多自由度水平地震作用讲解

?集中质量法所带来的计算便利是显而易见的， 但是，对于动力问题，不适当地集中质量也可 能导致较大的计算误差。
?因此，对集中质量法应附加动能等效原则，即 集中前后体系的动能不发生显著变化。
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
?定义影响系数αij是由j坐标单位物理量在i坐标 方向上引起的力，其具体含义可以是刚度系数 、阻尼系数、质量等。
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
4.1 动力方程的建立
?实际工程结构的质量都是沿结构几何形状连续 分布的，因此，严格地说，其动力自由度应该 是无限的。
?但是，采用无限自由度模型，一方面计算过于 复杂；另一方面也没这种必要，因为，选用有 限多自由度模型的计算结果已能充分满足一般 工程设计的精度要求。
式中，[ M]、[ C]和[ K]—分别为结构离散体系的 质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵， 对于集中质量法，[ M]为对角矩阵；
{uj}、{u j}和{u j}—分别为结构离散体系的位移 向量、速度向量和加速度向量；
{P}—动外力向量。
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
?图示多自由度弹性体系在水平地震运动作用下 的变形情况。
?对于一般多自由度体系，假定任意时刻t，j坐 标方向的位移（相对于平衡位置）为uj，相应 的速度、加速度分别为u j 、u j。
?则在此时刻，所有j坐标处的物理量（包括i坐 标处）与相应于坐标i处的影响系数乘积之和即 为i坐标方向所受到的力，即：
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
?对于处于随遇平衡状态或不稳定状态的结构体 系，频率方程会出现等于零的重根或虚根。
?一般地，地震工程中遇到的结构体系多为稳定 体系。
即等于i坐标处作用的外力pi(t)，即：
n
? (miju??j ? ciju?j ? kij u j ) ? pi (i ? 1,2,? , n)
j?1
第三章 建筑结构抗震原理
(t)
m
惯
弹
?8/180
§4 多自由度体系地震反应分析
?全部n个坐标的运动方程可用矩阵形式表示为
[ M ]{u??} ? [ c]{u?} ? [ k ][ u] ? {P}
?因此，在研究和应用中，一般通过结构的离散 化方法，将无限自由度体系转化为有限自由度 体系。
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
?由结构动力学理论可知，结构离散化的基本方 法有广义坐标法、有限元法和集中质量法。
?集中质量法是最早提出、也是最简单的方法。 这一方法人为地将质量集中于一些点处，与之 相对应，结构的刚度特性、阻尼特性、荷载特 征则被集中于质量的平移自由度方向。
K]?
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?
2 [
M ]){? } ?
0
?根据线性代数的知识，特征方程存在非零解的
充要条件是系数行列式等于零，即得到频率方
程：
|[
K]? ?
2 [
M ] |?
0
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
?对于稳定结构体系，其质量矩阵和刚度矩阵具 有实对称性和正定性，所以，相应的频率方程 的根都是正实根。
式中，{I}—惯性力指示向量，{I} ? {1 , 1 , 1 , ? }T
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
4.2 地震反应分析的振型叠加法
1. 振型与自振频率 ?求解弹性体系的自振频率和振型称为自振特性
分析。 ?由于体系的固有频率和相应的振型都仅取决于
体系自身的性质，而与时间无关，所以从广义 的观点，自振特性分析的基本手段是变量分离 法，即把时间因素与结构位置因素分离后，利 用特征方程具有非零解的充分必要条件求取自 振频率及相应的振型。
?这时，体系上并无动外力p(t)作用，仅有地震
引起的地面运动?x?g (t)。 ui (t)
?此时，i质点的惯性力为：
f Ii ? mi (u??i ? ?x?g )
m
惯性力
fI (t)
m
弹性力
fS (t)
u1(t)
第三章 建筑结构抗震原理 (a)
阻尼力
fD ( t)
(b)
§4 多自由度体系地震反应分析
土木工程专业本科专业课
工程抗震原理
Principles of Seismic Engineering
主要内容
第一章 工程抗震基础知识 第二章 场地与地基基础抗震原理 第三章 建筑结构抗震原理 第六章 桥梁结构抗震原理 第七章 工程结构减震控制原理
工程结构抗震原理
第三章 建筑结构抗震原理
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第三章 建筑结构抗震原理
§1 概述 §2 单自由度体系地震反应分析 §3 单自由度体系水平地震作用 §4 多自由度体系地震反应分析 §5 地震分析振型分解反应谱法 §6 水平地震作用的底部剪力法 §7 考虑扭转的水平地震作用 §8 结构竖向地震作用 §9 建筑结构抗震验算 §10 结构自振周期和频率的实用计算方法 §11 工程结构地震反应的时程分析方法 §12 地基与结构动力相互作用效应
? ?惯性力： f Ii ? n miju??j j?1
n
? ?恢复力：fsi ? kiju j
j?1
?阻尼力:
n
? f Ii ? miju??j j?1
其中mij—质量，对于集 中质量法，i≠j时mij=0；
kij—刚度系数； n—动力自由度数;
cij—阻尼系数。
ui (t)
?根据达朗贝尔原理，上述各力之和
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
?无阻尼多自由度弹性体系的自由振动方程为：
[ M ]{u??} ? [ K ]{u} ? {0}
?设结构作简谐振动，其位移反应为：
{u} ? {?}sin(? t ? ? )
式中，ω—自振频率；θ—初始相位角;
{?}—仅与位置坐标有关的向量。
?可以得到特征方程： ([
?注意到弹性力和阻尼力仅与相对位移和相对速 度有关，因此，由达朗贝尔原理可得水平地震 运动作用下的运动方程为：
n
? [ mi (u??i ? x??g ) ? ciju?j ? uiju j ] ? 0 (i ? 1,2,? , n)
j?1
?写成矩阵形式为：
[ M ]{u??} ? [ C ]{u?} ? [ K ]{u} ? ? [ M ]{I}x??g