系统辨识原理及其应用(第二章)
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ln y (t ) − 1 − Ae
− t T1
= ln B − t T2
− t T1
(26)
采用同样的方法可得到 B 和 T2 。y (t ) − 1 − Ae 同理可得 C 和 T3 。 最后:
y (t ) = 1 + Ae
− t T1
和 B 的符号相同
+ Be
−
t T2
+ Ce
−
t T3
⇓ Laplace transfer A B C G ( s) = + + T1s + 1 T2 s + 1 T3 s + 1
无因次阶跃响应曲线
e −ξω 0t y (t ) = 1 − sin( 1 − ξ 2 ω 0t + φ ) 1− ξ 2 (22)
y1∗ = e
−
πξ 1−ξ 2
∗ , y2 = e
−3
πξ 1−ξ 2
由y1∗和TZ 解得 2π ξ= ,ω0 = 2 ∗） TZ 1 − ξ 2 （ 1 + π ln y1 1
τ0
2.1.1一阶惯性滞后环节
根据拉氏变换可知，其阶跃响应曲线是一条负指数规律上升的曲
Ke G(s) = Ts + 1
−τ s
0, 0 < t <τ ⎧ ⎪ y (t ) = ⎨ t −τ − ⎪ K ⋅ ΔU (1 − e T ), t ≥ τ ⎩
将阶跃响应曲线化为无因次 s (t ) = y (t ) y (∞) 即新的终值为 y (∞) = 1 。 下文的阶跃曲线都为无因次阶跃曲
∗
T T t 。令T1 ∗ = 1 ，T2 ∗ = 2 ，于是 2T 2T 2T
∗
t t − − T1∗ T2∗ ∗ y (t ∗ ) = 1 + e T1 + e T2∗ T2∗ − T1∗ T2∗ − T1∗
(14)
令Δ = T1∗ − T2∗，于是T1∗ = 1 + Δ −t ∗ 2 y (t ) = 1 + e 1+Δ 2Δ
(27)
2.1.5自衡等容对象的辨识
2.1.6无自衡对象的辨识
e −τ s 对于无自衡对象 G ( s ) = s (Ts + 1) n
1.能得到脉冲响应曲线 y′(t )
1 y′(t ) ⇒ G 0 ( s ) ⇒ G ( s ) = G 0 ( s ) s
直接得到τ 和 K
辨
2.不能得到冲激响应曲线
1
ln y (t ) − 1 = ln A − t T1
(25)
以时间为横轴，绘制 ln y (t ) − 1 曲线，如下图所示。
y (t ) − 1 和A的符号相同，则可得到 A 和 T1 。
可得到 A 和 T1 以后，当 t → T2 时，无因次阶跃响应曲线近似 t t − − 为 y (t ) = 1 + Ae T1 + Be T2 即
0, 0 < t < τ ⎧ ⎪ y (t ) = ⎨ t −τ − ⎪ (1 − e T ), t ≥ τ ⎩
在实际辨识过程中，阶跃响应不一定正好是具有负指数规律上升 的曲线，但只要是如下图所示的S型非周期曲线，则系统可采用一 阶传递函数来近似，一般采用切点法和两点法两种方法。
1、切线法
τ ,T
t 2 − t1 ⎧ ⎪T = ln(1-Y )-ln(1-Y ) = 2(t 2 − t 1 ) ⎪ 1 2 ⎨ ⎪τ = t 2ln(1-Y1 ) − t 1ln(1-Y2 ) = 2t - t 1 2 ⎪ ln(1-Y1 )-ln(1-Y2 ) ⎩
另外，可取以下点进行效
t3 < τ , t 4 < 0.8T + τ , t 5 < 2T + τ , y (t 3 ) = 0; y (t 4 ) = 0.55 y (t 5 ) = 0.87
系统辨识原理及其应用
韩 华 中南大学信息院
第2章 传递函数的辨识
经典的传递函数辨识方法可以分为时域法和频率域法 两种。
2.1传递函数辨识的时域法
2.1.1一阶惯性滞后环节的辨识 2.1.2二阶自衡对象的辨识 2.1.3二阶欠阻尼自衡对象的辨识 2.1.4高阶自衡对象的辨识 2.1.5自衡等容对象的辨识 2.1.6无自衡对象的辨识 2.1.7面积法
∗
1+Δ 1-Δ ，T2∗ = 2 2 1 − Δ −t ∗ 2 e 1−Δ + 2Δ
(15)
1 + Δ −t ∗ 2 1 − Δ −t ∗ 2 y (t ) = 1 + e 1+Δ + e 1−Δ 2Δ 2Δ
∗
(15)
2.1.3二阶欠阻尼自衡对象的辨识
Kω 0 2 G (s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω 0 2 (21)
ϕ (ω ) : 相频特性
若输入信号为： (t ) = a u sin(ωt + θ 1 ) u 对于线性系统，其输出为： y (t ) = a y sin(ωt + θ 2 )
1.周期测试信号 采用周期测试信号测定被识对象的频率特性时,所有的测量都应 在过程已经处于稳定状态下进行,即由于初始条件等所产生的过 渡过程均已消失.
