2012年新课标高考数学试题(理数)

3 c 3 ∆ F2 PF1 是底角为 30� 的等腰三角形 ⇒ PF2 = F2 F1 = 2( a − c ) = 2c ⇔ e = = 2 a 4
（5）已知 {an 为等比数列， a4 + a7 = 2 ， a5 a6 = −8 ，则 a1 + a10 = （
}
）
( A) 7
【解析】选 D
( B) 5
( B)
( D ) 2(1 + ln 2)
1 x e 与函数 y = ln(2 x ) 互为反函数，图象关于 y = x 对称 2
1 x e −x 1 x 1 x 2 函数 y = e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y = x 的距离为 d = 2 2 2
设函数 g ( x ) =
1 x 1 1 − ln 2 e − x ⇒ g ′( x ) = e x − 1 ⇒ g (x )min = 1 − ln 2 ⇒ d min = 2 2 2 2(1 − ln 2)
(C ) −5
( D ) −7
a4 + a7 = 2 ， a5 a6 = a4 a7 = −8 ⇒ a4 = 4, a7 = −2 或 a4 = −2, a7 = 4 a4 = 4, a7 = −2 ⇒ a1 = −8, a10 = 1 ⇔ a1 + a10 = −7 a4 = −2, a7 = 4 ⇒ a10 = − 8, a1 = 1 ⇔ a1 + a10 = − 7
【解析】 （1）由正弦定理得：
a cos C + 3a sin C − b − c = 0 ⇔ sin A cos C − 3 sin A sin C = sin B + sin C
⇔ sin A cos C + 3 sin A sin C = sin(a + C ) + sin C 1 ⇔ 3 sin A − cos A = 1 ⇔ sin( A − 30° ) = 2 ° ° ° ⇔ A − 30 = 30 ⇔ A = 60
）
πFra Baidu bibliotek5π 9π ω = 2 ⇒ (ω x + ) ∈ [ , ] 不合题意 排除 ( D ) 4 4 4 π 3π 5π ω = 1 ⇒ (ω x + ) ∈ [ , ] 合题意 排除 ( B )(C ) 4 4 4 π π π π π π 3π 另： ω (π − ) ≤ π ⇔ ω ≤ 2 ， (ω x + ) ∈ [ ω + , πω + ] ⊂ [ , ] 2 4 2 4 4 2 2 π π π π 3π 1 5 得： ω + ≥ , πω + ≤ ⇔ ≤ω ≤ 2 4 2 4 2 2 4
3 8
1830
可证明： bn +1 = a4 n +1 + a4 n + 2 + a4 n + 3 + a 4n + 4 = a 4n − 3 + a 4n − 2 + a4 n − 2 + a4 n + 16 = bn + 16
b1 = a1 + a2 + a3 + a4 = 10 ⇒ S15 = 10 × 15 +
2 2 2
（9） 已知 ω > 0 ， 函数 f ( x ) = sin(ω x +
1 5 ( A) [ , ] 2 4 【解析】选 A
π π 则 ω 的取值范围是 （ ) 在 ( , π ) 上单调递减。 4 2 1 3 1 ( B) [ , ] (C ) (0, ] ( D ) (0, 2] 2 4 2
由图象关于 y = x 对称得： PQ 最小值为 2d min =
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答， 第 22-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）已知向量 a, b 夹角为 45° ，且 a = 1, 2a − b = 10 ；则 b = _____ 【解析】 b = _____ 3 2
（8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 2 = 16 x 的准线交于 A, B 两点， AB = 4 3 ；则 C 的实轴长为（ ）
( A) 2
【解析】选 C
( B) 2 2
(C ) 4
(D) 8
设 C : x 2 − y 2 = a 2 ( a > 0) 交 y 2 = 16 x 的准线 l : x = −4 于 A( −4, 2 3) B ( −4, −2 3) 得： a = (−4) − (2 3) = 4 ⇔ a = 2 ⇔ 2 a = 4
( A) 3
【解析】选 D
( B) 6
(C ) 8
( D ) 10
x = 5, y = 1, 2,3, 4 ， x = 4, y = 1, 2,3 ， x = 3, y = 1, 2 ， x = 2, y = 1 共 10 个
（2）将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由 1名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
( B) p1 , p2
p3 : z 的共轭复数为 1 + i
(C ) p2 , p4
p4 : z 的虚部为 −1
( D ) p3 , p4
z=
2 2(−1 − i ) = = −1 − i −1 + i (−1 + i )(−1 − i)
p1 : z = 2 ， p2 : z 2 = 2i ， p3 : z 的共轭复数为 −1 + i ， p4 : z 的虚部为 −1
【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为
3 8
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,502 ) 得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p =
1 2 3 4
2 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P 1 = 1 − (1 − p ) =
那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p2 = p1 × p = （16）数列 {a n } 满足 an +1 + ( −1) n an = 2 n − 1 ，则 {a n } 的前 60 项和为 【解析】 {a n } 的前 60 项和为
� �
�
� �
�
�
