对数函数的性质及其应用

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[针对训练] 5．求函数 y＝log13(－x2＋4x－3)的值域． [解] 由－x2＋4x－3>0，解得 1<x<3，∴函数的定义域是 (1,3)． 设 u＝－x2＋4x－3(1<x<3)，则 u＝－(x－2)2＋1. ∵1<x<3，∴0<u≤1，则 y≥0，即函数的值域是[0，＋∞)．
第四章 4.4 第2课时
课标A23>log22＝1＝log55>log54， ∴log23>log54.
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题型二 求解对数不等式
【典例 2】 (1)已知 loga12>1，求 a 的取值范围；
(2)已知 log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求 x 的取值范围．
∴x∈(－1,0]时，y＝ (1－x2)是减函数；
当 x∈[0,1)时，y＝ (1－x2)是增函数．
故函数 y＝ 减区间为(－1,0].
(1－x2)的单调增区间为[0,1)，函数的单调递
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题型四 与对数函数有关的值域问题 【典例 4】 求下列函数的值域： (1)y＝log2(|x|＋4)； (2)f(x)＝log2(－x2－4x＋12)． [思路导引] 求出真数的范围，利用对数函数的单调性求解． [解] (1)因为|x|＋4≥4，所以 log2(|x|＋4)≥log24＝2，所以函 数的值域为[2，＋∞)． (2)因为－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，所以 0<－x2－4x ＋12≤16，故 log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，函数的值域为(－ ∞，4]．
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2．对称关系 (1)函数 y＝ 与 y＝logax 的图象关于___x__轴____对称． (2)函数 y＝ax 与 y＝logax 的图象关于直线_y_＝__x___对称． 3．反函数 指数函数____y_＝__a_x_(a_>_0_，__且___a_≠_1_)____和对数函数 _____y_＝__l_o_g_ax_(_a_>_0_，__且__a_≠__1_) __互为反函数．
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[针对训练] 1．比较下列各题中两个值的大小： (1)lg6，lg8；(2)log0.56，log0.54；
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[解] (1)因为函数 y＝lgx 在(0，＋∞)上是增函数，且 6<8， 所以 lg6<lg8.
(2)因为函数 y＝log0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且 6>4，所 以 log0.56<log0.54.
得65<x<3.
[答案] D
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3．已知 loga(3a－1)恒为正，求 a 的取值范围． [解] 由题意知 loga(3a－1)>0＝loga1. 当 a>1 时，y＝logax 是增函数， ∴33aa－ －11>>10， ， 解得 a>23， ∴a>1； 当 0<a<1 时，y＝logax 是减函数，
当 log2x＝1 时，ymax＝2.
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课堂归纳小结 1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是 对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要 分 a>1 和 0<a<1 两类进行讨论. 2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原 则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
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6．求函数 y＝log2(2x)·log2x12≤x≤2的最大值和最小值．
[解]
y＝log2(2x)·log2x＝(1＋log2x)·log2x＝log2x＋
122－14.
∵12≤x≤2，即－1≤log2x≤1，
∴当 log2x＝－12时，ymin＝－14；
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(3)因为函数 y＝log3x 是增函数，且 π>3，所以 log3π>log33＝ 1.
因为函数 y＝logπx 是增函数，且 π>3， 所以 logπ3<logππ＝1. 所以 log3π>logπ3. (4)当 a>1 时，函数 y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数，又 3.1<5.2，所以 loga3.1<loga5.2； 当 0<a<1 时，函数 y＝logax 在(0，＋∞)上是减函数，又 3.1<5.2，所以 loga3.1>loga5.2.
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求对数型函数单调区间的方法 (1)求形如 y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优 先意识，即由 f(x)>0，先求定义域． (2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；② 借助函数的性质，研究函数 t＝f(x)和 y＝logat 在定义域上的单调 性，利用“同增异减”的结论，从而判定 y＝logaf(x)的单调性．
得 2x－x>10>，0， 2x>x－1，
解得 x>1.
∴x 的取值范围是(1，＋∞)．
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常见对数不等式的 2 种解法 (1)形如 logax>logab 的不等式，借助 y＝logax 的单调性求解， 如果 a 的取值不确定，需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论． (2)形如 logax>b 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数式 的形式，再借助 y＝logax 的单调性求解.