∗ 用y 2 作ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ验。
2.1.4高阶自衡对象的辨识
阶跃响应曲线的起始变化比较慢时，都是二阶以上的 过程。这里假设三阶自衡对象的传递函数的极点都是 负实数。这时无因次阶跃曲线为：
y (t ) = 1 + Ae
− t T1
+ Be
−
t T2
+ Ce
−
t T3
(24)
假设 T1 ≥ T2 ≥ T3 当时间不断增大时，后两个模态与第 一个模态相比，衰减到可以忽略。当 t → T1 时，该式简 t − 化为 y (t ) = 1 + Ae T 即：
⇓ y′(∞) K= ΔU ( s ) (8)
y 显然， ′(∞)为阶跃响应的终态斜率，它是阶跃响应渐进线的斜率
传递函数的纯时滞 τ ，一般均均采用目测阶跃响应接 近零值的时间长度，为与以下近似得到的时滞相区别 ，记为 τ 0。 说明： 以后的辨识都在时滞τ 0和放大倍数 K 已知的情况下进 行。
2.2.1由实验测定系统的频率响应
被识对象的动态特性用频率特性描述的一般表 达式为
G ( jω ) = Y ( s) U (s)
s = jω =
Y ( jω ) = A(ω ) A(ω )e jϕ (ω ) U ( jω )
或Y ( jω ) = G ( jω )U ( jω )
A(ω ) : 幅频特性
2.1传递函数辨识的时域法
传递函数辨识的时域法包括阶跃响应法、脉冲响 应法和矩形脉冲响应法等，其中以阶跃响应法最 为常用。阶跃响应法利用阶跃响应曲线对系统传 递函数进行辨识，阶跃响应曲线即输入量作阶跃 变化时，系统输出的变化曲线。在工业工程控制 系统的辨识中，阶跃响应曲线又常被称为飞升曲 线或系统的飞升特性。如果系统不含有积分环节 ，那么阶跃输入下，系统的输出将渐进于一新的 稳定状态，称系统具有自平衡特性，或称为自衡 对象。否则，系统 称为无自衡对象，输出无限地 扩大或减小，说明系统至少有一个纯积分环节。
(7)
对于无自衡对象（传递函数
Y ( s) = G ( s) ⋅U ( s)
G(s)
dy (∞) y (∞)不存在,但是 =y′(∞)存在 dt y′(∞) = lim s 2 ⋅ Y ( s ) = lim s 2 ⋅ G ( s ) ⋅ U ( s ) = K ⋅ ΔU ( s )
s →0 s →0
这三个数
令： 1 = y (t1 )， 2 = y (t 2 )有： Y Y
t 2 − t1 ⎧ = ⎪ T ln(1-Y )-ln(1-Y ) ⎪ 1 2 ⎨ ⎪τ = t 2ln(1-Y1 ) − t 1ln(1-Y2 ) ⎪ ln(1-Y1 )-ln(1-Y2 ) ⎩
t −T −1 ⎧ ⎪ y (t1 ) = 1 − e T ⎨ t −T − 2 ⎪ y (t 2 ) = 1 − e T , t 2 > t1 > T ⎩ 若取y (t1 ) = 0.39, y (t 2 ) = 0.63, 有 :
0, 0 < t < τ ⎧ ⎪ y (t ) = ⎨ t −τ − ⎪ (1 − e T ), t ≥ τ ⎩
2、两点法
在y (t )上取 两个坐标
之间有明显的差别即
只要求(0， (t1 )， (t 2 ) y y (t1 y (t1 ))和(t 2 y (t 2 ))，
t −T −1 ⎧ ⎪ y (t1 ) = 1 − e T ⎨ t −T − 2 ⎪ y (t 2 ) = 1 − e T , t 2 > t1 > T ⎩
