[PPT]材料力学课件之弯曲应力
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截面边缘上各点处切应力 t 的
方向必与圆周相切。
假设:
(1)沿宽度kk上各点处的切应力均汇
交于y轴上的P点;
(2)各点处切应力沿y方向的分量沿宽
度相等。
ty
VS
* z
Izb( y)
最大剪应力 t max ,仍发生在中性轴上的各点处,在中性轴
上剪应力的方向都平行于剪力V,且各点处的剪应力均相等。
t max
——横截面上需求剪应力处的水平
线以下(或以上)部分的面积
A*对中性轴的静矩;
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩; b——需求剪应力处的横截面宽度。
4.剪应力沿横截面高度的分布
S
z
yc A
h 2
2
y
b( h 2
y)
b h2 (
24
y2)
t 矩
V 2Iz
h2 (
4
y2)
t方向:与横截面上剪力方向相同;
z
ydA 0, A
Sz
0 z (中性)轴过形心
y
M y
(s dA)z 0,
A
I yz
yzdA 0
A
可见,y轴和z轴是截面的形 心主惯性轴。
即截面的中性轴z的位置完全
确定。
M z
(s dA) y M,
A
1 M
EIz
截面或杆的抗弯刚度。
EIz
弯曲变形的基本公式(中性层曲率)
三、平面弯曲杆横截面上的正应力
1.计算公式 2.分布规律
s M.y
Iz
横截面上任一点处的正应力大小,与该点至中性轴的距
离成正比,即正应力沿截面宽度均匀分布,沿高度呈线性分 布。中性轴的一侧为拉应力,另一侧为压应力。
3.正应力公式讨论:
1)适用于均匀连续、各向同性材料,在线弹性范围小变 形时的等截面直杆。
2)在纯弯曲时,横截面在弯曲变形后保持平面,公式为精 确解;横力弯曲时,横截面不再保持平面,公式为近似
解,当梁的跨高比 l/h>5 时,误差<2%。
3) 若中性轴为截面对称轴,则
s max
s
max
;
若不是对称轴,则,s
max
Hale Waihona Puke smax4)如何确定正应力的符号 a)均以绝对值代入,根据梁的弯曲变形来确定是拉还是压; b)均带符号代入判断是正为拉应力;是负为压应力。
四、最大应力的计算
Wz
Iz y
max
4. 几何方程:
aP
Pa
为中性层O1O2的曲率半径, C
两截面间的夹角为d,考察任一
A
纵向纤维(如aa)的线应变,aa
到中性层的距离为y(如图)
变形前:
D
Bx
y
aa o1o2 o1o2 d
变形后:
aa ( y)d
线应变:
l
l
aa aa aa
(
y)d d
d
y
梁内任一点的线应变的大小与该点到中性轴的距离成正比。
(二)物理关系: 假设:纵向纤维互不挤压。于是,任意一点均处于单 向应力状态。当正应力不超过比例极限时,由 胡克定律可得:
s E E y
问题:=? 中性轴的位 置如何?
(三)静力学关系:
z
横截面上的微内力 sdA 组成的
空间平行力系,仅能简化为三个内力 分量。
x y sdA
N As dA 0
第6章 弯曲应力
6-1 概述
1、弯曲构件横截面上的(内力)应力
内力
剪力 V 弯矩 M
剪应力t 正应力s
2、研究方法
平面弯曲时横截面s 平面弯曲时横截面t
纯弯曲梁(横截面上只有M而无V的情况) 剪切弯曲(横截面上既有V又有M的情况)
6-2 弯曲正应力
一、纯弯曲与剪力弯曲
1.纯弯曲(Pure Bending):
横截面上的内力只有 弯矩没有剪力时,该杆段 的变形称为纯弯曲。 2.剪切弯曲
杆各横截面上有既剪 力、也有弯矩,且弯矩为 截面位置 x 的函数。
aP A
VP
+
Pa B
-x
P
x
+
M
Pa
二、纯弯曲梁横截面上的正应力
(一)变形几何规律:
1.梁的纯弯曲实验
横向线(mm、nn)变形后 仍为直线,但转过一个角度; 纵向线(aa、bb)变为曲线, 且上部缩短,下部伸长;横向 线与纵向线变形后仍然正交。
1)在梁上取微段如图b; 2)在微段上取一块如图c,
平衡
X N2 N1 t1b(dx) 0
3.剪应力公式推导
z
N1
sdA M
A
Iz
ydA MSz
A
Iz
N2
(M
dM
)S
z
Iz
t1
dM dx
S
z
bI z
VS
z
bI z
t1
x
s
t s1
y
图c
由剪应力互等
V——横截面上的剪力;
S
* z
t max
V h1d
2.翼缘上的剪应力
(1)竖向剪应力 (2)水平剪应力
t
VS
* z
Izt
S
* z
——翼缘上需求剪应力处的竖直
线与翼端之间的部分面积
A* 对中性轴的静矩;
呈线性分布
3.剪应力流
V
腹板上剪应力方向与剪力
方向一致,各翼缘上的剪 应力与之形成剪流。
e
三.圆截面:
