人教版 九年级数学讲义 圆的综合应用(含解析)

第14讲圆的综合应用
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初三，基础一般
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要复习与圆有关的性质、定理及其推论，着重复习圆心角、弧、弦的关系，理解圆周角与圆心角的关系，作为圆的重点内容之一，垂径定理及其推论以及与圆有关的位置关系需要重点掌握，最后复习切线的性质与判定以及多边形与圆的关系。

圆作为中考的重点难点内容之一，需要各位同学认真学习，扎实基础，务必对圆的性质、定理及其推论有着比较清晰的理解。

知识梳理
讲解用时：15分钟
圆心角、弧、弦的关系
（1）定理
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
（2）推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本
定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧；
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等；①所对的弧相
等；①所对的弦相等；三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。

正多边形与圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n （n 是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。

（2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； ①正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径； ①中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； ①边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． （3）正多边形的有关计算公式
①多边形内角和定理：（n ﹣2）•180°（n≥3且n 为整数） ①多边形的外角和等于360° ③正多边形内角等于n n ︒⨯-180)2(
A
B
C O
课堂精讲精练
【例题1】
如图，已知①O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，如果OE=BE，那么弦CD所对的圆心角是度。

【答案】120
【解析】此题考查圆心角、弧、弦的关系，
连接OC，BC，OD，
①直径AB平分弦CD，OE=BE，
①OC=BC=OB，
①①OCB是等边三角形，
①①COB=60°，
①①COD=120°，
即弦CD所对的圆心角是120°
讲解用时：3分钟
解题思路：连接OC，BC，OD，利用等边三角形的判定得出①OCB是等边三角形，进而得出①COB=60°，进而解答即可
教学建议：关键是根据等边三角形的判定得出①OCB是等边三角形。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：静安区二模年份：2018 【练习1】
如图，在△ABC中，∠A=70°，圆O截△ABC的三边所得的弦长都
相等，求∠BOC的度数。

【答案】125°
【解析】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理、角平分线的逆定理及三角形的内角和，
作OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥AC，
A B
C O E F
G ①O 截△ABC 的三边所得的弦长都相等，
①OE=OF=OG ，
①OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，
①∠A=70°，①∠ABC+∠ACB=110°，
①∠OBC+∠OCB=21（∠ABC+∠ACB ）=55°， ①∠BOC=180°-55°=125°．
讲解用时：5分钟 解题思路：作OE ⊥AB 、OF ⊥BC 、OG ⊥AC ，则OE=OF=OG ，①OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-2
1（∠ABC+∠ACB ）=180°-︒⨯1102
1=125°． 教学建议：注意根据题意作出图形是关键。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018
【例题2】
如图，在①O 中，OA①BC 于E ，①AOB=50°，则①ADC 的大小是（ ）。

A ．25°
B ．30°
C ．40°
D ．50°
【答案】A
【解析】本题主要考查圆周角定理和垂径定理，
连接OB ，
①OA①BC 于E ，
①，①①ADC=①AOB ，
①①AOB=50°，①①ADC=25°．
故选：A ．
讲解用时：3分钟 解题思路：首先连接OB ，根据题意即可推出①ADC=①AOB ，即可求出①ADC 的大小。

教学建议：本题关键在于求证。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：高碑店市一模 年份：2018
【练习2】
如图，①O中OA①BC，①CDA=25°，则①OBC的度数为。

【答案】40°
【解析】本题考查了圆周角定理、垂径定理，
①OA①BC，①=，
①①AOB=2①CDA=2×25°=50°，
①①OBC=90°﹣50°=40°．
讲解用时：2分钟
解题思路：先根据垂径定理由OA①BC得到=，再根据圆周角定理得①AOB=2①CDA=50°，然后利用互余求①OBC的度数。

教学建议：本题关键在于求证。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：天心区校级模拟年份：2018
【例题3】
如图，①O中，直径CD=10cm，弦AB①CD于点M，OM：MD=3：2，则AB的长是（）。

A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】D
【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理，
连接OA，如图所示：
①AB①CD，
①①OMA=90°，AM=BM=AB，
①CD=10cm，OM：MD=3：2，
①OA=OD=5cm，OM=3cm，
①AM===4（cm），
①AB=2AM=8cm．
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：连接OA，由垂径定理得出AM=BM=AB，由已知条件得出OA=OD=5cm，OM=3cm，由勾股定理求出AM，即可得出结果。

教学建议：熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出AM是解决问题的突破口。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：秦淮区期末年份：2017秋【练习3】
如图，CD是①O的直径，弦AB①CD，垂足为M，若AB=12，CM：MD=9：4，则①O的半径为（）
A．6.5 B．10C．13D．
【答案】A
【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理，
连接OA，
①CD为①O的直径，弦AB①CD，①AM=AB=6，
①CM：MD=9：4，①设CM=9x，DM=4x，
①OA=OD=6.5x，①OM=2.5x，
在Rt①AOM中，①OA2=AM2+OM2，
①（6.5x）2=62+（2.5）2，解得x=1或﹣1（舍弃），
①①O的半径为6.5，
故选：A．
讲解用时：3分钟
解题思路：接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设CM=9x，DM=4x，得到OA=OD=6.5x，根据勾股定理求出x即可。

