函数的极限的求解方法

函数的极限的求解方法
摘 要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握
的知识方法计算极限．
关键词：零因子：初等法：两个重要极限 ：等价无穷小： 等价无
穷小替换 ：函数的连续性 ：Hospital L '法 。

引 言 极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要
性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照
极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出
结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方
法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴
涵的数学思想.
函数的极限主要表现在两个方面：
一、自变量x 任意接近于有限值，或讲趋向（于）（记0x x →）
时，相应的函数值的变化情况.
二、当自变量x 的绝对值无限增大，或讲趋向无穷大（记∞→x ）
时，相应的函数值的变化情况.
相关知识点
（一）“0x x →”形：
定义1：如果对0>∀ε（不论它多么小），总0>∃δ，使得对于
适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值满足：
ε<-A x f )(，就称常数为函数当0x x →时的极限，记为
A x f n =∞→)(lim ，或
A x f →)( （当0x x →时） 注1：“x 与充分接近”在定义中表现为：0>∃δ，有δ<-<00x x ，
即),(0δ∧∈x U x .显然越小，x 与接近就越好，此与数列极限中的
所起的作用是一样的，它也依赖于ε.一般地，ε越小，相应地
也小一些.
2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，有无限
与)(0x f 在点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定
义，与)(0x f 值也无关）.
3：几何解释：对0>∀ε，作两条平行直线εε-=+=A y A y ,.
由定义，对此0,>∃δε.当δδ+<<-00x x x ，且0x x ≠时，有
εε+<<-A x f A )(.即函数)(x f y =的图形夹在直线
εε-=+=A y A y ,之间（)(0x f 可能除外）.换言之：当),(0δ∧
∈x U x 时，),()(εA U x f ∈.可见不唯一！
例1证明32121lim 221=---→x x x x .
证明：对0>∀ε，
因为,1≠a 所以
)12(313212132121.0122+-=-++=----⇒≠-x x x x x x x x [此处1→x ，即考虑10=x 附近的情况，故不妨限制x 为
110<-<x ，
即20<<x ，]. 因为31)12(31,112-<+-⇒>+x x x x ，要使ε<----3212122x x x ,只须
ε<-31
x ，即ε31<-x .取}3,1min{εδ=（利用图形可解释）， 当δ<-<10x 时，有ε<----3212122x x x . 定理1：（保号性）设A x f x x =→)(lim 0，
（i ） 若)0(0<>A A ，则0>∃δ，当),(0δ∧∈x U x 时，0)(>x f )0)((<x f .
（ii ） 若)0)((0)(≤≥x f x f ，必有)0(0≤≥A A .
注：在(i)中的“>”，“<”不能改为“≥”，“≤”.
在(ii)中，若0)(>x f ，未必有0>A .
定义2：对0>∀ε，0>∃δ，当00x x x <<-δ时，[当δ
+<<00x x x 时]，有ε<-A x f )(.这时就称为当0x x →时的左[右]极限，记为
A
x f x x =-→)(lim 00或A x f =-)0(.[A x f x x =+→)(lim 00或A x f =+)0(0]. 定理2：（充要条件）A x f x f A x f x x x x x
x ==⇔=+→-→→)(lim )(lim )(lim 00000.
（二）“∞→x ”形：
定义3：设当)0(>>a a x 时是有定义的，若对)(,0a X >∃>∀ε， 当X x >时，有ε<-A x f )(，就称为当∞→x 时的极限，
记为A
x f x =∞→)(lim 或A x f →)(（当∞→x 时）.
注1：设在]),((),,[b a -∞+∞上有定义，若对0,0>∃>∀X ε，当
)(X x X x -<>时，有ε<-A x f )(，就称为当)(-∞→+∞→x x 时的
极限，记为A x f x =+∞→)(lim ，或A x f →)(（当+∞→x ）（A x f x =-∞→)(lim ，或A x f →)(（当-∞→x ））.
2：（充要条件）A x f x f A x f x x x ==⇔=-∞→+∞→∞
→)(lim )(lim )(lim . 3：若A x f x =∞
→)(lim ，就称A y =为)(x f y =的图形的水平渐近线（若A
x f x =+∞→)(lim 或A x f x =-∞→)(lim ，有类似的渐近线）. 例2 证明0sin lim =∞→x x x .
证明：对0>∀ε，因为x x x x
x 1sin 0sin ≤=-，所以要使得ε<-0sin x x ，只须εε11>⇒<x x
，故取ε1=X ，所以当X x >时，有ε<-0sin x x ，所以0sin lim =∞→x x x .
（三） 无穷小与无穷大
一、无穷小
定义1：对,0>∀ε若)0(0>>∃X δ，使得当)(00X x x x <<-<δ时，有ε<)(x f 成立，就称为当)(0+∞→→x x x 时的无穷小，记为
)0)(lim (0)(lim 0==+∞→→x f x f x x x .
注 1：除上两种之外，还有0,0,,00+→-→+∞→-∞→x x x x x x 的
情形.
2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不
要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除
非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数.
定理1：当自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中时：
（i ） 具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，
