则又指明了期望值在n→∞时等于实际赔偿额的平均值。尽 管实际赔偿额的平均值事先是无法知道的，但保险人可以根据以 前的统计资料知道同类损失的平均值是多少。所以当n足够大时， 保险人从投保人哪里收取的保险费应该是以前损失的平均值。这 就是保险公司从投保人那里收取多少的保险费的基本依据，如果 风险汇聚的加入者达不到一定的“大数”，保险公司就无从知道 应该向每个投保人收取多少保险费，保险也就失去了最基本的精 算基础。
11
12
13
14
第二节 风险汇聚、大数法则与中心极限定理
一、风险汇聚的效果
当风险是相互独立的时候，汇聚安排可以抑制风险， 风险管理的价值因此而显现出来。
15
例子：假设蓝猫和黑猫下一年度发生20万元损失的概率都为20%， 且两者的事故损失不相关。
16
• 如果蓝猫和黑猫决定在他们之间进行风险汇聚，也就是说，不论 谁发生意外，两个人同意均担发生的损失，这时看期望损失和标 准差如何变化：
回报率40%；低于大盘指数回报率-20%。
E VP iX i 0 .5 * 14 0 .0 5 * 8 0 0 10 100
i
如果符合期望值规律（Expected value rule），即总是选择期望值 最高的投资) ：则应选择投资基金。
**期望值规律：假定在一次赌博中，分别以概率（p1,…,pn）获得收益
17
• 可以看到，风险汇聚虽然不能改变每个人的期望损失，但却能将 平均损失的标准差由8万元减小到5.66万元，使事故损失变得更 容易预测，因此风险汇聚降低了每个人的风险。
• 不难证明，当风险汇聚的加入者增多，平均损失的标准差会进一 步减少，出现极端损失（非常高的损失和非常低的损失）的概率 不断降低，风险变得更易预测。而且随着加入者数量的增加，每 个人支付的平均损失的概率分布逐渐接近于钟形曲线。
7
6.偏度(Skewness)
1 n
SKn1i1(xi
x)3/3
8
7.协方差(Covariance)
n
C(o X,v Y) P i(xix)y (iy) i1
9
8.相关系数（Correlation coefficient）
(X,Y)Co(vX,Y) X Y
10
〔二〕风险管理
风险管理是通过风险的识别、衡量和控制，以最 小的成本将风险导致的各种不利后果减少到最低限度 的科学管理方法，是组织、家庭或个人用以降低风险 的负面影响的决策过程。
• 风险的重要性在于它能给人们带来损失或收益；而不确定性的重 要性则在于它影响着个人、公司和政府的决策过程。
2
〔一〕风险的度量
1.概率(Probability)
P(A)Limmp n n
3
2.期望值(Expected value)
E(X) xi pi i1
E(X) xf(x)dx
4
3.方差(Variance)
• 当参加风险汇聚的人足够多，达到一定的大数，每个参加者成本 的标准差将变得接近于零，因此每位加入者的风险将变得可以忽 略不计。这就是保险经营最重要的数理基础——大数法则。
18
二、大数法则(Law of larger numbers)
1.切贝雪夫（Chebyshev）不等式和切贝雪夫大数法则
lim P 1 n n Xk 1
22
〔二〕中心极限定理
当风险汇聚的加入者足够多时，平均损失的分布 接近于正态分布，就可以用正态分布的概率值来估计 结果超过某给定值的概率。
23
• 德莫佛-拉普拉斯定理 • 列维定理
24
25
第三节 期望效用与风险偏好
一、效用与投资风险
26
例子：1000元钱在1年之内： 夹在书中：——1000元 存入银行：——1030元 投资基金：——预定指数高于大盘指数（比如上证指数）：
20
2.辛钦大数法则 3.贝努利大数法则
在保险经营中，当相互独立的风险单位满足一定的大数，保险公 司就可以用以往损失频率的统计数据来推测未来同一损失发生的 概率，因为，大数法则令两者近于相等。
21
4.泊松（Poisson）大数法则
liP m n n np1p2n pn 1
在保险经营中，尽管相互独立的风险单位的损失概率可能各不 相同，但只要标的足够地多，仍可以在平均意义上求出相同的损 失概率。保险公司由此可以把性质相似的各分类的标的集中在一 块，求出一个整体的费率，再加以调整，从而在整体上保证收支 平衡。比如，尽管同一档次的众多车辆所面对的风险可能各不相 同，但仍可以把它们放在同一个风险集合之内进行风险汇聚，只 要这些车的数量满足一定的大数即可。
第一讲 效用、风险与风险态度
1
第一节 风险、不确定性与风险管理
一、风险与不确定性
• 风险是客观存在（A state of world ），而不确定性 是心理状态（A state of mind ）。
• 风险是可以测定的(Measurable)，有其发生的一定概 率，而不确定性是不能测定(Immeasurable)。
Va(rX) [xi E(X)]2P (Xxi) i1 xi2P (Xxi)[E(X)]2 i1
Va(rX) [xE(X)]2f(x)dx x2f(x)dx[E(X)]2
5
4.标准差(Standard deviation)
Var
6
5.离散系数(Deviation coefficient)
27
二、倍努利的圣·彼得斯伯格悖论（St. Petersburg Paradox)
但通常所运用的期望值规律却并不总是适用，比如1738 年倍努利（Bernoulli)提出的：即”圣·彼得斯伯格悖论 （St. Petersburg Paradox)“：投掷质地均匀的硬币，直至出 现反面，如果掷第一次就出现反面，得到2美元，第二次 掷出现正面，得到4美元，第三次掷得到8美元，这样赌 局的期望值是：但没有人愿意出十几美元或更多的钱去 冒险。
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Biblioteka Baidu
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• 切贝雪夫大数法则说明，当n足够大时，平均每个被保险人实际 获得的赔偿金额与每个被保险人获得的赔偿金额的期望值之间的 差异很小，或者说，平均每个人获得的赔款与赔款的期望值之差 的绝对值小于这一事件，在n→∞时是个必然事件。而保险公司从 投保人那里收取的纯保费（不包括保险公司的管理费用、税收和 利润等）应等于每个被保险人获得的赔偿金的期望值。切贝雪夫 大数法则又指明了期望值在n→∞时等于实际赔偿额的平均值。尽 管实际赔偿额的平均值事先是无法知道的，但保险人可以根据以 前的统计资料知道同类损失的平均值是多少。所以当n足够大时， 保险人从投保人哪里收取的保险费应该是以前损失的平均值。这 就是保险公司从投保人那里收取多少的保险费的基本依据，如果 风险汇聚的加入者达不到一定的“大数”，保险公司就无从知道 应该向每个投保人收取多少保险费，保险也就失去了最基本的精 算基础。
