线性规划运输问题

重复上述步骤，直到把所有的空格都划去为止。 如果这样选出的空格共有m+n-1个，则构成一
个初始基本可行解。
21
初前例始中：可最行小元解素法的求获初始得解
1
2
3
4
9
12
9
6
1
30
20
7 2
3
7
7
40
20
6
5
3
40
9
11
10
dj
40
40
60
20
0
0
40
0
10
0
si 50 30 0 60 20 0 50 10 0
5
单位：元/台
门市部
工厂
1 2 3 4 供应量总计
1
9 12 9 6
50
2
7377
60
3
6 5 9 11
50
需求量总计 40 40 60 20
160
6
运输问题网络图
供应地
运价
9
s1=50 1 12
9
供 应 量
6
7
s2=60 2
3 7
7
6
பைடு நூலகம்
5
s3=50 3 9
11
需求地
1 d1=40
2 d2=40
需 求
37
利用闭回路法求检验数
6+3+9-12-7-11=-12
1
2
3
4 供应量
9
12
9 -7 6 -12
1
40
10
50
2
7 73
7
7 -2
30
30
60
6 4 5 09
11
3
50
30
20
需求量 40
40
60
20
7+12-9-3=7
38
最优判定法则
表上作业法的最优判定法则是：一个可以 直接作为表上作业法的初始方案的调运方 案，如果它所有的检验数均为非负数，则 这个方案是最优的。
36
在闭回路中，转向之处称为顶点。从空格算起第奇 数转向的称为奇数顶点，第偶数次转向的称为偶数 顶点。
定义空格所对应的非基变量xij的检验数为：
ij=奇数顶点的运价之和-偶数顶点的运价之和
ij ckl ckl
O
E
其中 O 表示对“奇数顶点”上的元素取和， E 表示对“偶数顶点”上的元素取和。 现在用前例的初始方案表作为例子加以说明。
B2
B3
B4
行差额
产地
A1
3
11 3
10 0
A2
1
9
2
8
1
A3
7
4
10 5
1
列差额
2
5
1
3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量
3
6
5
6
销地 B1
B2
B3
B4
行差额
产地
A1
3
11 3
10 0
A2
1
9
2
8
1
A3
7
4
10 5
2
列差额
2
1
3
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
5
2
7
A2
3
cij-ui-vj=0
如果是非基变量，则有：
cij-ui-vj=σij
由于基变量有m+n-1个，位势有m+n个，我们可 以从m+n个位势变量中任设其中一个为任意值， 就可以求出其他位势值，进而求得检验数ij 。
31
位势的计算过程如下：
设u1=0
由c11-u1-v1=0v1=c11=9 由c12-u1-v2=0v2=c12=12 由c22-u2-v2=0u2=c22-v2=-9 由c23-u2-v3=0v3=c23-u2=16 由c33-u3-v3=0u3=c33-v3=-7 由c34-u3-v4=0v4=c34-u3=18
m
xij d j
i1
(j= 1,2,…,n) 需求约束
xij≥0，i=1,1,…,m; j=1,2,…,n 由 cij、si、dj 组成的 （m+1)×(n+1) 矩阵称为运输矩阵
12
约束方程共有m+n个，由于∑si=∑dj， 因此约束方程只有m+n-1个方程是线性 独立的。因此运输问题的基本可行解 有m+n-1个分量。
13
引例——方程组中方程的线性独立问题：
x1+x2+x3=3 2x1+x2+x4=6 3x1+2x2+x3+x4=9 系数的增广矩阵为：
11103
11103
21016 → 21016
32149
00000
14
运输问题
产销不平衡的运输问题模型
产大于销时约束条件
m
x ij d j （j= 1,2,…,n)
(1)选取调入空格。任何检验数为负数的空格都可作为调 入空格。如果有多个检验数为负的空格，一般选取绝对 值最大的格。
(2)选取调出实格。调出实格在调整后的新方案中将成为 空格。调出实格可选择这样的实格：在调入空格闭回路 的各个偶转角点中运量最小的格。如果有多个这样的实 格，任选其一。
(3)调整。设所选调出实格的运量为P(称为调整量)，则在 调入空格闭回路的各偶转角点的运量都减少P，各奇转 角点的运量都增加P，得到新方案。
22
伏格尔法
思路：一产地的产品假如不能按最小运费就近 供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差 额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增 加越多，因而，对差额最大处，就应当采用最 小运费调运。