� � � � �2 � � 2a − b = 10 ⇔ (2a − b)2 = 10 ⇔ 4 + b − 4 b cos 45° = 10 ⇔ b = 3 2 ⎧ x, y ≥ 0 ⎪ (14) 设 x, y 满足约束条件： ⎨ x − y ≥ −1 ；则 z = x − 2 y 的取值范围为 ⎪ x+ y ≤3 ⎩
绝密*启用前
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标） 理科数学
注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如 需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第一卷 一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 （1）已知集合 A = {1, 2,3, 4,5} , B = {( x, y ) x ∈ A, y ∈ A, x − y ∈ A} ；,则 B 中所含元素 的个数为（ ）
15 × 14 × 16 = 1830 2
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 已知 a, b, c 分别为 ∆ABC 三个内角 A, B , C 的对边， a cos C + 3a sin C − b − c = 0 （1）求 A （2）若 a = 2 ， ∆ABC 的面积为 3 ；求 b, c 。
得： x > 0 或 −1 < x < 0 均有 f ( x ) < 0 排除 A, C , D （lbylf x）
（11） 已知三棱锥 S − ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上， ∆ABC 是边长为 1 的正三角形， ） SC 为球 O 的直径，且 SC = 2 ；则此棱锥的体积为（
( A)
【解析】 z = x − 2 y 的取值范围为
[−3,3]
约束条件对应四边形 OABC 边际及内的区域： O (0, 0), A(0,1), B(1, 2), C (3, 0) 则 z = x − 2 y ∈ [ −3,3]
（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从 正态分布 N (1000,502 ) ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 超过 1000 小时的概率为
( A) 12 种
【解析】选 A
( B) 10 种
(C ) 9 种
(D) 8 种
1 2 甲地由 1名教师和 2 名学生： C2 C4 = 12 种
（3）下面是关于复数 z =
2 的四个命题：其中的真命题为（ −1 + i
）
p1 : z = 2
( A) p2 , p3
【解析】选 C
p2 : z 2 = 2i
【解析】选 C
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
( A) 6
( B) 9
(C ) 12
( D ) 18
【解析】选 B 该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 3 此几何体的体积为 V =
1 1 × × 6 × 3× 3 = 9 3 2
（10） 已知函数 f ( x ) =
1 ；则 y = f ( x ) 的图像大致为（ ln( x + 1) − x
）
【解析】选 B
x 1+ x ⇒ g ′( x ) > 0 ⇔ −1 < x < 0, g ′( x ) < 0 ⇔ x > 0 ⇒ g (x ) < g (0) = 0 g ( x ) = ln(1 + x) − x ⇒ g ′( x) = −
（2） S =
1 bc sin A = 3 ⇔ bc = 4 2
a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A ⇔ b + c = 4
解得： b = c = 2 （l fx lby） 18.（本小题满分 12 分） 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。 （1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y (单位：元)关于当天需求量 n （单位：枝， n ∈ N ）的函数解析式。 （2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝） ，整理得下表：
2 6
( B)
3 6
(C )
2 3
(D)
2 2
【解析】选 A
∆ABC 的外接圆的半径 r =
3 6 ，点 O 到面 ABC 的距离 d = R 2 − r 2 = 3 3 2 6 3
SC 为球 O 的直径 ⇒ 点 S 到面 ABC 的距离为 2d =
此棱锥的体积为 V =
1 1 3 2 6 2 S∆ABC × 2d = × × = 3 3 4 3 6
另： V <
1 3 排除 B , C , D S ∆ABC × 2 R = 3 6
（12）设点 P 在曲线 y =
1 x e 上，点 Q 在曲线 y = ln(2 x ) 上，则 PQ 最小值为（ 2 2(1 − ln 2) (C ) 1 + ln 2
）
( A) 1 − ln 2
【解析】选 A 函数 y =
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N ( N ≥ 2) 和 实数 a1 , a2 ,..., an ，输出 A, B ，则（ ）
( A) A + B 为 a1 , a2 ,..., an 的和 ( B)
A+ B 为 a1 , a2 ,..., an 的算术平均数 2
(C ) A 和 B 分别是 a1 , a2 ,..., an 中最大的数和最小的数 ( D ) A 和 B 分别是 a1 , a2 ,..., an 中最小的数和最大的数
（4）设 F1 F2 是椭圆 E :
x2 y 2 3a 上一点， + 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点， P 为直线 x = 2 a b 2
）
∆ F2 PF1 是底角为 30� 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ( A) 1 2 ( B) 2 3 (C ) 3 4
(D)
4 5
【解析】选 C