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第二节 风险汇聚、大数法则与中心极限定理
一、风险汇聚的效果
当风险是相互独立的时候，汇聚安排可以抑制风险， 风险管理的价值因此而显现出来。
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例子：假设蓝猫和黑猫下一年度发生20万元损失的概率都为20%， 且两者的事故损失不相关。
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• 如果蓝猫和黑猫决定在他们之间进行风险汇聚，也就是说，不论 谁发生意外，两个人同意均担发生的损失，这时看期望损失和标 准差如何变化：
回报率40%；低于大盘指数回报率-20%。
E VP iX i 0 .5 * 14 0 .0 5 * 8 0 0 10 100
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如果符合期望值规律（Expected value rule），即总是选择期望值 最高的投资) ：则应选择投资基金。
**期望值规律：假定在一次赌博中，分别以概率（p1,…,pn）获得收益
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• 可以看到，风险汇聚虽然不能改变每个人的期望损失，但却能将 平均损失的标准差由8万元减小到5.66万元，使事故损失变得更 容易预测，因此风险汇聚降低了每个人的风险。
• 不难证明，当风险汇聚的加入者增多，平均损失的标准差会进一 步减少，出现极端损失（非常高的损失和非常低的损失）的概率 不断降低，风险变得更易预测。而且随着加入者数量的增加，每 个人支付的平均损失的概率分布逐渐接近于钟形曲线。
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6.偏度(Skewness)
1 n
SKn1i1(xi
x)3/3
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7.协方差(Covariance)
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C(o X,v Y) P i(xix)y (iy) i1
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8.相关系数（Correlation coefficient）
(X,Y)Co(vX,Y) X Y
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〔二〕风险管理
风险管理是通过风险的识别、衡量和控制，以最 小的成本将风险导致的各种不利后果减少到最低限度 的科学管理方法，是组织、家庭或个人用以降低风险 的负面影响的决策过程。
• 风险的重要性在于它能给人们带来损失或收益；而不确定性的重 要性则在于它影响着个人、公司和政府的决策过程。
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〔一〕风险的度量
1.概率(Probability)
P(A)Limmp n n
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2.期望值(Expected value)
E(X) xi pi i1
E(X) xf(x)dx
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3.方差(Variance)
• 当参加风险汇聚的人足够多，达到一定的大数，每个参加者成本 的标准差将变得接近于零，因此每位加入者的风险将变得可以忽 略不计。这就是保险经营最重要的数理基础——大数法则。
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二、大数法则(Law of larger numbers)
1.切贝雪夫（Chebyshev）不等式和切贝雪夫大数法则
lim P 1 n n Xk 1
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〔二〕中心极限定理
当风险汇聚的加入者足够多时，平均损失的分布 接近于正态分布，就可以用正态分布的概率值来估计 结果超过某给定值的概率。
23
• 德莫佛-拉普拉斯定理 • 列维定理
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第三节 期望效用与风险偏好
一、效用与投资风险
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例子：1000元钱在1年之内： 夹在书中：——1000元 存入银行：——1030元 投资基金：——预定指数高于大盘指数（比如上证指数）：
20
2.辛钦大数法则 3.贝努利大数法则
在保险经营中，当相互独立的风险单位满足一定的大数，保险公 司就可以用以往损失频率的统计数据来推测未来同一损失发生的 概率，因为，大数法则令两者近于相等。
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4.泊松（Poisson）大数法则
liP m n n np1p2n pn 1
在保险经营中，尽管相互独立的风险单位的损失概率可能各不 相同，但只要标的足够地多，仍可以在平均意义上求出相同的损 失概率。保险公司由此可以把性质相似的各分类的标的集中在一 块，求出一个整体的费率，再加以调整，从而在整体上保证收支 平衡。比如，尽管同一档次的众多车辆所面对的风险可能各不相 同，但仍可以把它们放在同一个风险集合之内进行风险汇聚，只 要这些车的数量满足一定的大数即可。
第一讲 效用、风险与风险态度
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第一节 风险、不确定性与风险管理
一、风险与不确定性
• 风险是客观存在（A state of world ），而不确定性 是心理状态（A state of mind ）。
• 风险是可以测定的(Measurable)，有其发生的一定概 率，而不确定性是不能测定(Immeasurable)。
Va(rX) [xi E(X)]2P (Xxi) i1 xi2P (Xxi)[E(X)]2 i1
Va(rX) [xE(X)]2f(x)dx x2f(x)dx[E(X)]2
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4.标准差(Standard deviation)
Var
6
5.离散系数(Deviation coefficient)