步骤：
1. 分别计算各行和各列的最小运费和次最小运 费的差额，并填入该表的最右列和最下行；
2. 从行或列差额中选出最大者，选择它所在行 或列中的最小元素；
如果第一个工厂的生产量小于第一个销售点的需求量， 则先将第一个工厂的全部产品运往第一个销售点，不 足的需求由第二个补足。
18
销地
1
2
3
4 供应量
9 12 9
6
1
40
10
50 10
产
7 2
地
6 3
需求量 40
3
7
7
30
30
5
9 11
30
20
40 60 20
60 30 50
20
30
30
x11,x12,x22,x23,x33,x346个变量构成一个基本初始可行解19。
运输问题
三类运输问题：
m
n
产销平衡： Si d j
i 1
j 1
m
n
产大于销： Si d j
i 1
j 1
产小于销：
m
Si
n
dj
i 1
j 1
11
运输问题
产销平衡的运输问题模型
令xij为 从i地运到j地的数量
Min Z =
nn
cij xij
i1 j1
n
x ij si
j1
（Cij≥0) （i= 1,2,…,m) 供应约束
目标
合理组织调运，既满足各销地的要求，又使总 的运输费用（或里程、时间等）最小。
3
运输问题
设有同一种货物从m个出发地1，2，…，m运往n个到 达地1，2，…，n。第i个出发地的供应量（Supply） 为si（si≥0），第j个到达地的需求量（Demand）为 dj （dj≥0）。 每单位货物从产地 i 运到销地 j 的运价为 Cij。求一个使总运费最小的运输方案。
39
检验数的含义
检验数ij的意义：
对任意空格施行如下变换(称为变换E)：在它闭 回路的奇转角点上增加1单位物资，而在偶转 角点上减少1单位物资。易见，经变换E后方案 仍是平衡的。
一般地， ij就是施行变换E时总运费的增加量。 如果某一空格的ij <0，那么对施行变换E时空 格变为实格，总运费将减少(- ij)单位。
3. 对表中未划去的元素再分别计算出各行、各 列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该 表的最右列和最下行。重复第1、2步。直至给 出初始解为止。
例：P80（表3-3，3-4）。表中B2列是最大差额所 在列，B2列中最小元素为4，可确定A3的产品先供 应B2的需要。同时将运价表的B2列数字划去。
销地 B1
量
3 d3=60
4 d4=20 7
运输问题线性规划模型
设xij为由第i个工厂运到第j个门市部的 电视机台数，cij为由第i个工厂运到第j 个门市部的运费，则原运输问题的线 性规划模型为：
8
Min Z= 9x11 +12x12 +9x13 +6x14 +7x21 +3x22+7x23+7x24 +6x31+5x32+9x33 +11x34
第3章 运输问题
线性规划续
1
主要内容
运输问题的特点及模型描述
网络图 线性规划模型 表上作业
表上作业法
平衡运输问题 不平衡运输问题
2
一、运输问题的特点及模型
原问题：产地到销地之间运送货物的最佳 路径
特点：
多个产地和多个销地； 每个产地的产量不同，每个销地的销量也不同； 各产销两地之间的运价不同。
1 2 3 … n 供应
1 c11
出2
发 地
c21 …
m cm1
成本 cij
c1n s1 c2n s2 ……
cmn sm
需求 d1
到达地
dn ∑
4
运输问题
引例：设某电视机厂有三个分厂，生产同 一种彩色电视机，供应该厂在市内的四个 门市部销售。已知三个分厂的日生产能力 分别是50，60，50台，四个门市部的日销 量分别为40，40，60，20台。从各个分厂 运往各门市部的运费如下表所示，试安排 一个运费最低的运输计划。
具体计算过程在表中进行
33
位势及检验数的计算
1
2
3
4
ui
9
12
9 -7 6 -12
1
0
40
10
77 3
7
7 -2
2
-9
30
30
3
6 4509
11
-7
30
20
vj
9
12
16
18
注：格子中，带数字为基本可行解，不带数字
为检验数
34
闭回路法
一个可以作为表上作业法初始方案的表中， 共有m+n-1个实格和mn-(m+n-1)个空格。 从一个空格出发，沿水平或竖直方向前进，
(一)运输问题初始可行解的获得
西北角法——从西北角的第一格开始安排运输 计划
具体步骤
17
平衡运输问题的表上作业法
具体步骤
取其相应的供应量和需求量中的最小值作为初始 基本可行解的第一个分量
如果第一个工厂的生产量大于第一个销售点的需求， 那么就由第一个工厂全部满足第一个销售点的需要， 工厂商品的剩余部分运八第二个销售点；
x11 +x12 +x13 +x14 x21
s.t.