即：为的极限A x f -⇔)(为无穷小.
（ii ） 若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就
是其极限.
二、无穷大
定义2：若对)0(0,0>>∃>∀X M δ，使得当)(00X x x x ><-<δ时， 有M x f >)(，就称当)(0∞→→x x x 时的无穷大，
记作:)
)(lim ()(lim 0∞=∞=∞→→x f x f x x x .
注1：同理还有+∞→-∞→)(,)(x f x f 时的定义.
2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆. 3：若∞=→)(lim 0x f x x 或∞
=∞→)(lim x f x ，按通常意义将，的极限不存在.
定理2：当自变量在同一变化过程中时， （i ）若为无穷大，则)(1
x f 为无穷小.
（ii ）若为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1
x f 为无穷大.
（四）函数极限运算法则
由极限定义直接来求极限是不可取的，因此需寻求一些方法来
求极限.
定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设
0)lim(0lim ,0lim =+⇒==βαβα
注1：u 与都表示函数与，而不是常数.
2： “”下放没标自变量的变化过程，这说明对0x x →及
∞→x 均成立，但须同一过程.
定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设u 有界，
0lim 0lim =⇒=ααu .
推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若k 为常数，
0lim 0lim =⇒=ααk .
推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设
0)lim (0lim lim lim 2121=⇒====n n αααααα .
定理3：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，
且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±.
注：本定理可推广到有限个函数的情形.
定理4：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且
)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==.
推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）.
推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）.
定理5：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则
)(lim )(lim )()(lim x g x f B A x g x f ==. 定理6：如果)()(x x ψϕ≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，则.
推论1：设
n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 为一多项式，当 )()(lim 001101000x f a x a x a x a x f n n n n x x =++++=--→ .
推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，由定理5，
)()()()(lim
000x Q x P x Q x P x x =→. 例3 221lim(510)15113x x x →-+=-⨯+=-.（利用定理3）
例4 33009070397lim 53530-=+--⨯+=+--+→x x x x x （因为03005≠+-）.
注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段.
例5 求322lim 221-+-+→x x x x x .（消去零因子法）
解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子)1(-x ，
所以
53322lim 322lim 1221=++=-+-+→→x x x x x x x x . 例6 求)1311(lim 31+-+-→x x x . 解：当
13,11,13++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时， 12)1)(1()2)(1(1311223+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以
11)1()1(2112lim )1311(lim 22131-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x .
例8 证明[][]x x x x ,1lim =∞→为x 的整数部分.
证明：先考虑
[][]x x x x x -=-1，因为[]x x -是有界函数，且当∞→x 时，01→x ，所以由定理2
[][][]1lim 0)1(lim 0lim =⇒=-⇒=-⇒∞→∞→∞→x x x x x x x x x x .
（五） 极限存在准则、两个重要极限
收敛准则： 如果函数)(),(),(x h x g x f 满足下列条件：
（i ）当))(,(0M x r x U x >∈∧时，有)()()(x h x f x g ≤≤.
（ii ）当)(0∞→→x x x 时，有A x h A x g →→)(,)(.
那么当)(0∞→→x x x 时，的极限存在，且等于.
两个重要极限：
()()()()()()()()()00100sin sin lim lim 1(0)
1lim 1lim 1lim 1(0)x x x x x x x x x x x x
x x x e x x ϕϕϕϕϕϕϕϕ→→→∞→→==≠⎛⎫+=+=+=≠⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
例9 1sin lim )sin(lim sin lim 0-=-=--=-→-=→→t t x x x x t x t x x ππππππ.（做替换）
例10 21)22sin (lim 21)2(sin 2lim cos 1lim 202
2020=⋅==-→→→x x x x x x x x x .（先三角变换） 2