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[针对训练]
4．求函数 y＝ (1－x2)的单调区间． [解] 要使 y＝ (1－x2)有意义，则 1－x2>0， ∴x2<1，则－1<x<1，因此函数的定义域为(－1,1)． 令 t＝1－x2，x∈(－1,1)．
当 x∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y＝ t 减小，
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2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝log0.2x 的图象与函数 y＝－log0.2x 的图象关于 y 轴对称．( ) (2)若 0<a<1，b>1，则 logab<0.( ) (3)函数 y＝log3x 与 y＝3x 互为反函数．( ) (4)若 logax>logbx，则 a>b.( )
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[变式] 若本例(2)函数改为“f(x)＝ [2,4]”，如何求解？
－3 x，x∈
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[解] 令 t＝ x， 则 y＝t2－3t＝t－322－94， ∵2≤x≤4， 即－2≤t≤－1. 可知 y＝t－322－94在[－2，－1]上单调递减． ∴当 t＝－2 时，y 取最大值为 10； 当 t＝－1 时，y 取最小值为 4. ∴原函数的值域为[4,10]．
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比较对数值大小时常用的 4 种方法 (1)同底的利用对数函数的单调性，如典例 1(1)． (2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化，如典例 1(2)． (3)底数和真数都不同，找中间量，如典例 1(3)． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影 响，对底数进行分类讨论，如典例 1(4)．
1．掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方 法．
2．会解简单的对数不等式． 3．掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法． 4．了解反函数的概念及它们的图象特点．
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1．对数函数值的符号规律 (1)a>1 时，当 x>1 时，___y_>_0__；当 0<x<1 时，__y_<_0__. (2)0<a<1 时，当 0<x<1 时，__y_>_0_；当 x>1 时，__y_<_0__. 可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指 同大于 1 或同小于 1，“异”指一个大于 1 一个小于 1.
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∴33aa－－11<>10，， 解得13<a<23. ∴13<a<23. 综上所述，a 的取值范围是13，23∪(1，＋∞).
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题型三 形如 y＝logaf(x)的函数的单调性 【典例 3】 求函数 y＝log0.7(x2－3x＋2)的单调区间． [思路导引] 先求定义域，再根据复合函数的单调性求解． [解] 因为 x2－3x＋2>0，所以 x<1 或 x>2.所以函数的定义域 为(－∞，1)∪(2，＋∞)，令 t＝x2－3x＋2，则 y＝log0.7t，显然 y ＝log0.7t 在(0，＋∞)上是单调递减的，而 t＝x2－3x＋2 在(－∞， 1)，(2，＋∞)上分别是单调递减和单调递增的，所以函数 y＝ log0.7(x2－3x＋2)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(2， ＋∞)．
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请做：随堂巩固验收
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[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
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课堂互动探究
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题型一 比较对数值的大小 【典例 1】 比较下列各组中两个值的大小： (1)ln0.3，ln2； (2)log30.2，log40.2； (3)log3π，logπ3； (4)loga3.1，loga5.2(a>0，且 a≠1)． [思路导引] 利用对数单调性比较大小．
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1．函数 y＝ax 与 y＝logax 中，它们的定义域、值域、单调性 有何关系？
[答案] 指数函数 y＝ax 的定义域 R 是函数 y＝logax 的值域， 函数 y＝ax 的值域是函数 y＝logax 的定义域，且 a>1 时，y＝ax 与 y＝logax 均为增函数，0<a<1 时均为减函数
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[针对训练]
2．不等式 log2(2x＋3)>log2(5x－6)的解集为( )
A．(－∞，3)
B.－32，3
C.－32，65
D.65，3
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[解析]
2x＋3>0， 由5x－6>0，
2x＋3>5x－6，
[解]
(1)由
1 loga2>1
得
1 loga2>logaa.
①当 a>1 时，有 a<12，此时无解．
②当 0<a<1 时，有12<a，从而12<a<1.
∴a 的取值范围是12，1.
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(2)∵函数 y＝log0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由 log0.72x<log0.7(x－1)
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第
四
指数函数与对数函数
章
第四章 指数函数与对数函数
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4.4
对数函数
第四章 4.4 第2课时
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第 2 课时
对数函数的性质及其应用
第四章 4.4 第2课时
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课前自主预习
第四章 4.4 第2课时
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第四章 4.4 第2课时
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对数型函数值域的求解技巧 (1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真 数的取值范围求解． (2)形如 y＝logaf(x)，y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c 型的函数值域求解 常用换元法、配方法等解题技巧．
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[解] (1)因为函数 y＝lnx 是增函数，且 0.3<2， 所以 ln0.3<ln2.
第四章 4.4 第2课时
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(2)解法一：因为
0>log0.23>log0.24
，所
以log10.23<
1 log0.24
，
即
log30.2<log40.2.
解法二：如图所示， 由图可知 log40.2>log30.2.