挠度分析

ql 3 ml 24EI 3 EI
wc wc ( q ) wc ( m )
A
A (q )
m A
C
B
wc (q)
5ql ml 384EI 16 EI
4
2
A (m)
C
wc ( m )
B
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例2：已知F、q、EI。求θc和wc。
F=qa A B
1 w 2 ( x ) 1 w


<<1
2
3
1 M ( x) ( x) EI z
M x w EI z
θ
p
A y
C w C p θ
B x
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O
M M
x
O
M M
x
y
M<0 w" > 0
y
M>0 w"< 0
M x w EI z
3 3 3
C ( F )
C
q
B
（ d）
C
wc1 (q)
c1 (q)
qa2/2 A B
（e）
c 2 (q )
Cw
c2
(q )
——这种叠加法又称为 逐段（级）刚化法。
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例3：求跨中挠度wc 。
解：采用逐段（级）刚化法
A C wc B
F
D a
wc wc1 wc 2
A3 A2
Fa 2 B 2 EI Fa 3 Fa 3 3Fa 3 B Ba 4 EI 2 EI 4 EI
M=Fa A wB
B a
B
2EI
C
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F
EI
A a B
2EI
a
C
累加得到总的结果：
A A1 A2 A3
θ p
A
y
C w C p θ
B x
1、挠度: 梁的截面形心在垂直于轴线方向的线位 移w。 w= w(x)——挠曲线方程(挠度方程)。向下为正.
2、转角：梁的截面绕中性轴转过的角度θ。
小变形时，θ≈tanθ=dw (x)/dx=w'(x)——转角方
程。顺时针为正。
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§4-8 梁的挠曲线近似微分方程
由微分方程和弯矩来几何分析挠曲线的大致形状。
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思考题1：画出梁的挠曲线大致形状：
M M
A
l
B
l
C
l
D
思考题2：画出梁的挠曲线大致形状：
4q A
l
4q B
l
C
l
D
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§4-10 用叠加法计算梁的挠度与转角
在线弹性范围内，可用叠加法计算梁
的变形：梁在多个荷载作用下产生的变形
w max
Fbl 2 0.0642 。 EI 9 3 EI
2
Fbl 2
F b C D B
Fbl Fbl wc 0.0625 。 16EI EI
A x
a
x
y
l
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线上没 有拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。
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总结：
C
q
B
（ d）
C
wc1 (q)
c1 (q)
2 AB变形，BC不变形（刚化）。
ml c 2 (q ) B (q ) 3EI 2 1 3 qa 2 a qa 2 3 EI 3 EI 4 qa wc 2 (q) B (q) a 3 EI
A
qa2/2
B
（e）
挠曲线的微分方程：E I w "= - M (x)
数学求解： EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M ( x )dx ]dx Cx D
C, D 由梁支座处的已知位移条件即位移边界条件确定。
常见简单梁在简单荷载作用下产生的挠度和转角可以查表。
例1：一悬臂梁在自由端受集中力作用，求梁的 转角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。 设梁的抗弯刚度为EI。
F
A l B
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解：
1 M ( x ) F ( l x )
o
F A l B x
2 EIw M ( x )
o
y
Fl Fx
积分： EIw' EI Flx Fx 2 2 C Flx 2 Fx 3 EIw Cx D 2 2 3 w 0 C 0 x 0: 边界条件: w0 D0
M x w EI z
—— 挠曲线近似微分方程
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§4-9 用积分法计算梁的挠度与转角
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C