2222])211(lim [])211[(lim )21(lim e x x x
x x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→ （六） 无穷小的比较
定义：设与为x 在同一变化过程中的两个无穷小，
(i) 若0lim
=αβ，就说是比高阶的无穷小，记为)(αβo =；
(ii) 若∞=αβlim ，，就说是比低阶的无穷小；
(iii) 若0lim ≠=C αβ，，就说是比同阶的无穷小；
(iv) 若1lim =αβ，就说与是等价无穷小，记为βα~. 注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，
但)()(x o x o ≠，因为不是一个量，而是高阶无穷小的记
号；
2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；
3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~⇒；
4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，
x x 1sin 与既非同阶，又无高低阶可比较，因为201sin lim x x x x →不
存在；
5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；
6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理1：（等价替换法则）
若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，
且ββαα''~,~，及
lim k βα'='，那么lim lim k ββαα'=='. 例12 求x x
x 20sin cos 1lim -→.
解：因为当0→x 时，x x ~sin
所以
21cos 1lim sin cos 1lim 2020=-=-→→x x x x x x . 例13 求x x x x 22arcsin lim 20+→
解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ，
所以 原式12222lim 22lim
020==+=+=→→x x x x x x .
注7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有： sin ~,
tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ， ()21ln 1,1,1cos 2x x x e x x x +--；
8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！
（七）连续性与罗必达法则
定理1：设)(x u ϕ=当0x x →时的极限存在且等于a ，即
a x x x =→)(lim 0ϕ，又设)(u f y =在处连续，那么，当0x x →时，复合
函数))((x f y ϕ=的极限存在，且等于，即)
())((lim 0a f x f x
x =→ϕ.
注：可类似讨论∞→x 时的情形. 定理2：设函数)(x u ϕ=在点0x x =连续，且00)(u x =ϕ，函数
)(u f y =在点连续，那么，复合函数))((x f y ϕ=在点0x x =处连续.
例14求x x x sin 2lim 0
-→（利用函数的连续性来求极限） 解：因为1sin lim 0=→x x x ，及u -2在点连续，故由上述定理，
1x →===.
Hospital L '法则： 在求)()(lim x F x f a
x →或)()(lim x F x f x ∞→时，若发现)(),(x F x f 同趋于0，或同趋于∞，则此时上述极限可能存在，也可能不存在.要根据具体的函
数来进一步确定，如n m x x x 0lim →，n m x x x ∞→lim ，我们通常把这种极限称为00或
∞∞
型的未定式（不定式），这种未定式是不能用“商的极限等于极
限的商”这一法则来计算的.
定理3：（Hospital L '法则）若)(),(x F x f 满足：
(i)0
)(lim )(lim ==→→x F x f a x a x ；
(ii) )(),(x F x f 在a 的某去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； (iii)A x F x f a x =''→)()(lim
（可为有限数，也可为或∞-）；
则： A x F x f a x =→)()(lim . 注 1：“a x →”可改为“+∞→x ”或“-∞→x ”，只不过对(ii)
作相应的修改，结论仍成立.
2：若)()(lim x F x f a x ''→仍为00
型未定式，则可再次使用法则，这时，
=''''=''=→→→)()(lim )()(lim )()(lim x F x f x F x f x F x f a x a x a x 直到极限不是未定式为止.
3：Hospital L '法则的三个条件缺一不可，表现在(a)若不是未
定式，则不能使用，否则会导致错误；(b)若(iii)不成立，
也不能用，否则也会导致错误；
4： ∞∞
型未定式的Hospital L '法则：可将上定理的(ii)(iii)不变， (i)改
为：
(i)′：+∞==→→)(lim )(lim x F x f a x a x 即可，结论仍成立.
5：其它还有00,0,1,,0∞∞-∞∞⋅∞等型的不定式，但它们经过简单的变形都可化为00型或∞∞
型的未定型，然后Hospital L '法则.
例15 求x x x 2tan cos 1lim +→π. 解：
21)2cos (lim cos 1tan 2sin lim tan cos 1lim 322=-=-=+→→→x x x x x x x x x ππ
π.
注：在应用Hospital L '法则时，要注意法则的条件是否满足，
不可乱用.
例16 x x x
x x sin sin lim
-++∞→能否用Hospital L '法则
解：若用Hospital L '法则，则有 x x x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim -+=-++∞→+∞→不存在，（分子，分母的极限不存在）
10101sin 1sin 1lim sin sin lim =-+=-+=-++∞→+∞→x x x x x x x x x x . 【求函数极限的方法总结与例题】
在“知识点”部分结合相关知识点，给出一些例题，但有
必要将函数极限的求法进行归纳并给出例题.例题的解法突出
一题多解或诸方法结合使用.现归纳如下七点：
⑴：消去零因子法，既把式子中的0因子消去。

