单边拉普拉斯变换的性质

信号与系统
第22讲 单边拉普拉斯变换的性质
单边拉普拉斯变换的性质
线性性质 时移性质 尺度变换性质 复频移特性 时域微分特性 时域积分特性 S域微分特性 S域积分特性 卷积定理 初值定理和终值定理
利用常用信号 的拉普拉斯变换对 和拉普拉斯变换的 性质，可以求解复 杂信号的拉氏变换 和反变换.
e t sin 0t
0 ( s )2 02
5.时域微分特性
df (t ) jF ( j )
dt
如果： f (t) F(s)
则：
df (t )
dt
sF (s) f (0 )
证明： L
df (t ) dt
f (t )e st dt
0
f (t )e st
s
f (t )e st dt
1
s j0
s
s2
2 0
2.时移特性
f (t t0 ) e j t0 F ( j )
如果： f (t) F(s) 则： f (t t0 ) (t t0 ) es t0 F (s)
其中： 实数 t0 0
2.时移特性的证明
证明：L f (t t0) (t t0)
0
f
(t
t0 ) (t
1.线性性质
如果： f1(t) F1(s) f2 (t) F2 (s) 则： c1 f1(t ) c2 f2 (t ) c1F1(s) c2F2 (s)
其中：c1,c2为任意复常数
例1：
f (t ) cos(0t )
1 (e j0t e j0t ) 2
F (s)
1 2
1
s j0
j
如果： f (t) F(s)
则：
t
f ( )d
若 f(t)为因果信号：
F (s) 1 0 f ( )d
s
s
t
则：
f ( )d
F (s) s
6.时域积分特性应用
例8
t 2 (t ) ?
t
【解】
( )d t (t )
t (t ) 1
s2
t ( )d 1 t 2 (t )
t0 ) estdt
令 t t0
t0
f
(t
t0 ) estdt
f ( )es +t0 d 0
则有 t 0
=est0 f ( )es d est0 F (s) 0
2.时移特性的应用
f (t t0 ) (t t0 ) es t0 F (s)
例2
1 t s2
t t0
0
0
sF ( s) f (0 )
5.时域微分特性
一般的： y(t) s2Y (s) sy(0 ) y(0 )
dn y(t) dt n
snY
(s)
s n 1
y(0
)
y(n1) (0 )
若f(t)为因果信号，则：
f (t) sF (s)
dn f (t) dt n
sn F (s)
5.时域微分特性的应用
(t t0 ) (t t0 )
1 est0 s2
f3 (t )
f4 (t )
t t0
t0
t
只有完整波形的移动，才可直接
利用时移特性。
对于单边有始周期信号 f(t)
f (t )
f1 (t )
延时特性的典型应用是求 有始周期信号的单边拉普 拉斯变换
t
T
2T 3T
如果： f1(t) F1(s)
故有
F
s
F1
s
1
1 e
sT
3.尺度变换特性
f ( t ) 1 F ( j )
为 非0实 数
如果： f (t) F(s)
则：
f ( t ) 1 F ( s )
其中： 实数 0
3.尺度和时移特性
f ( t b)
1
wk.baidu.com
e
j
b a
F
(
j
)
为非0实数
如果： f (t) F(s)
则： f ( t t0 ) ( t t0 ) 其中： 实数 0
则：
1 f (t) 1 esT
F1 ( s )
f (t) f1(t)+f1(t T) (t T) f1(t 2T)(t 2T) L
若 f1 t F1 s ，则根据延时特性，则
F s F1 s F1 sesT F1 s e2sT L
F1 s 1 esT e2sT L
L L F1 s f1(t)
t
t0
1 s2
t0 s
f1(t)
f2 (t )
F2 s
L t
t0 (t)
F1 s
1 s2
t0 s
L F3 s
f3 (t )
0
t
(t
t0 )
est dt
t estdt
t0
t0
t
t t0
t0 est0 1 est0
s
s2
L L F4 s
f4 (t)
1
t0 s
e
F
s
4.复频移特性
f (t ) e j0t F j( 0 )
如果： f (t) F(s)
则：f (t ) es0 t F (s s0 ) 其中s0为复常数
例5：求 e t cos0t 的拉氏变换同理：
cos(0t)
s
s2 02
t
cos 0t
s
(s
)2
2 0
利用时移特性，则 L f (t) F2(s) 1 2es e2s (1 es )2
根据时域微分性质， F2(s) s2F(s) (1 es )2
则
f (t) 的拉氏变换为 L
f (t) F(s)
1 s2
(1 es )2
6.时域积分特性
t
f ( )d
1 F ( j ) F (0) ( )
1 es t0 s2
(t t0 ) (t t0 )
例3 f (t ) et (t 2) e e 2 ( t 2) (t 2)
F ( s) e 2 e 2s s1
2.时移特性应用 例
4
利用 t
(t)
1 s2
，计算
f1(t)
t
t0
，f2 (t)
t
t0
(t)
，
f3(t) t (t t0) ， f4(t) (t t0) (t t0) 的拉氏变换。
2
t 2 (t ) 2
s3
推广之
tn (t)
n! sn1
7. S域微分特性
tn
f
(t)
(
j)n
d
nF ( j) d n
如果： 则：
推而广之
f (t) F(s)
tf (t) dF(s) ds
t n
f
(t)
dnF(s) dsn
8. S域积分特性
f (0) (t) 1 f (t) 1
例6
s cos(0t) (t) s2 02
(1)
d dt
cos(0t )
(t)
s s s2 02 0
s2
s2
02
(2)
d dt
cos(0t
)
s s s2 02 1
02 s2 02
5.时域微分特性的应用
例 7：首先对 f (t) 求二次导，得到 f (t) (t) 2 (t 1) (t 2)