2008A题数码相机定位

数码相机定位

一．问题重述

数码相机定位在交通监管等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。

参照系统标定的方法建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标；设计一种方法检验建立的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

二．符号说明

1）ij r-------------------------------------------对应两点的距离

（i =1,2,3;j =1,2,3,4）2）u,v------------------------------------------------待定系数

3）i x，i y, i z，'i x，'i y，'i z--------------对应点的x，y，z坐标

(i=1,2,3)

4)

t，2t，3t------------------------------------------关系系数

1

5）R------------------------------------光学中心到像平面的距离

6）r ---------------------------------------两部相机之间的距离

三．模型假设

1.两部相机的型号相同即像距相等。

2.假设像平面在光学中心的正后方，即建立的二维坐标系原点在原三维坐标系的z轴上。

3.靶标可以认为是一个平面，并且是硬性物体，其上任意两点的距离不发生变化。

四．模型的建立及求解

问题一：

给出相机成像的原理参照图如下图（1）：

图（1）

对于第一个问题，我们需要建立一个模型来确定靶标上任意圆的圆心在像平面上的像坐标。系统标定的实际做法是在物平面上画若干个圆，由于物平面和像平面有存在着夹角，所以他们的像一般会变形，所以在像平面中我们难以确定一个不规则的图形的几何中心，并且几何中心所对应的实物并不一定是圆的圆心。

1、靶标和像的关系

我们知道，任意两个圆都存在公切线，当相机成像之后公切线仍然存在，并且这些切线也是相片上那些不规则图形的公切线。根据这个原理，我们在物平面

上画3个圆

O，2O，3O分别取他们之间的三条外公切线组成一个三角形ABC。

1

（如图2）。在像平面中我们也能通过软件给3个圆的成像做出3条公切线，这3条线组成的三角形就是ABC的像'''

A B C。（如图3）

图（2）

图（3）

2、在像平面建立二维坐标

我们采取直接在像平面上建立二维坐标的方式。首先，我们默认像平面为

一个有限的长方形，其分辨率1024×768可以当作平面的划分，并且用来标记坐标，我们把平面看成1024×768个小方格。把坐标原点设在长方形的中心，这样x ，y 坐标的范围就分别在（-512，512），（-384，384）。

3、确定像坐标与靶坐标上点的坐标之间的关系

我们知道，三个不共线的点可以确定一个平面。在图2中我们设'A ，'B ，

'C 在像平面上的坐标为'

'

'

11(,)A x y ，'

'

'

22(,)B x y ，'

'

'

33(,)

C x y 。

由于x-y 平面平行于像平面，建立的二维坐标系原点在原三维坐标系的z 轴上。

故我们可以知道',','A B C 在三维坐标系上的坐标''''111(,,)A x y z ，

'

'

'

'

222(,,)B x y z ，'

'

'

'

333(,,)C x y z 。

其中'''123z z z R ===，R 为像距（即三维坐标中心到二维平面的距离） 另外，在物平面上 设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，333(,,)C x y z 根据成像的原理，在三维坐标系中',','AOA BOB COC 则有关系：

'''i i i i i i

i

i i x t x y t y z t z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ (i =1,2,3) （1.1）

所以,,A B C 的坐标表示为'''111111(,,)A t x t y t z ，'''222222(,,)B t x t y t z ，

'

'

'

333333(,,)C t x t y t z 。

4、计算1t ，2t ，3t 的值

对于靶坐标，任何两点之间的距离都可以通过测量得出，设测得值 |A B |=12r |B C |=23r |A C |=13r

则有

)()()2222

121212122222

232323232222

1

3131313()()()()()()x x y y z z r x x y y z z r x x y y z z r ⎧-+-+-=⎪

⎪-+-+-=⎨⎪-+-+-=⎪⎩ (1.2) 此方程只有1t ，2t ，3t 三个未知数，所以能求得解。

5、靶标上任意圆圆心对应在像平面上的像坐标

根据以上得到的数据，给出靶标上任意圆的圆心D ，我们可以测量D 与

,,A B C

之间的距离来确定D 的坐标

设D 的坐标为D (,,)x y z ，D 到,,A B C 之间的距离分别为

||AD =14r ,||BD =24r ,||CD =34r

则有()()()2222

11114

2222

222242222

33334()()()()()()x x y y z z r x x y y z z r x x y y z z r ⎧-+-+-=⎪

⎪-+-+-=⎨⎪-+-+-=⎪⎩

（1.3）

此方程也只有,,x y z 三个未知数，所以能求得D 点坐标D (,,)x y z 。

'D 为D

在像平面上对应的点

根据的'D O D 共线关系可得'D 点的坐标为'D (,,)x y z t t t

而'D 在像平面上，故/z t R =,所以/t z R =

所以'D 的坐标就确定了'D

,,)x y R R R z z （

（其中x ，y ，z 是与i x ，i y ，i z 有关的常数，i =1，2，3）

问题二：

我们来解决实际问题。我们用AutoCAD 打开题目给出的照片文件，然后我们把相片上的不规则图形按椭圆拟合在通过CAD 上的捕捉切点的功能分别找到3条公切线，并设这3条公切线的交点为'M ,'N ,'Q ，如图（4）: