第10章 能量法(作业解答)

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=
1 EI
l 0
⎡ ⎢M ⎣
(x
)
∂M (x
∂M es
)
⎤ ⎥ ⎦
M
es
=
dx
0
=
qa 3 6EI
10-5 图示刚架,各杆的 EI 相等。试求截面 A 的位移和转角。
Bl F
x2
x1 A
1
1
1
h
C
解:用单位载荷法求解 如图所示,在截面 A 处分别作用一水平方向单位力、铅垂方向单
位力和一顺时针方向单位力偶,并分别求出由荷载 F 以及单位力和单 位力偶所引起的内力,列表计算如下:
∂Fs
当 a ≤ x ≤ l , M (x) = −Fs (l − x),
∂M (x) = −(l − x)
∂Fs
∫ yB
= ⎜⎜⎝⎛
∂U ∂Fs
⎟⎟⎠⎞Fs =0
=
1 EI
l 0
⎡ ⎢ ⎣
M
(x
)
∂M (x
∂Fs
)
⎤ ⎥ ⎦
Fs
=0
dx
∫ = q
a
(a

x)2 (l

x)dx
=
qa 3 (4l

a)
F=qa
q
面 A 和 B 之间的相对位移和相对转角。
A
F 对称轴 F
B
1
1
x1
h
x2
E
C
D
A
B
C
a
l
ql2/8

a
①②
解:用单位载荷法求解 由于结构和载荷的对称性,取刚架对称轴的一侧来求解 δ AB 和
1
qa2
1
θ AB 在 A 截面分别作用一水平单位力和一单位力偶,如图所示,列表
A
C
计算如下:
杆段
杆段 AB
由载荷 F 所 引起的弯矩
M (xi )
− Fx1
由水平单位力 所引起的弯矩
M1(xi )
0
由铅垂单位力 所引起的弯矩
M 2 (xi )
− x1
由单位力偶所 引起的弯矩
M 3(xi )
−1
BC
− Fl
− x2
−l
−1
∫ 截面
A
的水平位移: δ AH
=
1 EI
h 0
Flx2dx2
=
Flh2 2EI
由图乘法求得
( ) yA
=
1 EI
ω1 M C1 + ω2 M C2 + ω3 M C3
( ) ( ) =
1 EI
⎡ ⎢ ⎣
1 2
×
− qa2
× a × ⎜⎛ − 2a ⎟⎞ + 1 × ⎝ 3⎠ 2
− qa2
× l × ⎜⎛ − 2a ⎟⎞ ⎝ 3⎠
+ 2 × ql 2 × l × ⎜⎛ − a ⎟⎞
10-3
∫ ∫ 截面 A 的竖直位移: δ AV
=
1⎡ EI ⎢⎣
l 0
Fx12dx1
+
h 0
Fl
2
dx2
⎤ ⎥⎦
=
Fl 2 (l + 3h)
3EI
截面 A 转
角:θ A
=
1 EI
∫⎡
⎢⎣
l
0 Fx1dx1
+
∫h 0
Fldx
2
⎤ ⎥⎦
=
Fl(l + 2h)
2EI
10-1
10-7 图示刚架,各杆的 EI 相等。试求在一对力 F 的作用下截
10-2
10-10 试求图示超静定梁的支反力。设固定端沿梁轴线的反力 可以忽略。
q
A
B
l
10-11 F
B
a
试画出图示刚架的弯矩图。设刚架各杆的 EI 相等。
a
CF
3Fa 8
x2
x1 FC
M图
A
M eA
x
M eB 解:
5Fa 8
FAy

FBy
解:
为二次超静定问题。
由对称性可得:
FAy
=
FBy
=
ql 2
=

1 EI
⎜⎜⎝⎛
ql 3 12

M A ⎟⎟⎠⎞
=
0
可得:
M
A
=
ql 2 12
为一次超静定问题。
1.用卡氏定理求多余约束力,以 C 截面处的约束为多余约束
AB 段: M (x1 ) = FC x1 ,
∂M (x1 )
∂FC
=
x1
BC
段:
M
(x2
)
=
FC a

