泛函中四大空间

泛函中四大空间的认识

第一部分我们将讨论线性空间，在线性空间的基础上引入长度和距离的概念，进而建立了赋范线性空间和度量空间。

在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即赋范线性空间，完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。范数可以看出长度，赋范线性空间相当于定义了长度的空间，所有的赋范线性空间都是距离空间。

在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。赋范线性空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。

赋范线性空间是其中每个向量赋予了范数的线性空间，而且由范数诱导出的拓扑结构与代数结构具有自然的联系。完备的赋范线性空间是空间。赋范线性空间的性质类似于熟悉的，但相比于距离空间，赋范线性空间在结构上更接近于。

赋范线性空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。

在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空间都赋范线性空间，但赋范线性空间未必是内积空间。

距离空间和赋范线性空间在不同程度上都具有类似于的空间结构。事实上，上还具有向量的内积，利用内积可以定义向量的模和向量的正交。但是在一般的赋范线性空间中没有定义内积，因此不能定义向量的正交。内积空间实际上是定义了内积的线性空间。在内积空间上不仅可以利用内积导出一个范数，还可以利用内积定义向量的正交，从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关的性质。空间是完备的内积空间。与一般的空间相比较，空间上的理论更加丰富、更加细致。

1 线性空间

（1）定义：设是非空集合，是数域，称为数域上上的线性空间，若，都有唯一的一个元素与之对应，称为的和，记作

，都会有唯一的一个元素与之对应，称为的积，记作

且，，上述的加法与数乘运算，满足下列8条运算规律：

10

20

30 在中存在零元素，使得，有

40 ，存在负元素，使得

50

60

70

80

当时，称为实线性空间；当时，称为复线性空间

（2）维数：

10 设为线性空间，若不存在全为0的数，使得

则称向量组是线性相关的，否则称为线性无关。

20 设，若，使得

则称可由向量组线性表示。

30 设为线性空间，若在中存在个线性无关的向量，使得中任一向量可有个向量线性表示，则称其为的一个基，称为的维数。

2 距离空间

设是非空集合，若存在一个映射，使得，下列距离公理成立：

10非负性

20 对称性

30 三角不等式

则称为的距离，为以的距离空间，记作。

3 赋范线性空间

设称为数域上上的线性空间，若，都有一个实数与之对应，使得，下列范数公理成立：

10 正定性

20 绝对齐次性

30 三角不等式

则称为上的范数，为上的赋范空间。

已知完备的距离空间中任一列均收敛，而赋范线性空间作为一类特殊的距离空间，同样可以讨论它的完备性。只是这里的距离是由范数诱导的距离。在范数的语言下，点列为列的定义改写为

完备的赋范线性空间称为空间。

4 内积空间

设称为数域上上的线性空间，若存在映射：，使得，，，下列内积公理成立：

对第一变元的线性

共轭对称性

正定性且

则称为上的内积，为上的内积空间。

由于完备性的概念是建立在距离定义的基础上的，故等价的说，一个内积空间称为空间，若其按由内积导出的范数是完备的距离空间。

在由内积导出的范数下，内积空间成为一个赋范空间，它具有一般赋范空间的所有性质。