(5)
无自衡对象
自衡对象
对于自衡对象（传递函数
Y (s) = G ( s) ⋅U (s)
s →0 s →0
G(s)
(6)
y (∞) = lim s.Y ( s ) = lim s ⋅ G ( s ) ⋅ U ( s ) = K ⋅ ΔU ( s ) ⇓ y (∞ ) K= ΔU ( s )
在经典控制理论中常用 自衡放大倍 自衡对象输入的变
2.1.2二阶自衡对象的辨识
为简单起见，设 τ = 0 ，则具有传递函数（2）的系统的无 因次阶跃响应曲线为
Ke −τ s G ( s) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
t t − − T1 T2 y (t ) = 1 + e T1 + e T2 T2 − T1 T2 − T1
(13)
令 2T = T2 + T1， 引入无因次时间 t ∗ =
用阶跃响应辨识的传递函数有以下几种形式：
Ke −τ s G(s) = Ts + 1 Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1) Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3s + 1) Ke −τ s G(s) = (Ts + 1) n Ke −τ s G(s) = s(T1s + 1) n (1) (2) (3) (4)
2.非周期测试信号
本章小结
传递函数的辨识法 自衡对象传递函数时域辨识 非自衡对象传递函数时域辨识 传递函数的频率域辨识
THE
END
首先找到右图中的 [t 1 , y (t 1 )]
带有一个积分环节的系统
1 然后由 n = 2π ⎡ b ⎤ 1 ⎢ ⎥ − y (t1 ) ⎦ 6 或 ⎣
2
n ⇒ T = t1 n
t1
注意
2.1.7面积法
2.2传递函数的频域辨识
2.2.1由实验测定系统的频率响应 2.2.2由频率响应确定系统的传递函数
− t T1
= ln B − t T2
− t T1
(26)
采用同样的方法可得到 B 和 T2 。y (t ) − 1 − Ae 同理可得 C 和 T3 。 最后:
y (t ) = 1 + Ae
− t T1
和 B 的符号相同
+ Be
−
t T2
+ Ce
−
t T3
⇓ Laplace transfer A B C G ( s) = + + T1s + 1 T2 s + 1 T3 s + 1
无因次阶跃响应曲线
e −ξω 0t y (t ) = 1 − sin( 1 − ξ 2 ω 0t + φ ) 1− ξ 2 (22)
y1∗ = e
−
πξ 1−ξ 2
∗ , y2 = e
−3
πξ 1−ξ 2
由y1∗和TZ 解得 2π ξ= ,ω0 = 2 ∗） TZ 1 − ξ 2 （ 1 + π ln y1 1
τ0
2.1.1一阶惯性滞后环节
根据拉氏变换可知，其阶跃响应曲线是一条负指数规律上升的曲
Ke G(s) = Ts + 1
−τ s
0, 0 < t <τ ⎧ ⎪ y (t ) = ⎨ t −τ − ⎪ K ⋅ ΔU (1 − e T ), t ≥ τ ⎩
将阶跃响应曲线化为无因次 s (t ) = y (t ) y (∞) 即新的终值为 y (∞) = 1 。 下文的阶跃曲线都为无因次阶跃曲
