向量组及其线性组合

第二节 向量组及其线性组合

内容分布图示

★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵

★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2

★ 线性方程组的向量形式

★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5

★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9

★ 向量组间的线性表示

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题3-2

★ 返回

内容要点:

一、n 维向量及其线性运算

定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量、

注:在解析几何中,我们把“既有大小又有方向的量”称为向量,并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象、 引入坐标系后,又定义了向量的坐标表示式(三个有次序实数),此即上面定义的3维向量、 因此,当3 n 时,n 维向量可以把有向线段作为其几何形象、 当3 n 时,n 维向量没有直观的几何形象、

若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合称为向量组、 例如,一个n m 矩阵 每一列

组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A 的列向量组,而由矩阵A 的的每一行

组成的向量组m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组、

根据上述讨论,矩阵A 记为

),,,(21n A 或

n A 21、 这样,矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系、

矩阵的列向量组与行向量组都就是只含有限个向量的向量组、 而线性方程组

的全体解当n A r )(时就是一个含有无限多个n 维列向量的向量组、

定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 的各对应分量之与组成的向量,称为向量 与 的与, 记为 ,即

由加法与负向量的定义,可定义向量的减法:

),,,(2211n n b a b a b a 、

定义3 n 维向量),,,(21n a a a 的各个分量都乘以实数k 所组成的向量,称为数k 与向量 的乘积(又简称为数乘),记为 k ,即

),,,(21n ka ka ka k 、

向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算、

注:向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同,从而也满足下列运算规律:

(1) ;

(2) )()( ;

(3) ; o

(4) ;)(o

(5) ;1

(6) ;)()( kl l k

(7) ;)( k k k

(8) .)( l k l k

二、向量组的线性组合

考察线性方程组

m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (1) 令

m mj j j j b b b n j a a a 2121),,,2,1( 则线性方程组(1)可表为如下向量形式:

n n x x x 2211 (2)

于就是, 线性方程组(1)就是否有解, 就相当于就是否存在一组数n k k k ,,,21 使得下列线性关系式成立:

定义4 给定向量组s A ,,,:21 ,对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式

称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数、

定义5 给定向量组s A ,,,:21 与向量 , 若存在一组数,,,,21s k k k 使

则称向量 就是向量组A 的线性组合, 又称向量 能由向量组A 线性表示(或线性表出)、 注:(1) 能由向量组s ,,,21 唯一线性表示的充分必要条件就是线性方程组 s s x x x 2211有唯一解;

(2) 能由向量组s ,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件就是线性方程组 s s x x x 2211有无穷多个解;

(3) 不能由向量组s ,,,21 线性表示的充分必要条件就是线性方程组 s s x x x 2211无解;

定理1 设向量

m b b b 21 ,),,,2,1(21s j a a a mj j j j

则向量

能由向量组s ,,,21 线性表示的充分必要条件就是矩阵),,,(21s A 与矩阵),,,,(~21 s A 的秩相等、

三、向量组间的线性表示

定义6 设有两向量组

若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示、若向量组A 与向量组B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价、

按定义, 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则存在

使

所以

其中矩阵t s ij t s k K )(称为这一线性表示的系数矩阵、

引理 若,n t t s n s B A C 则矩阵C 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示, B 为这一表示的系数矩阵、 而矩阵C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵、

定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示, 向量组B 可由向量组C 线性表示, 则向量组A 可由向量组C 线性表示、

例题选讲:

n 维向量及其线性运算

例1(讲义例1)设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21T T 如果向量满足,0)(2321 求 、

例2 (讲义例2)设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T

(1) 求 32 ; (2) 若有x , 满足,0253 x 求.x 例3 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,02,1(21 由于212 , 因此 就是21, 的线性组合、

例4 证明:向量)5,1,1( 就是向量)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(321 的线性组合并具体将 用321,, 表示出来、

例 5 证明: 向量)5,5,4(可以用多种方式表示成向量),3,2,1()4,1,1( 及)2,3,3(的线性组合、

向量组的线性组合

例 6 (讲义例3) 任何一个n 维向量T n a a a ),,,(21 都就是n 维向量单位组

T n T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 的线性组合、

因为 .2211n n a a a

例7 (讲义例4) 零向量就是任何一组向量的线性组合、 因为 .00021s o

例8 (讲义例5) 向量组s ,,,21 中的任一向量)1(s j j 都就是此向量组的线性组

合、

因为 .0101s j j

例9 (讲义例6)判断向量T )11,1,3,4(1 与T )11,0,3,4(2 就是否各为向量组,)5,1,2,1(1T T )1,1,1,2(2 的线性组合、 若就是, 写出表示式、

课堂练习

1、试问向量 能否由其余向量线性表示? 若能, 写出线性表示式:

2、已知向量组 (B):321,, 由向量组 (A):321,, 的线性表示式为

试将向量组(A)的向量由向量组(B)的向量线性表示、