柯西积分公式及高阶导数公式

2
sin z 4 z 是D内的一个点, C是任意一条含 z 在内部区域
0
定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数 ,
sin
z
0
1 f (z) 2 f ( z0 ) dz . C 2πi z z0
z 1
sin z 2 4 i. 2i 2 z 1
f
(n)
n! f (z) ( z0 ) dz n 1 2πi C ( z z0 )
( n 1,2,3,),
z0
高阶导数公式
C
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f ( n ) ( z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一
确定。
说明:
f (z) dz 3) 高阶导数公式的应用: 可求积分 n 1 ( z z0 ) C
柯西-古萨(Cauchy－Goursat)基本定理 设B为单连通域，则 f (z)在B内解析 Morera定理
C
C
f ( z )dz 0, C为 B内任何一条闭曲线。
则 f (z)在B内解析 。
设B为单连通域， 如f (z)在B内连续， 且对 B内任
何一条简单闭曲线C, 有
f ( z )dz 0,
典型例题
例4. 计算积分
zi
1 1 z z 2 1 dz. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2


解 由 Cauchy积分公式 ,
1 f (z) 1 , C是任意一条含 1 z( z i ) z0 是D内的一个点 z0 在内部区域 2 z0 i , z ( z(或可求长 1) ) Jordan z ( z曲线 ,i则 )( z i ) zi 的分段光滑
B
2 π if ( z0 ).
定理(柯西积分公式)：如果f(z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全 含于D, z0为C内部的任一点, 则
1 f (z) f (z) f ( z0 ) d z. 或 d z 2 π if ( z0 ) 2 π i C z z0 C z z0
其中C为包含圆周|z|=1在内的任意正向简单闭曲线.
二、高阶导数公式
由 Cauchy积分公式 , 解析函数的积分表达式为
f (z) f ( z0 ) dz . 2 i C z z0 z 是D内的一个点, C是任意一条含 z 在内部区域
0 0
1 , 定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数
f
(n)
n! f (z) 定理 2.6 ( z0 ) d z , n 1 C ( z z0 ) 2 i
设函数f (z)在单
z3 1 2i 3 d z 的内部区域 2 i . [ z 1] C , 4 z 1 ( z 1) 3! z 2
f ( n ) ( z0 )
21 f ( z) (2) 导数运算可否在 f ( z0 ) d z , 3 2 i ( z z ) 积分号下进行? 0 C 高阶导数公式 . n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2 i C ( z z0 )
定理(高阶导数公式) 设函数f (z)在区域 D内解析, z0 在D内，C是D内绕z0的任一正向简单闭曲线, 且C 的内部全含于D, 则f (z)在z0处存在各阶导数, 并且
2 π if ( z0 )

CR
f ( z ) f ( z0 ) dz z z0 =0
C z
CR
R
D
z0
CR

| f ( z ) f ( z0 ) | f ( z ) f ( z0 ) ds dz | z z0 | z z0 CR

e
d s 2 πe R
定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数,
1 f (1 z) f ( z0 ) dz . C 2 2πi z z0
zi
1 z( z
2
1)
dz

zi
1 2
f (z) dz zi
1 2i i . z( z i ) z i
例5.
C是D内分段光滑(或可求长)
则f (z)在z0处
n! f (z) C ( z z0 ) n 1 2 i
其中C取正向.
例3. 求积分

C
e 解. 函数 2 2 在C内的 z i 处不解析. ( z 1)
在C内分别以i 和 -i 为中心作正向圆周 C1 和 C2,
y
z
设C表示正向圆周
x 2 y 2 3,
3 2 7 1 f (z) d , 求 f (1 i ). C z
解 根据 Cauchy积分公式, 当z在C内时,
f ( z ) 2 πi 3 7 1
定理2.5 设f (z)是单连通区域 D上的解析函数, 2
0
2πi C z z0
例6.
计算积分
C
sin

4 dz , 其中 z2 1
z
1 1 (1) C : z 1 ; (2) C : z 1 ; (3) C : z 2. 2 2
解 (1) 根据 Cauchy积分公式 ,
sin z 定理 D上的解析函数 , 2.5 设f (z)是单连通区域 4 sin z sin z z0 是D内的一个点 , C 是任意一条含 z 在内部区域 4 dz 0 1 z 4 d z 2 i 2 1的分段光滑 1曲线 z 1 (或可求长) Jordan z, z 1 则1 z 1
例1：求下列积分(沿圆周正方向)的值:
1 sin z 1) d z; 2 ) 2 π i | z| 4 z
z d z; z 3 | z| 2
1 3) d z , (a >0). 2 2 z a | z a| a
2z 1 d z, 例2：求 z 2 e (z z) C
C
z0
D
证明: 由于f(z)在z0连续, 故任给e >0, 存在d >0, 当|zz0|<d 时, |f(z)f(z0)|<e. 在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向), 且 R<d.
f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 ) f (z) f (z) d z d z dz dz z z0 z z0 z z0 z z0 C CR CR CR
2
z 1
2
1 f (z) f ( z0 ) dz . Czz 2πi 2 0
z 1

