三角形重心

會找出 任何物 體的重 心
(1) 觀察並提問：由各邊吊線懸吊後的鉛垂線描出 的線，這些線會有什麼特性呢？是不是會交於 一點呢？會位於物體的哪裡呢？有沒有可能
學生觀察並 回答
跑到外面？
交於一點
(2) 用手指或筆尖頂住交點，看看是否平衡？
(3) 說明：由實驗發現這個點，也就是會讓物體平 衡的點，在物理上，是經實驗找到的近似位 置，為了方便，命名這個點叫做重心，數學上 稱為重心或幾何中心。（每一個物體都有重 心，就是物體均勻密度的中心）
學生直接目 視並可能回 答
1. 中線
2. 中點線
中垂線：過各邊中點與各邊垂直的直線。
3. 由操作活動發現，任意三角形三中線會交於 一點，此點剛好與物理上所說的物體的重心 是同一點，所以為方便我們就說重心就是三 角形三中線交點。
結論： (1)三角形重心就是三條中線交點。
(2)三角形的重心，恆在三角形的內部。
評量重點
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重心到一 頂點的距 離與它到 對邊中點 距離關係
一ΔABC，若 BE、CF 為兩中線，且交於 G 點。 試說明：
(1) BG ： GE ＝ CG ： GF =2:1 (2) BG ＝ 2 BE
3
可先讓學生 想想要如何 說明
會利用 相似性 質說明 中線長 關係
說明：(利用三角形相似對應邊成比例及兩邊中點 連線性質)
(2)用手指或筆尖頂住交點，看看是否平衡？
(3)請大家猜猜看這些線是以前三角形學過的垂 線、中線、角平分線、中垂線的哪一種？
若答不出來時，可給提示或是另外說明澄清下列 各種直線不同(（可先在不同三角形劃上各種線) 垂線：過各頂點做與各對邊垂直的直線。
中線：三角形的各頂點與各對邊中點連線。
角平分線：內角的角平分線。
證明的地方，反證就是直接證走不通，就反證。
會證 明三 中線 長會 交於 一點
(4)要討論ΔBCG 與ΔEGF，所以要先連接哪一條 學生回答 線呢？
連接 EF
(5)這兩個三角形有什麼關係呢？
學生回答 相似 一樣
三角形重心◆
(6)如何判斷這兩個三角形ΔEFG 與ΔBCG 是相似 每組學生自
呢？
行練習寫
請一學生上 台寫及另一 學生上台說 明
C
詳細說明：
學生記錄
老師提問：
(1)猜猜看 BG 與 GE 有什麼關係呢？ CG 與 GF 有 學生回答：
什麼關係？
1.相等
2.兩倍
(2)長度比會想到跟以前學的什麼單元有關係呢？ 學生回答
相似形
比例
(3)要找哪兩個三角形呢？哪兩個三角形看起來很 學生回答
像呢？
ΔBFG 與ΔCGE
ΔBCG 與ΔEGF
（請學生說明原 因）
活動三：瞭解與證明重心與面積相關性質。
活動四：能解決正三角形、等腰三角形、直角三角形與一般三角形…等與重心性質相關應用。
五、教學概要說明：（請補上） 學生前面已經學過三角形的內心與外心意義及其相關性質。本單元主要是討論重心的意義及
應用其相關性質解決問題。課程活動中先透過操作讓學生去找物體的重心後瞭解重心的意義，進 而再針對三角形的重心作相關討論，並證明三角形的重心會交於一點及重心到頂點距離是重心到 對邊上中點的距離的兩倍。在與重心相關的面積性質有針對兩個部分作討論：第一個部分是三角 形三中線會將三角形面積六等分，第二個部分是重心與三角形三頂點連線所構成的三個三角形面 積相等，除了讓學生瞭解其性質外，並透過各組討論讓學生能證明面積六等分的性質。瞭解了重 心相關性質後，並針對不同圖形作相關應用討論，就正三角形而言，能瞭解正三角形的內心、外 心、重心為同一點。就等腰三角形而言，能瞭解外心與重心會在同一直線上。就直角三角形而言， 透過外心性質去算與重心相關問題。除此之外也能將此性質應用到解決平行四邊形及矩形問題。
三角形重 心
2. 若以三角形情況來討論：老師準備：多個三角
形（鈍角、銳角、直角）
視情況由老 會找出
師操作或學
三角形
生分組操作
的重心
老師操作：在各種不同三角形的各頂點用剛 剛的方法去懸吊並劃上線
三角形重心◆
老師提問：
Hale Waihona Puke Baidu
(1)做完兩條吊線後，請學生猜猜看第三條會不會 學生觀察 交於一個點？交點有可能會在三角形外部嗎？
三角形重心
三角形重心◆
壹、教學活動設計
一、教學年級：九年級上學期 二、教 學 者：台北市重慶國中 蔡佩旻 老師
三、教學目標：（請補上） 1. 能知道三角形中線的交點就是重心。 2. 能瞭解重心的性質。
3. 能應用三角形重心性質解決問題。
四、活動目標：（請補上） 活動一：瞭解三角形重心的意義。
活動二：能證明三角形的三中線會交於一點與重心性質。
三中線 交於一 點
3. 因為兩條線相交的話會只交於一點，但三條 學生思考並
線相交不一定只交於一點。剛剛經過實驗發
猜測
現三角形的三條中線會交於一點，但是要如 何說明任意三角形的三條中線一定會交於一 點呢？
1.直接說會有一 個點
提示：通常說明方式常用的有直接證明、反證法， 2.有另一個點
其中直接證明就是試試能不能從已知一路走到要 3.有很多點
六、教學活動設計：（請補上） 活動一：瞭解三角形重心的意義。
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教學內容 摘要
主要問題與活動
說明
評量重點
重心的意 義
1. 老師自行準備一個不規則形狀硬紙板（越大越 精確，紙板使用兩面，一面吊鐵線鐵線上勾一 重物，一面畫上交點）
老師實作：利用線在任意多邊形的邊上或頂 點吊線，在紙板上從懸吊處向下畫鉛直線。 （可多做幾次）
連接 EF ΔBCG 與ΔEGF
E、F 為 AB 、 AC 中點
EF // AB 且 EF ＝ 1 BC 2
∠GCB=∠GFE、∠GBC=∠GEF（內錯角） ΔEFG ΔBCG（AA 相似）
BG ： GE ＝ CG ： GF =2:1
BG ＝ 2 BE 且 CG ＝ 2 CF
3
3
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活動二：能證明三角形的三中線會交於一點與重心性質。
教學內容摘 要
主要問題與活動
三角形 三中線 交於一 點
1. 利用物理實驗瞭解重心意義，並由觀察發現 三角形三中線交點為重心，接下來用數學論 證去說明三中線會交於一點。
2. 在說明三角形三中線交於一點之前，先討論 與重心有關的中線長長度關係:：
說明