∗
T T t 。令T1 ∗ = 1 ，T2 ∗ = 2 ，于是 2T 2T 2T
∗
t t − − T1∗ T2∗ ∗ y (t ∗ ) = 1 + e T1 + e T2∗ T2∗ − T1∗ T2∗ − T1∗
(14)
令Δ = T1∗ − T2∗，于是T1∗ = 1 + Δ −t ∗ 2 y (t ) = 1 + e 1+Δ 2Δ
(27)
2.1.5自衡等容对象的辨识
2.1.6无自衡对象的辨识
e −τ s 对于无自衡对象 G ( s ) = s (Ts + 1) n
1.能得到脉冲响应曲线 y′(t )
1 y′(t ) ⇒ G 0 ( s ) ⇒ G ( s ) = G 0 ( s ) s
直接得到τ 和 K
辨
2.不能得到冲激响应曲线
1
ln y (t ) − 1 = ln A − t T1
(25)
以时间为横轴，绘制 ln y (t ) − 1 曲线，如下图所示。
y (t ) − 1 和A的符号相同，则可得到 A 和 T1 。
可得到 A 和 T1 以后，当 t → T2 时，无因次阶跃响应曲线近似 t t − − 为 y (t ) = 1 + Ae T1 + Be T2 即
0, 0 < t < τ ⎧ ⎪ y (t ) = ⎨ t −τ − ⎪ (1 − e T ), t ≥ τ ⎩
在实际辨识过程中，阶跃响应不一定正好是具有负指数规律上升 的曲线，但只要是如下图所示的S型非周期曲线，则系统可采用一 阶传递函数来近似，一般采用切点法和两点法两种方法。
1、切线法
τ ,T
t 2 − t1 ⎧ ⎪T = ln(1-Y )-ln(1-Y ) = 2(t 2 − t 1 ) ⎪ 1 2 ⎨ ⎪τ = t 2ln(1-Y1 ) − t 1ln(1-Y2 ) = 2t - t 1 2 ⎪ ln(1-Y1 )-ln(1-Y2 ) ⎩
另外，可取以下点进行效
t3 < τ , t 4 < 0.8T + τ , t 5 < 2T + τ , y (t 3 ) = 0; y (t 4 ) = 0.55 y (t 5 ) = 0.87
系统辨识原理及其应用
韩 华 中南大学信息院
第2章 传递函数的辨识
经典的传递函数辨识方法可以分为时域法和频率域法 两种。
2.1传递函数辨识的时域法
2.1.1一阶惯性滞后环节的辨识 2.1.2二阶自衡对象的辨识 2.1.3二阶欠阻尼自衡对象的辨识 2.1.4高阶自衡对象的辨识 2.1.5自衡等容对象的辨识 2.1.6无自衡对象的辨识 2.1.7面积法
∗
1+Δ 1-Δ ，T2∗ = 2 2 1 − Δ −t ∗ 2 e 1−Δ + 2Δ
(15)
1 + Δ −t ∗ 2 1 − Δ −t ∗ 2 y (t ) = 1 + e 1+Δ + e 1−Δ 2Δ 2Δ
∗
(15)
2.1.3二阶欠阻尼自衡对象的辨识
Kω 0 2 G (s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω 0 2 (21)
ϕ (ω ) : 相频特性
若输入信号为： (t ) = a u sin(ωt + θ 1 ) u 对于线性系统，其输出为： y (t ) = a y sin(ωt + θ 2 )
1.周期测试信号 采用周期测试信号测定被识对象的频率特性时,所有的测量都应 在过程已经处于稳定状态下进行,即由于初始条件等所产生的过 渡过程均已消失.
