同济大学钢结构基本原理 赵宪忠4-受压构件

残余应力模式及 受压后塑性区域 存在残余应力的钢材应力-应变关系 及相应失稳曲线
e


稳定承载临界力(临界应力) ——长细比曲线
柱子（轴心压杆） 稳定系数曲线
实腹式轴心压杆的整体稳定
柱子曲线：冷弯薄壁构件 弯曲失稳准则：边缘纤维屈服准则
N N m fy A Wx
cr
实腹式轴心压杆的整体稳定
0, ' 0
2 N E EA
2
实腹式轴心压杆的整体稳定
临界力和临界应力与长细比的关系 失稳临界力
NE
NE / A
实腹式轴心压杆的整体稳定
有缺陷压杆的稳定承载力[1] 轴心压杆的缺陷
- 物理缺陷 残余应力，截面上各点材性不均匀… - 几何缺陷 初弯曲，初扭转，初偏心
x
u 0, u' 0 v 0, v' 0
y
N Ey 2 EI y / L2 ox
(
2 1 1 x2 N E ω ) N Eω (1 0 ) 1 N Ex N Eθ r02 N Ex N Eθ
2 2 (2 x θ )
1 2
2 xo 1 2 2 2 2 (2 x θ ) 4(1 2 )x θ 2 ro
• 两组方程代表了整体失稳两种模态：弯曲失稳与弯扭失稳 • 与双轴对称截面理想压杆的区别
失稳临界力
u 0, u' ' 0 v 0, v' ' 0 y 0, ' ' 0
x x
u 0, u' ' 0 v 0, v '' 0 y 0, ' 0
失稳临界应力
cr
cr N E / A 2E / 2
N E 2 EA / 2
几何缺陷的影响（以初弯曲为例）
fy
Np
Np / A
如无初始弯曲变形 N : 0 N Ex
w
弹塑性修正
N
N Ex
bifurcation
e
稳定承载临界力 ——长细比曲线

e
稳定临界应力 ——长细比曲线
位移函数边界条件 自由 f 0, f ' 0
f ' ' C1, f ' ' ' C2 简支 f 0, f ' ' 0
实腹式轴心压杆的整体稳定
单轴对称截面理想压杆的临界力 基本方程之一解耦（设 x 轴为对称轴）
EI x v IV Nv '' Nx0 '' 0
EI x v IV Nv '' Nx0 '' 0
截面坐标，形心主轴 剪力中心 ：由形心轴规定的剪力中心坐标 直杆：杆件轴线(截面形心的连线)笔直 轴力作用线与杆件轴线始终重合 材料是完全均匀和弹性的
• • • • 横向力过该点不产生扭矩 无外扭矩构件只受弯、剪 该点为截面扭转的不动点 弯曲中心、扭转中心
z
x
x0
x
y0
x
y
x
y
x
轴心受压构件
主要内容
钢结构基本原理
Basic principles of steel structures
• 第一节 概述 • 第二节 截面强度 • 第三节 实腹式轴心压杆的整体稳定 • 第四节 实腹式轴心压杆中板件的局部稳定 • 第五节 格构式轴心压杆的整体稳定和肢杆稳定
赵宪忠
x.zhao@tongji.edu.cn
板件局部失稳
1
轴心受压构件
板件局部失稳 截面承载力（强度）
- 同轴心受拉构件，但无断裂 -截面有较大削弱处或非常粗短的构件
轴心受压构件
截面强度
N u An f y
工程计算公式
N An f d , f d f y / R, or f d f y / K

