[PPT]材料力学课件之弯曲应力

截面边缘上各点处切应力 t 的
方向必与圆周相切。
假设：
(1)沿宽度kk上各点处的切应力均汇
交于y轴上的P点；
(2)各点处切应力沿y方向的分量沿宽
度相等。
ty
VS
* z
Izb( y)
最大剪应力 t max ，仍发生在中性轴上的各点处，在中性轴
上剪应力的方向都平行于剪力V，且各点处的剪应力均相等。
t max
——横截面上需求剪应力处的水平
线以下（或以上）部分的面积
A*对中性轴的静矩；
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩； b——需求剪应力处的横截面宽度。
4.剪应力沿横截面高度的分布
S
z
yc A
h 2
2
y
b( h 2
y)
b h2 (
24
y2)
t 矩
V 2Iz
h2 (
4
y2)
t方向：与横截面上剪力方向相同；
z
ydA 0， A
Sz
0 z (中性)轴过形心
y
M y
(s dA)z 0，
A
I yz
yzdA 0
A
可见，y轴和z轴是截面的形 心主惯性轴。
即截面的中性轴z的位置完全
确定。
M z
(s dA) y M，
A
1 M
EIz
截面或杆的抗弯刚度。
EIz
弯曲变形的基本公式（中性层曲率）
三、平面弯曲杆横截面上的正应力
1.计算公式 2.分布规律
s M.y
Iz
横截面上任一点处的正应力大小，与该点至中性轴的距
离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分 布。中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。
3.正应力公式讨论：
1）适用于均匀连续、各向同性材料，在线弹性范围小变 形时的等截面直杆。
2）在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面，公式为精 确解；横力弯曲时，横截面不再保持平面，公式为近似
解，当梁的跨高比 l/h>5 时，误差＜2%。
3） 若中性轴为截面对称轴，则
s max
s
max
；
若不是对称轴，则，s
max
Hale Waihona Puke smax4）如何确定正应力的符号 a)均以绝对值代入，根据梁的弯曲变形来确定是拉还是压； b)均带符号代入判断是正为拉应力；是负为压应力。
四、最大应力的计算
Wz
Iz y
max
4. 几何方程：
aP
Pa
为中性层O1O2的曲率半径， C
两截面间的夹角为d，考察任一
A
纵向纤维（如aa）的线应变，aa
到中性层的距离为y（如图）
变形前：
D
Bx
y
aa o1o2 o1o2 d
变形后：
aa ( y)d
线应变：
l
l
aa aa aa
(
y)d d
d
y
梁内任一点的线应变的大小与该点到中性轴的距离成正比。
（二）物理关系： 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单 向应力状态。当正应力不超过比例极限时，由 胡克定律可得：
s E E y
问题：=？ 中性轴的位 置如何？
（三）静力学关系：
z
横截面上的微内力 sdA 组成的
空间平行力系，仅能简化为三个内力 分量。
x y sdA
N As dA 0
第6章 弯曲应力
6-１ 概述
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力 V 弯矩 M
剪应力t 正应力s
2、研究方法
平面弯曲时横截面s 平面弯曲时横截面t
纯弯曲梁(横截面上只有M而无V的情况) 剪切弯曲(横截面上既有V又有M的情况)
6-2 弯曲正应力
一、纯弯曲与剪力弯曲
1.纯弯曲(Pure Bending):
横截面上的内力只有 弯矩没有剪力时，该杆段 的变形称为纯弯曲。 2.剪切弯曲
杆各横截面上有既剪 力、也有弯矩，且弯矩为 截面位置 x 的函数。
aP A
VP
+
Pa B
-x
P
x
+
M
Pa
二、纯弯曲梁横截面上的正应力
（一）变形几何规律：
1.梁的纯弯曲实验
横向线（mm、nn）变形后 仍为直线，但转过一个角度； 纵向线（aa、bb）变为曲线， 且上部缩短，下部伸长；横向 线与纵向线变形后仍然正交。
1)在梁上取微段如图b； 2)在微段上取一块如图c，
平衡
X N2 N1 t1b(dx) 0
3.剪应力公式推导
z
N1
sdA M
A
Iz
ydA MSz
A
Iz
N2
(M
dM
)S
z
Iz
t1
dM dx
S
z
bI z
VS
z
bI z
t1
x
s
t s1
y
图c
由剪应力互等
V——横截面上的剪力；
S
* z
t max
V h1d
2.翼缘上的剪应力
（1）竖向剪应力 （2）水平剪应力
t
VS
* z
Izt
S
* z
——翼缘上需求剪应力处的竖直
线与翼端之间的部分面积
A* 对中性轴的静矩；
呈线性分布
3.剪应力流
V
腹板上剪应力方向与剪力
方向一致，各翼缘上的剪 应力与之形成剪流。
e
三.圆截面：
由切应力互等定理可知，在
t min
t max
1.腹板上的剪应力
工字形腹板上的剪应
力可以按照矩形截面的剪
应力公式计算，即
t
VS
* z
Izd
由分析可知，工字形截面腹板上的
剪应力接近均匀分布，且tmax≈ tmin铅垂
剪应力主要由腹板承受（95~97%），其
t max
VS
* z max
Izd
近似的计算公式为 对轧制工字钢截面，式中 Iz／S*zmax的值可以查型钢表。
2.两个概念 中性层：梁内一层纤维
既不伸长也不缩短，因 而纤维不受拉应力和压 应力，此层纤维称中性 层。 中性轴：中性层与横截 面的交线。
m
n
b
b
a
a
m
n
中性轴
3.推论
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。
s
s
单向拉压假定：设各纵向纤维之间互相不挤压，每一根纵向纤 维均处于单向拉伸或压缩状态（即纯弯曲时，梁横 截面上只有正应力）
抗弯截面模量。
矩形截面的Wz
z
圆形截面的Wz
z
例：
6－3 弯曲剪应力
一、矩形截面梁
1、两点假设：
x
dx
图a
y
q(x)
M(x) V(x) dx
V(x)+d V(x) 图b
M(x)+d M(x) z
t1
x
s
t y s1 图c
1)剪应力与剪力平行； 2)距中性轴等距离处，剪
应力相等。
2、研究方法：分离体平衡。
t大小：沿截面宽度均匀分布，
沿高度h分布为抛物线。在截面上、下边缘处的剪应
力为零，而在中性轴上的剪应力值最大，
t max
3V 2bh
3 2
V A
V
矩形截面梁横截面上的最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。
二、工字形(槽形，T字型)截面
工字形截面可视为由翼 缘和腹板所组成。通过分析 可知，翼缘主要承担弯矩的 作用，而腹板则主要承受剪 力的作用。
4 3
V A
4t
3
四.薄壁圆环截面：
假设： (1)横截面上切应力的大小沿 壁厚无变化； (2)切应力的方向与圆周相切。