由切应力互等定理可知,在
t min
t max
1.腹板上的剪应力
工字形腹板上的剪应
力可以按照矩形截面的剪
应力公式计算,即
t
VS
* z
Izd
由分析可知,工字形截面腹板上的
剪应力接近均匀分布,且tmax≈ tmin铅垂
剪应力主要由腹板承受(95~97%),其
t max
VS
* z max
Izd
近似的计算公式为 对轧制工字钢截面,式中 Iz/S*zmax的值可以查型钢表。
2.两个概念 中性层:梁内一层纤维
既不伸长也不缩短,因 而纤维不受拉应力和压 应力,此层纤维称中性 层。 中性轴:中性层与横截 面的交线。
m
n
b
b
a
a
m
n
中性轴
3.推论
平面假设:横截面变形后仍为平面,只是绕中性轴发生转动, 距中性轴等高处,变形相等。
s
s
单向拉压假定:设各纵向纤维之间互相不挤压,每一根纵向纤 维均处于单向拉伸或压缩状态(即纯弯曲时,梁横 截面上只有正应力)
抗弯截面模量。
矩形截面的Wz
z
圆形截面的Wz
z
例:
6-3 弯曲剪应力
一、矩形截面梁
1、两点假设:
x
dx
图a
y
q(x)
M(x) V(x) dx
V(x)+d V(x) 图b
M(x)+d M(x) z
t1
x
s
t y s1 图c
1)剪应力与剪力平行; 2)距中性轴等距离处,剪
应力相等。
2、研究方法:分离体平衡。
t大小:沿截面宽度均匀分布,
沿高度h分布为抛物线。在截面上、下边缘处的剪应
力为零,而在中性轴上的剪应力值最大,
t max
3V 2bh
3 2
V A
V
矩形截面梁横截面上的最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。
二、工字形(槽形,T字型)截面
工字形截面可视为由翼 缘和腹板所组成。通过分析 可知,翼缘主要承担弯矩的 作用,而腹板则主要承受剪 力的作用。
4 3
V A
4t
3
四.薄壁圆环截面:
假设: (1)横截面上切应力的大小沿 壁厚无变化; (2)切应力的方向与圆周相切。
方向必与圆周相切。
假设:
(1)沿宽度kk上各点处的切应力均汇
交于y轴上的P点;
(2)各点处切应力沿y方向的分量沿宽
度相等。
ty
VS
* z
Izb( y)
最大剪应力 t max ,仍发生在中性轴上的各点处,在中性轴
上剪应力的方向都平行于剪力V,且各点处的剪应力均相等。
t max
——横截面上需求剪应力处的水平
线以下(或以上)部分的面积
A*对中性轴的静矩;
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩; b——需求剪应力处的横截面宽度。
4.剪应力沿横截面高度的分布
S
z
yc A
h 2
2
y
b( h 2
y)
b h2 (
24
y2)
t 矩
V 2Iz
h2 (
4
y2)
t方向:与横截面上剪力方向相同;
z
ydA 0, A
Sz
0 z (中性)轴过形心
y
M y
(s dA)z 0,
A
I yz
yzdA 0
A
可见,y轴和z轴是截面的形 心主惯性轴。
即截面的中性轴z的位置完全
确定。
M z
(s dA) y M,
A
1 M
EIz
截面或杆的抗弯刚度。
EIz
弯曲变形的基本公式(中性层曲率)
三、平面弯曲杆横截面上的正应力
1.计算公式 2.分布规律
s M.y
Iz
横截面上任一点处的正应力大小,与该点至中性轴的距
离成正比,即正应力沿截面宽度均匀分布,沿高度呈线性分 布。中性轴的一侧为拉应力,另一侧为压应力。
3.正应力公式讨论:
1)适用于均匀连续、各向同性材料,在线弹性范围小变 形时的等截面直杆。
2)在纯弯曲时,横截面在弯曲变形后保持平面,公式为精 确解;横力弯曲时,横截面不再保持平面,公式为近似
解,当梁的跨高比 l/h>5 时,误差<2%。
3) 若中性轴为截面对称轴,则
s max
s
max
;
若不是对称轴,则,s
max
Hale Waihona Puke smax4)如何确定正应力的符号 a)均以绝对值代入,根据梁的弯曲变形来确定是拉还是压; b)均带符号代入判断是正为拉应力;是负为压应力。
四、最大应力的计算
Wz
Iz y
max
4. 几何方程:
aP
Pa
为中性层O1O2的曲率半径, C
两截面间的夹角为d,考察任一
A
纵向纤维(如aa)的线应变,aa
到中性层的距离为y(如图)
变形前:
D
Bx
y
aa o1o2 o1o2 d
变形后:
aa ( y)d
线应变:
l
l
aa aa aa
(
y)d d
d
y
梁内任一点的线应变的大小与该点到中性轴的距离成正比。
(二)物理关系: 假设:纵向纤维互不挤压。于是,任意一点均处于单 向应力状态。当正应力不超过比例极限时,由 胡克定律可得:
s E E y
问题:=? 中性轴的位 置如何?