Fx2

∂M (x2
∂FC
)
=
a
由卡氏定理
AC CE
由载荷 F 所引
起的弯矩 M (xi )
− Fx1
− Fh
由水平单位力所引
起的弯矩 M (xi )
− x1
−h
由单位力偶所引起
的弯矩 M ′(xi )
-1
-1
A、B 两点之间的相对位移:
∫ ∫ δ AB
=
2δ A
=
2 EI
⎜⎛ ⎜⎝
h 0
Fx12dx1
+
a 2 0
Fh
2dx2
⎟⎞ ⎟⎠
=
Fh2 EI
38
⎝ 2⎠
=
qa 3EI
⎜⎜⎝⎛
a3
+
a2l

l3 8
⎟⎟⎠⎞
( ) θC
=
1 EI
ω2MC2 + ω3MC3
( ) ( ) =
1 EI
⎡ ⎢ ⎣
1 2
×
− qa2
× l × ⎜⎛ − 1 ⎟⎞ + ⎝ 3⎠
2 × ql 2 38
×
l
×
⎜⎛ ⎝

1 2
⎟⎞⎥⎤ ⎠⎦
=
ql
4a2 − l 2 24EI
2EI 0
24EI
2.求截面 B 的转角,在截面 B 作用零值附加力偶 M es
当0

x
≤a

M (x) =

q(a
− 2
x)2

M es

∂M (x)
∂M es
=
−1
当 a ≤x≤ l , M (x) = −M es ,
∂M (x) = −1
∂M es
∫ θ B
=
⎜⎜⎝⎛
∂U ∂M es
⎟⎟⎠⎞M es =0
第十章 能量法
10-4 试求图示悬臂梁 B 截面的挠度和转角(EI 为常数)。 q
A
C
a
l
q
Ax
C
B
q Fs
M es
B
Ax
C
B
解:
用卡氏定理求解
1.求截面 B 的挠度,在截面 B 作用零值附加力 Fs
当 0 ≤ x ≤ a , M (x) =

q(a
− 2
x)2

Fs (l

x),
∂M (x) = −(l − x)
yC
=
∂U ∂FC
=

a 0
M (x1
EI
)
∂M (x1 )
∂FC
d x1
+

a 0
M (x
EI
2
)
∂M (x2
∂FC
)
dx2
∫ ∫ =
1 EI
⎡ ⎢⎣
a
0 FC
x12
dx1
+
(a
0 FC
a

Fx2
)
adx2
⎤ ⎥⎦
=
a3 EI
⎜⎛ 4 ⎝3
FC

F 2
⎟⎞ = 0 ⎠
可求得: FC
=
3F 8
2.作刚架的内力图
,M
A
=
MB
化为一次超静定问题。
以 M A 为多余约束,取静定基如图所示
M
(x)
=
FAy
x

1 2
qx 2

M
A
=
q 2
(lx

x2)

M
A
∂M (x) = −1
∂M A
由卡氏定理
∫ ∫ θ A
=
1 EI
M (x) ∂M (x) dx = − 1
l
∂x
EI
l 0
⎡ ⎢⎣
q 2
(lx

x
2
)

M
A
⎥⎦⎤dx
⎜⎛ ⎝
2h 3
+
a ⎟⎞ ⎠
A、B 两截面的相对转角:
θ AB
=
2θ A
=
2 EI
∫⎜⎛
⎜⎝
h
0 Fx1dx1
a
∫+ 2 0
Fhdx2
⎟⎞ ⎟⎠
=
Fh (h + a)
EI
10-9 图示外伸梁,抗弯刚度为 EI。不计弯曲剪力的影响,试用 图乘法求自由端 A 的挠度和支座 C 截面的转角。
a
1
解:
用叠加法作梁在 F 和 q 共同作用下的 M 图,并作梁仅在 A、C 处 分别作用一竖直单位力和一单位力偶时的的 M 和 M ′ 图,如图所示。
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