+x22 +x23 +x24 x31
+x32 +x33 +x34
=50
供 应
=60 地
约
=50 束
x11 x12 x13
+x21
+ x31
+x22
+x32
+x23
+x33
x14
+x24
+x34
=40 需 =40 求
地 =60 约
束
=20
xij ≥0
1
4
A3
6
3
9
销量
3
6
5
6
伏格尔法同最小元素法除在确定供求关系 的原则上不同外，其余步骤相同。伏格尔 法给出的初始解比最小元素法给出的初始 解更接近最优解。
最优解检验
(二)最优解检验
依旧是根据检验数ij的值来判断其是否 为最优解。方法有两种：
位势法 闭回路法
30
位势法：假设每一行都有一个位势，记为ui,每一列 有一个位势，记为vj，它们有如下关系： 如果xij是基变量，则有
遇到一个适当的实格时按与前进方向垂直 的方向前进，再遇到适当的实格时再转向
前进，这样继续转向和前进若干次后必然 回到原来出发的那个空格，这就形成一条 由水平线段和竖直线段所组成的封闭折线， 称之为闭回路。
35
闭回路的性质：
1. m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它不 含闭回路
2. 在m+n-1个基变量(实格，也称为基格)中加入 任何一个非基变量，则加入空格后的m+n个 格子必含有惟一的闭回路
(4)计算新方案检验数后判定是否为最优方案，若还不是，
重复上述步骤。
42
1
2
3
4
ui
1
9
40
12
10
9 -7
6 -12
0
77 3
7
7 -2
2
-9
30
30
3
6 4 50 9
11
i= 1,2,3; j=1,2, 3,4
m×n个变量，m+n个条件
9
运输问题的表格表示
cij xij
1
1
9
2
7
3
6
需求量 40
2 12 X11 3 X21 5 X31 40
3 9 X12 7 X22 9 X32 60
4 6 X13 7 X23 11 X33 20
供应量 50 X14 60 X24 50 X34
32
进一步，求得各非基变量的检验数：
13 =c13-u1-v3=9-0-16=-7 14 =c14-u1-v4=6-0-18=-12 21 =c21-u2-v1=7-(-9)-9=7 24 =c24-u2-v4=7-(-9)-18=-2 31 =c31-u3-v1=6-(-7)-9=4 32 =c32-u3-v2=5-(-7)-12=0
i1
n
x ij s i （i= 1,2,…,m)
j1
产小于销时约束条件
n
x ij s i （i= 1,2,…,m)
j1
m
x ij d j （j= 1,2,…,n)
i1
15
不平衡的运输问题
门市部
工厂
12
3
供应量总 计
1
9 12 9
50
2
737
60
需求量总计 40 40 60
16
平衡运输问题的表上作业法
西北解法的特点
优点：简单易行，容易得到基本初始可行解； 缺点：没有考虑运费的因素，因此距离最优解
较远。
20
最小元素法（最小费用法）：“就近供应”
从单位运价表中选取最低运价的空格开始供求 分配：
当供应量大于需求量，取值为需求量，划去该空格 所在的列
当供应量小于需求量，取值为供应量，划去该空格 所在的行
40
检验数的含义
1
2
3
4 供应量
9
12
9 -7 6 -12
1
40
10
50
77 3
7
7 -2
2
30
30
60
64 50 9
11
3
30
20
50
需求量 40
40
60
20
21=(7+12)-(3+9) =7 13=(9+3)-(12+7) =-7 41
闭回路调整
对存在负检验数的方案必须进行调整，调整方法如下：