N fd An
柱子曲线：普通钢构件 弯曲失稳准则：稳定极限承载力理论
• 采用数值模拟方法，主要考虑如下因素 截面形状和尺寸，材料的力学性能，残余应力的分布和 大小，构件的初弯曲和初扭曲，荷载作用点的初偏心， 构件的失稳方向等 • 《钢结构设计规范》(GB50017-2003)采用 cr / f y • 四条柱子曲线：a, b, c, d 1.0
z N
''
2 ( Nr0
MT
y1 y1
MT
tf

x
M y1 EI y1u'' 0.5EI y1h '' Vy1 dM y1 / dz 0.5EI y1h ''' M ω Vy1h 0.5EI y1h 2 ''' 记 I ω 0.5I y1h 2 b3tf h 2 / 24
x
lox ix
lox Ix A
y
loy iy

loy Iy A
θ
loθ Iw l 2 GI R oθ t Aro2 2 EAro2
双轴对称截面3个微分方程独立，得到3个解，对应3种失稳模态
3
实腹式轴心压杆的整体稳定
双轴对称截面理想压杆的临界力 连接构造与约束条件
z
N
z
z
N
EI yu IV Nu '' Ny0 '' 0
2 R) '' 0 EIω IV GI t '' Nx0v '' Ny0u'' ( Nr0
弯曲平衡
(以第1式为例)
II
v
N
荷载作用效应 构件内部抗力
- 作用效应(1)：考虑挠度沿 y 轴发生
由弯曲平衡产生：
'
dz
dAa ' a ( s) x
- 扭转失稳模式下的平衡
Mω Mk MT
a
N
dAa( s) ' ad / dz a '
实腹式轴心压杆的整体稳定
双轴对称截面理想压杆的临界力
EI x v IV Nv '' Nx0 '' 0
实腹式轴心压杆的整体稳定
双轴对称截面理想压杆的临界力 杆端弯曲约束和扭转约束的自由、铰支、固接
EI x (v vo )'' Nv 0
if
N :0
vo vom sin( z / L)
vm vom /(1 N / N E )
* N : 0 N Ex
w v vo
vm
N
NE
or
N
N Ex
* N Ex
vom
N (1 vom / vm ) NE
v
w
vm
v
N
N ult N E
EI yu IV Nu '' Ny0 '' 0
EIω
IV
GI t Nx0v Ny0u
'' ''
''
2 ( Nr0
R) 0
''
- 端部约束：弯曲约束和扭转约束 - 约束类型：自由、铰支、固接 - 有效计算长度：表5-4 in page 101
失稳临界力
EI x v IV Nv '' Nx0 '' 0
v
N
4
实腹式轴心压杆的整体稳定
有缺陷压杆的稳定承载力[3] 残余应力(分布模式与幅值)的影响
N E ( cr )
实腹式轴心压杆的整体稳定
柱子曲线
cr / f y
轴心受压构件 稳定系数
cr / f y
理想应力-应变关系及失稳曲线
Np
( fy )
弹塑性修正 含残余应力影响
1.0
缺陷影响
x0
y
x0
形心 剪力中心
L来自百度文库
y
y
y0
实腹式轴心压杆的整体稳定
预备知识：剪力中心 剪力中心的概念
实腹式轴心压杆的整体稳定
预备知识：剪力中心 典型截面的形心和剪力中心
Mz
Vybh btf h 2I x 2
e
M z Vye
b 2 h 2t f 4I x
2
实腹式轴心压杆的整体稳定
理想压杆弹性失稳的平衡方程[2] 整体失稳的平衡方程

EI x v '' Nv 0
N Ex 2 EI x / L2 ox
v
vm
v
N
实腹式轴心压杆的整体稳定
有缺陷压杆的稳定承载力[2] 几何缺陷的影响（以初弯曲为例）
如双轴对称截面绕强轴有初挠曲，则 弯曲平衡方程： EI x v '' Nv 0
实腹式轴心压杆的整体稳定
有缺陷压杆的稳定承载力[3] 残余应力(分布模式与幅值)的影响
EI yu '' Nu 0
固接 f 0, f ' 0 滑移 f 0, f ' 0, f ' ' C
u 0, u' ' 0 v 0, v '' 0
u 0, u ' 0 v 0, v' 0
EI yu IV Nu '' Ny0 '' 0
if if
m
o 1 N N Ex
o
A o Wx
h
u 0.5h y1 u'' 0.5h ''