EIw [ M ( x)dx ]dx Cx D
（转角或挠度）等于各个荷载单独作用所
产生的变形的代数和。
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例1：简支梁所受荷载如图示。用叠加法求梁中 点挠度和左端截面的转角。设梁抗弯刚度为EI。
m A
q B
C
l/2
l/2
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解:
A w
x 0
m A
q
C
l/2 q l/2
B
A( q ) A( m )
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第四章 弯曲变形
—— 梁的挠度计算
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§4-7
A y
梁的变形
θ
p C w C p θ B x
在平面弯曲情况下，梁的轴线在形心主惯性平 面内弯成一条平面曲线。此曲线称为梁的挠曲线。
当材料在弹性范围时，挠曲线也称为弹性曲线。
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y
2 o 梁的挠曲线微分方程为 ql qx 2 EIw x 2 2 ql x 2 qx3 积分 EIw C 2 2 2 3 ql x 3 qx4 EIw Cx D 2 2 3 2 3 4
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边界条件 x0: w 0 xl : w0
Fb（l b ）2 。 9 3EIl
l x 2
Fb（ 3l 2 4b 2 ） 。 48EI
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当F作用于梁中点C时，wmax wc。 当F右移至B点时，b 0，x0 0.577l。 wmax的位置距梁中点仅0.077l。
令
b2 0 ,
2
例2：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程 和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。 设梁的抗弯刚度为EI。
q A l B
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解:1°建立坐标系。求支座反力。列弯矩方程：
1 FAy FBy 2 ql
q A
2
B
ql qx M ( x) x 2 2
x
l
q
A
θA
l
wmax
θB
B
x
y
3 C ql 24 , D 0 得: ql 3 ql 2 q w x x3 24EI 4 EI 6 EI ql 3 ql q 3 w x x x4 24EI 12EI 24EI
5ql 4 wmax w x l 2 384EI ql 3 A x 0 B 24EI
q
C
a x
y
a
a
（a）
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1 求c ( F )、wc ( F )
o
F=qa A
q
B
C a x
C ( F ) B ( F )
F ( 2a )2 16EI
y
a
a
（ a）
qa3 4 EI
wC ( F ) B ( F ) a
A
F
Θc(F) wC(F) θB(F) C
Fb( l 2 b 2 ) Fb 3 F w2 x x ( x a )3 6 EIl 6 EIl 6 EI
当a b时，wmax 应在AD段。
A
F a C D x b B
0，x0 由w 1
l b 。 3
2 2
3
2
2
x
y
l
wmax w1
wc w1
x x0
B
（b）
qa4 4 EI
HOHAI UNIVERSITY q
A B
（ c）
q M=qa2/2
A B C
C
q
M=qa2/2
A B C
M=qa2/2
A B C
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2 求 c (q)、wc (q)
oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q
A B
（c）
1 AB不变形(刚化），BC变形。
ql 3 c1 (q ) 6 EI ql 4 wc1 (q ) 8 EI
AD : Fb( l 2 b 2 ) Fbx2 1 w1 6 EI 2 EIl
Fb( l 2 b 2 ) Fb 3 w1 x x 6 EIl 6 EIl
y
l
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DB :
Fb( l 2 b 2 ) Fb 2 F 2 w x ( x a ) 2 2 6 EIl 2 EIl 2 EI
Fa Fl 2 EA 48EI
3
l
F
A C
D a
wc1 wc2
l
B
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例3：一阶梯形悬臂梁，在左端受集中力作用。 试求左端的挠度。
F
EI
A B
2EI
a
a
C
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F
解：采用逐段刚化法
A
EI a F B
2EI
a C
1、令BC刚化，AB为
A 悬臂梁。 wA1 θA1
xl
ql 3 24EI
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例3：已知F、EI，求梁的转角方程和挠度方程 F 及wmax 。
a b
解:1°建立坐标系。 求支座反力。
FAy Fb , l FBy
A x
C D
B
x
y
l
Fa l
2°分段求出弯矩方程及w′、w。
AD : M( x ) Fbx , l Fb EIw1 x l
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Flx Fx 2 w EI 2 EI
F A θmax l B x wmax
Flx2 Fx 3 w 2 EI 6 EI
当 x = l 时：
y
max
Fl 2 w x l 2 EI
wmax
Fl w xl 3 EI
3
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Fb F EIw1 x a b l A Fb 2 C D EI 1 EIw1 x C1 2l x l Fb 3 y EIw 1 x C 1 x D1 6l Fb DB : M ( x ) x F( x a ) l Fb EIw x F( x a ) 2 l Fb 2 F 2 EIw EI x ( x a ) C2 2 2 2l 2
c 2 (q )
Cw
c2
(q )
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3 求 c、wc
o
F A B
（b）
C (F )
c c ( F ) c1(q) c 2 (q)
qa qa qa 4 EI 6 EI 3 EI qa3 4 EI wc wc ( F ) wc1 (q) wc 2 (q) qa4 qa4 qa4 4 EI 8 EI 3 EI 5 qa 4 24 EI
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件即位 移边界条件确定。
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EIw EI M ( x )dx C

EIw [ M ( x )dx ]dx Cx D
如：
p
边界条件： wA=0
B
A
wB=0
p
A
边界条件：
wA=0 θA=0
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B
F A wB B M=Fa C
2、令AB刚化，BC为 悬臂梁。
B
a
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F
Fa 2 A1 , 2 EI
Fa 3 A1 3EI
A wA1
EI
B
θA1
A2 B A2
Fa 4 EI
2
F A wB
B a
B
2EI
C
Fa 3 Fa 3 5Fa 3 B Ba 6 EI 4 EI 12EI
B
x
Fb 3 F EIw 2 x ( x a )3 C 2 x D2 6l 6
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F a A x b
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
C D
B
x
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2 由连续条件，得：C1= C2， D1= D2 再由边界条件，得：C1= C2= Fb（l2-b2）/ 6l D1=D2=0 因此，梁各段的转角方程和挠度方程为：