⑵：初等法（如三角变换，有理化，通分，分子分母同除
一个函数）。

⑶：利用两个重要极限及收敛准则，既利用
()()()()()()()()()00100sin sin lim lim 1(0)
1lim 1lim 1lim 1(0)
x x x x x x x x x x x x
x x x e x x ϕϕϕϕϕϕϕϕ→→→∞→→==≠⎛⎫+=+=+=≠⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
和函数极限的收敛准则进行运算。

⑷：等价无穷小的性质及等价无穷小替换法进行运算。

⑸：利用函数的连续性，进行运算。

⑹：利用Hospital L '法则（非常重要的工具）。

⑺：上述诸方法结合使用.
例1 求极限2226lim 4x x x x →+--
解：（消去零因子）
()()()()2222232635lim lim lim 42224x x x x x x x x x x x x →→→+-+-+===-+-+ 例2
求极限0x → 解：（初等法）
0000222lim 14x x x x x →→→→+
-===-=- 例3 求极限324421lim 31x x x x →∞+-+
解：（初等法）
32
2444421421000lim lim 0131303x x x x x x x x x →∞→∞+-+-+-===+++
例4 求极限3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ 解：（初等法）
()()()()32211112312lim lim lim 111111x x x x x x x x x x x x x →→→-++⎛⎫-=== ⎪--+
+-++⎝
⎭
例5 求极限0
lim x x
→
解：（两个重要极限及收敛准则）
(
)00000lim lim 2sin lim 2x x x x x x x x x →→→→→====
例6 求极限
1lim 1x x x x →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 解：（两个重要极限及收敛准则）
21111111lim lim lim 11lim 1lim 1111x
x x x x x
x x x x x x x e x x x x x x --→∞→∞→∞→∞
→∞⎛⎫+⎡⎤ ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥ ⎪⎣⎦
-⎝⎭
例7 求极限()
0lim 1sin x
x x →+
解：（两个重要极限及收敛准则）
()
()()0sin 1
sin 0
sin lim
1
sin 0lim 1sin lim 1sin lim 1sin x x
x
x
x
x x x x x x x x x e
→→→→⎡
⎤+=+⎢⎥⎣
⎦
⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦
例8 求x e x
x sin 1lim
0-→.
解1：（等价无穷小替换法则）
()
001lim lim 11sin sin x x
x x e x e
x x x
→→-==-.
解2：（Hospital L '法则）001lim lim 1sin cos x x
x x e e x x →→-==
例9 求 01cos lim
sin x x
x x →-
解1：（初等法及重要极限）
()
2
2
0002sin sin
1cos 11
22lim lim lim sin sin 2sin 2
sin
2
x x x x x
x x x
x x x x x →→→-==•
=
解2：（等价无穷小替换法则）
2
0011cos 12lim lim sin 2x x x
x x x x x →→-==
• 解3：（Hospital L '法则）
000001cos sin 111
lim
lim lim sin sin cos 2
1cos 1lim limcos sin sin x x x x x x x x x
x x x x x x x x x →→→→→-====
++•+•
例5 求arctan lim
x x x →∞
解1：（等价无穷小的性质）
1
arctan arctan ,,lim
2x x
x x x
x π
→∞≤
→∞∴=且当是无穷小，
解2：（Hospital L '法则）21arctan 1lim lim 0
1x x x x x →∞→∞+== 例11 求()0ln 1lim
x x x →+
解1：（函数的连续性）
()()()11000ln 1lim lim ln 1ln lim 1ln 1x x x x x x x x e x →→→+⎡⎤
=+=+==⎢⎥⎣⎦ 解2 （Hospital L '法则）
()001
ln 11lim lim 1
1x x x x x →→++==
注：还可以利用泰勒展开式等求解.
例12 求x
n
x e x λ+∞→lim ，（n 为正整数，0>λ）. 解：（多次用Hospital L '法则）
0!lim )1(lim lim lim 221===-==+∞→-+∞→-+∞→+∞→x n x x n x x n x x n x e n e x n n e nx e x λλλλλλλ .。