(三)静力学关系:
z
横截面上的微内力 sdA 组成的
空间平行力系,仅能简化为三个内力 分量。
x y sdA
N As dA 0
第6章 弯曲应力
6-1 概述
1、弯曲构件横截面上的(内力)应力
内力
剪力 V 弯矩 M
剪应力t 正应力s
2、研究方法
平面弯曲时横截面s 平面弯曲时横截面t
纯弯曲梁(横截面上只有M而无V的情况) 剪切弯曲(横截面上既有V又有M的情况)
6-2 弯曲正应力
一、纯弯曲与剪力弯曲
1.纯弯曲(Pure Bending):
横截面上的内力只有 弯矩没有剪力时,该杆段 的变形称为纯弯曲。 2.剪切弯曲
杆各横截面上有既剪 力、也有弯矩,且弯矩为 截面位置 x 的函数。
aP A
VP
+
Pa B
-x
P
x
+
M
Pa
二、纯弯曲梁横截面上的正应力
(一)变形几何规律:
1.梁的纯弯曲实验
横向线(mm、nn)变形后 仍为直线,但转过一个角度; 纵向线(aa、bb)变为曲线, 且上部缩短,下部伸长;横向 线与纵向线变形后仍然正交。
1)在梁上取微段如图b; 2)在微段上取一块如图c,
平衡
X N2 N1 t1b(dx) 0
3.剪应力公式推导
z
N1
sdA M
A
Iz
ydA MSz
A
Iz
N2
(M
dM
)S
z
Iz
t1
dM dx
S
z
bI z
VS
z
bI z
t1
x
s
t s1
y
图c
由剪应力互等
V——横截面上的剪力;
S
* z
t max
V h1d
2.翼缘上的剪应力
(1)竖向剪应力 (2)水平剪应力
t
VS
* z
Izt
S
* z
——翼缘上需求剪应力处的竖直
线与翼端之间的部分面积
A* 对中性轴的静矩;
呈线性分布
3.剪应力流
V
腹板上剪应力方向与剪力
方向一致,各翼缘上的剪 应力与之形成剪流。
e
三.圆截面:
由切应力互等定理可知,在
t min
t max
1.腹板上的剪应力
工字形腹板上的剪应
力可以按照矩形截面的剪
应力公式计算,即
t
VS
* z
Izd
由分析可知,工字形截面腹板上的
剪应力接近均匀分布,且tmax≈ tmin铅垂
剪应力主要由腹板承受(95~97%),其
t max
VS
* z max
Izd
近似的计算公式为 对轧制工字钢截面,式中 Iz/S*zmax的值可以查型钢表。
2.两个概念 中性层:梁内一层纤维
既不伸长也不缩短,因 而纤维不受拉应力和压 应力,此层纤维称中性 层。 中性轴:中性层与横截 面的交线。
m
n
b
b
a
a
m
n
中性轴
3.推论
平面假设:横截面变形后仍为平面,只是绕中性轴发生转动, 距中性轴等高处,变形相等。
s
s
单向拉压假定:设各纵向纤维之间互相不挤压,每一根纵向纤 维均处于单向拉伸或压缩状态(即纯弯曲时,梁横 截面上只有正应力)
抗弯截面模量。
矩形截面的Wz
z
圆形截面的Wz
z
例:
6-3 弯曲剪应力
一、矩形截面梁
1、两点假设:
x
dx
图a
y
q(x)
M(x) V(x) dx
V(x)+d V(x) 图b
M(x)+d M(x) z
t1
x
s
t y s1 图c
1)剪应力与剪力平行; 2)距中性轴等距离处,剪
应力相等。
2、研究方法:分离体平衡。
t大小:沿截面宽度均匀分布,
沿高度h分布为抛物线。在截面上、下边缘处的剪应
力为零,而在中性轴上的剪应力值最大,
t max
3V 2bh
3 2
V A
V
矩形截面梁横截面上的最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。
二、工字形(槽形,T字型)截面
工字形截面可视为由翼 缘和腹板所组成。通过分析 可知,翼缘主要承担弯矩的 作用,而腹板则主要承受剪 力的作用。
4 3
V A
4t
3
四.薄壁圆环截面:
假设: (1)横截面上切应力的大小沿 壁厚无变化; (2)切应力的方向与圆周相切。