2
i.
(2) 根据 Cauchy积分公式 ,
4 dz z 1 dz 的分段光滑 ( 或可求长 ) Jordan 曲线 , 则 1 z2 1 1 z 1 z 1

ez z2 1

2
dz , 其中C是正向圆周 z r 1
由 复合闭路定理
定理2.4 设 C , C1z, C2 ,, Cn 是多连通区域D内
1 2 n
e z 2d C ( z 2 ) 段光滑(或可求长 Jordan 曲线, C , C ,, C 都 1) 在C 的内部, 它们互不包含也互不相交 , 并且以 z z e e C , C , , C 为边界的闭区域含于 f (z) 内 dz . 2 2 C1 ( z 2 1)2 dz D . C若 2 ( z 1) D上的解析函数, 那么
如果各阶导数存在 的分段光滑 (或可求长) Jordan曲线, 则 ,
并且导数运算可在积分号下
进行, 则 f (z) 1 f (z) 1 (1) 解析函数是否存 f ( z0 )f ( z d z . ) d z , 2 Czz 2πi 0 0 2 i ( z z ) 在各阶导数? 0 C
函数在C内部任一点的值可用它在边界上的值通过 积分唯一确定。 特别, 如C: |zz0|R, z=z0+Reiq, 则上式成为 1 2π iq f ( z0 ) f ( z0 R e )d q . 0 2π f (z) d z, 3) 柯西积分公式的应用: 可求积分 z z0 C 要注意: a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析, b) z0在C的内部.
第三章 复变函数的积分
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) 在z0 不解析 . z z0
z0
C
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
R0 f ( z0 ) f (z) f (z) dz d z dz z z0 z z0 z z0 CR CR C
CR

CR

f ( z ) f ( z0 ) dz 0 z z0
f (z) d z 2 π if ( z0 ) z z0 C 1 f (z) f ( z0 ) d z ——柯西积分公式 2 π i C z z0
说明: 1) 这里的D可为单连通域，也可为多连通域； 只要 f (z)在简单闭曲线C及其所围的区域内解析, 且z0 在C的内部, 则 柯西积分公式也成立。 1 f (z) f ( z0 ) dz 2) 柯西积分公式的含义 2 π i C z z0
要注意:
a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.
z 1 dz . 例1. 求积分 4 ( z 1) z 2
3
解
3 因为函数 f ( z ) z 1在复平面解析,
z0 1 在 z 2 内, n=3, 根据 高阶导数公式.
z 1
(3) 根据 复合闭路定理以及前面的结果,
) Jordan曲线, C1 , C2 ,, Cn 都 分段光滑(或可求长
sin z sin z 4 ,d 都在C 的内部4 , 它们互不包含也互不相交 并且以 z d z 2 2 1. 若 f (z) z 1 C , Cz, C D内 1 z 2 ,, C 为边界的闭区域含于
1 2 n
C
C1
i
C
x
o
C2
i

f ( z )dz f ( z )dz ,
k 1 Ck
n
C
C1
C2
C3
C
1
ez 2 2 dz C1 ( z 1)

ez 2 (z i) 2 dz (z i)
y
C1
i
C
x
2i e z 2 ( 2 1)! ( z i )
o
2
同理 于是

C2
C i (1 i )e i . 2 z i ez 2 i ez ( z i ) (1 i ) e dz dz . 2 2 2 C2 ( z i ) ( z 1) 2

C
ez (1 i )e i (1 i )e i 2 2 dz ( z 1) 2 2 i i (1 i )( e ie ) i (sin 1 cos 1). 2
1 2 n
定理2.4 设 C , C1 , C2 ,, Cn 是多连通区域D内

z 1
z 1
π sin z 4 dz 2 z 1 1
2
是 D上的解析函数, 那么
2
C
C2
z


2 i 3z 2 7 z 1 .


z0 是D内的一个点, C是任意一条含 z0 在内部区域
f ((或可求长 z ) 2) i (6曲线 z , 7), 于是 的分段光滑 Jordan 则 而1+i 在C内, 所以
(z) f (1 i ) 2 (16 f 13 i ). f (z ) dz .