EI yu IV Nu '' Ny0 '' 0
EIω
IV

Nv '
GI t Nx0v Ny0u
'' ''
R) 0
''
Nv '
x0
y
v
y
N
扭转平衡
- 作用效应(1)：轴线弯曲引起的扭转分量
Nv ' x0 , Nu ' y0
[本坐标系中
0

y
x 为负值]
x
x0
M x2
- 弯曲失稳模式下的平衡：
EI x v'' (M x1 M x 2 )
实腹式轴心压杆的整体稳定
预备知识：约束扭转与自由扭转 一工字形截面悬臂梁受端部扭矩作用发生扭转
L
实腹式轴心压杆的整体稳定
理想压杆弹性失稳的平衡方程[4]
EI x v IV Nv '' Nx0 '' 0
y
II I
N
M x1 Nv
v M x1
y
N
整体失稳平衡方程的基本假定
N - 弹性 x - 小变形：包括弯曲变形u, v和扭转变形 - 刚周边 - 二阶非线性分析：以变形后位置建立平衡方程（几何非线性）
I
y
- 作用效应(2)：考虑形心位置发生扭转产生
形心相对剪力中心转动后，轴压力合力 点作用位置相对偏移所致 M x2 Nx0
• 第六节 轴心受压构件的刚度 • 第七节 轴心受压构件的设计计算
轴心受压构件
概述 结构中的受压构件
- 桁架杆件 - 支撑 - 铰接柱
轴心受压构件
构件整体失稳模式
受压构件的截面 形式
- 双轴对称截面 - 单轴对称截面 - 无对称轴截面
弯曲失稳
扭转失稳
弯扭失稳
轴心受压构件
构件整体失稳
轴心受压构件
EI x v IV Nv '' Nx0 '' 0 EI x v IV Nv '' Nx0 '' 0
实腹式轴心压杆的整体稳定
理想压杆弹性失稳的平衡方程[3]
EI yu IV Nu '' Ny0 '' 0
2 R) '' 0 EIω IV GI t '' Nx0v '' Ny0u'' ( Nr0
同理
EI x v '' Nv 0
2 2 2 EA( I x / A) / L2 N Ex 2 EI x / L2 ox EA / x ox
2 EA / 2 N Ey 2 EI y / L2 y oy
2 2 2 N E ( 2 EI ω / L2 o GI t R) / r 0 EA /
实腹式轴心压杆的整体稳定
理想轴心压杆的概念 “理想轴心压杆”模型
截面几何中心(形心)和物理中心(质心)始终重合
实腹式轴心压杆的整体稳定
理想压杆弹性失稳的平衡方程[1]
EI x v IV Nv '' Nx0 '' 0 EI yu IV Nu '' Ny0 '' 0
2 '' EIω IV GI t '' Nx0v '' Ny0u'' ( Nr0 R) 0
0, ' 0
0, ' 0
柱子上端设定u，v=0是否有前提条件？
EI IV GI t '' Nx0v '' Ny0u'' ( Nr02 R) '' 0 EI IV (GI t R Nr02 ) '' Nx0v '' 0
称为约束扭矩，或翘曲扭矩
y u b
dAa '
M ω M k M T , M k GI t '
记新物理量 无扭转 0 无翘曲 ' 0 无双力矩 '' 0
Ix Iy A
2
2 2 x0 y0
M y1h B 为双力矩
a( s) r dA R
x
对剪心求矩 略去高阶量
M z1 Nv' x0
- 作用效应(2)：纵向应力和残余应力对扭转
平衡的影响 dAa( s) ' a( s) ' a( s)2 dA Nr02 '
r02
'
则
M ω EI ω '''
dA
d
ad
x0 为负值
a
d
y
本坐标系中