∗ 用y 2 作ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ验。
2.1.4高阶自衡对象的辨识
阶跃响应曲线的起始变化比较慢时，都是二阶以上的 过程。这里假设三阶自衡对象的传递函数的极点都是 负实数。这时无因次阶跃曲线为：
y (t ) = 1 + Ae
− t T1
+ Be
−
t T2
+ Ce
−
t T3
(24)
假设 T1 ≥ T2 ≥ T3 当时间不断增大时，后两个模态与第 一个模态相比，衰减到可以忽略。当 t → T1 时，该式简 t − 化为 y (t ) = 1 + Ae T 即：
⇓ y′(∞) K= ΔU ( s ) (8)
y 显然， ′(∞)为阶跃响应的终态斜率，它是阶跃响应渐进线的斜率
传递函数的纯时滞 τ ，一般均均采用目测阶跃响应接 近零值的时间长度，为与以下近似得到的时滞相区别 ，记为 τ 0。 说明： 以后的辨识都在时滞τ 0和放大倍数 K 已知的情况下进 行。
2.2.1由实验测定系统的频率响应
被识对象的动态特性用频率特性描述的一般表 达式为
G ( jω ) = Y ( s) U (s)
s = jω =
Y ( jω ) = A(ω ) A(ω )e jϕ (ω ) U ( jω )
或Y ( jω ) = G ( jω )U ( jω )
A(ω ) : 幅频特性
2.1传递函数辨识的时域法
传递函数辨识的时域法包括阶跃响应法、脉冲响 应法和矩形脉冲响应法等，其中以阶跃响应法最 为常用。阶跃响应法利用阶跃响应曲线对系统传 递函数进行辨识，阶跃响应曲线即输入量作阶跃 变化时，系统输出的变化曲线。在工业工程控制 系统的辨识中，阶跃响应曲线又常被称为飞升曲 线或系统的飞升特性。如果系统不含有积分环节 ，那么阶跃输入下，系统的输出将渐进于一新的 稳定状态，称系统具有自平衡特性，或称为自衡 对象。否则，系统 称为无自衡对象，输出无限地 扩大或减小，说明系统至少有一个纯积分环节。
(7)
对于无自衡对象（传递函数
Y ( s) = G ( s) ⋅U ( s)
G(s)
dy (∞) y (∞)不存在,但是 =y′(∞)存在 dt y′(∞) = lim s 2 ⋅ Y ( s ) = lim s 2 ⋅ G ( s ) ⋅ U ( s ) = K ⋅ ΔU ( s )
s →0 s →0
这三个数
令： 1 = y (t1 )， 2 = y (t 2 )有： Y Y
t 2 − t1 ⎧ = ⎪ T ln(1-Y )-ln(1-Y ) ⎪ 1 2 ⎨ ⎪τ = t 2ln(1-Y1 ) − t 1ln(1-Y2 ) ⎪ ln(1-Y1 )-ln(1-Y2 ) ⎩
t −T −1 ⎧ ⎪ y (t1 ) = 1 − e T ⎨ t −T − 2 ⎪ y (t 2 ) = 1 − e T , t 2 > t1 > T ⎩ 若取y (t1 ) = 0.39, y (t 2 ) = 0.63, 有 :
0, 0 < t < τ ⎧ ⎪ y (t ) = ⎨ t −τ − ⎪ (1 − e T ), t ≥ τ ⎩
2、两点法
在y (t )上取 两个坐标
之间有明显的差别即
只要求(0， (t1 )， (t 2 ) y y (t1 y (t1 ))和(t 2 y (t 2 ))，
t −T −1 ⎧ ⎪ y (t1 ) = 1 − e T ⎨ t −T − 2 ⎪ y (t 2 ) = 1 − e T , t 2 > t1 > T ⎩
(5)
无自衡对象
自衡对象
对于自衡对象（传递函数
Y (s) = G ( s) ⋅U (s)
s →0 s →0
G(s)
(6)
y (∞) = lim s.Y ( s ) = lim s ⋅ G ( s ) ⋅ U ( s ) = K ⋅ ΔU ( s ) ⇓ y (∞ ) K= ΔU ( s )
在经典控制理论中常用 自衡放大倍 自衡对象输入的变
2.1.2二阶自衡对象的辨识
为简单起见，设 τ = 0 ，则具有传递函数（2）的系统的无 因次阶跃响应曲线为
Ke −τ s G ( s) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
t t − − T1 T2 y (t ) = 1 + e T1 + e T2 T2 − T1 T2 − T1
(13)
令 2T = T2 + T1， 引入无因次时间 t ∗ =
用阶跃响应辨识的传递函数有以下几种形式：
Ke −τ s G(s) = Ts + 1 Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1) Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3s + 1) Ke −τ s G(s) = (Ts + 1) n Ke −τ s G(s) = s(T1s + 1) n (1) (2) (3) (4)
2.非周期测试信号
本章小结
传递函数的辨识法 自衡对象传递函数时域辨识 非自衡对象传递函数时域辨识 传递函数的频率域辨识
THE
END
首先找到右图中的 [t 1 , y (t 1 )]
带有一个积分环节的系统
1 然后由 n = 2π ⎡ b ⎤ 1 ⎢ ⎥ − y (t1 ) ⎦ 6 或 ⎣
2
n ⇒ T = t1 n
t1
注意
2.1.7面积法
2.2传递函数的频域辨识
2.2.1由实验测定系统的频率响应 2.2.2由频率响应确定系统的传递函数