教学建议：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：北仑区期末年份：2017秋
【例题4】
如图，已知PA、PB是①O的切线，A、B为切点，AC是①O的直径，①P=40°，则①BAC的大小是（）。

A．70° B．40°C．50° D．20°
【答案】D
【解析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形内角和定理，
连接BC，OB，
①PA、PB是①O的切线，A、B为切点，
①①OAP=①OBP=90°；
而①P=40°（已知），
①①AOB=180°﹣①P=140°，
①①BOC=40°，
①①BAC=①BOC=20°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：连接BC，OB，四边形内角和定理和切线的性质求得圆心角①AOB=140°，进而求得①BOC的度数；然后根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”可以求得①BAC=①BOC。

教学建议：见切线，连交点，作垂直。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：重庆模拟年份：2018 【练习4】
如图所示，PM切①O于点A，PO交①O于点B，点E为圆上一点，
若BE①AO，①EAO=30°，若①O的半径为1，则AP的长为。

【答案】
【解析】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及勾股定理等知识点，
①BE①AO，①EAO=30°，
①①E=①OAE=30°，
①①AOP=2①E=60°，
①PM切①O于点A，
①①OAP=90°，PO=2，
①由勾股定理得AP=
讲解用时：4分钟
解题思路：根据平行线性质求出①E，根据圆周角定理求出①AOP=60°，然后求解30°特殊角的直角三角形即可。

教学建议：求出①AOP=60°和①PAO=90°是解此题的关键。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：鞍山一模年份：2018 【例题5】
如图，①O的内接正六边形的面积为6cm2，则①O的周长为（）
A．πcm B．B2πcm C．4πcm D．8πcm
【答案】C
【解析】此题主要考查了正六边形的性质以及等边三角形的
性质，
连接OA，OB，过点O作OE①AB于点E，
①①O的内接正六边形的面积为6cm2，
①等边①AOB的面积为：，
①OE①AB，
①AE=BE，①BOE=30°，
设BE=x，则BO=2x，EO=x，
故×x×2x=，解得：x=1，
则BO=2cm，
故①O的周长为2π×2=4π（cm）．
故选：C．
讲解用时：5分钟
解题思路：直接利用正六边形的性质进而利用等边三角形的性质得出答案。

教学建议：正确得出①AOB 是等边三角形是解题关键。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：贵阳模拟 年份：2018
【练习5】
如图，①ABC 和①DEF 分别是①O 的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（ ）。

A ．4
B ．2
C ．3
D ．2
【答案】A
【解析】本题考查了正多边形面积、勾股定理、垂径定理与直角三角形的性质， 过点O 作ON①BC 垂足为N ，交DE 于点M ，连接OB ，则O ，D ，B 三点一定共线，
设OM=1，则OD=ON=2，
①①ODM=①OBN=30°，
①OB=4，DM=3，DE=23，BN=23，BC=43，
①S ①ABC =2
1×43×6=123， ①S ①DEF =2
1×23×3=33， ①=4333
12 ，故选：A ．
讲解用时：8分钟
解题思路：过点O 作ON①BC 垂足为N ，交DE 于点M ，连接OB ，则O ，D ，B 三点一定共线，设OM=1，则OD=ON=2，再求得DE ，BC 的长，根据三角形的面积公式即可得出①DEF 和①ABC 的面积。

教学建议：明确边心距半径边长的一半正好组成直角三角形是解题的关键。

难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：河北模拟 年份：2018
【例题6】
如图所示，AB 是①O 的直径，AD 与①O 相切于点A ，DE 与①O 相
切于点E ，点C 为DE 延长线上一点，且CE=CB 。

（1）求证：BC为①O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长。

【答案】
（1）证明：连接OE，OC；如图所示：
①DE与①O相切于点E①①OEC=90°，
在①OBC和①OEC中，，
①①OBC①①OEC（SSS），
①①OBC=①OEC=90°，
①BC为①O的切线；
（2）CE=4
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及切线的判定与性质，（1）证明：连接OE，OC；如图所示：
①DE与①O相切于点E①①OEC=90°，
在①OBC和①OEC中，，
①①OBC①①OEC（SSS），
①①OBC=①OEC=90°，
①BC为①O的切线；
（2）过点D作DF①BC于F；如图所示：设CE=x
①CE，CB为①O切线，①CB=CE=x，
①DE，DA为①O切线，
①DE=DA=1，①DC=x+1，
①①DAB=①ABC=①DFB=90°，
①四边形ADFB为矩形，
①DF=AB=4 BF=AD=1，①FC=x﹣1，
在Rt①CDF中，根据勾股定理得：
（x+1）2﹣（x﹣1）2=16，解得：x=4，
①CE=4．
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）由切线得出①OEC=90°，证明①OBC①①OEC，得出①OBC=①OEC=90°，证出BC为①O的切线；（2）作辅助线求出DF=AB=4，BF=AD=1，设CE=x，Rt①CDF中，根据勾股定理得：（x+1）2﹣（x﹣1）2=16，得出x=4即可。

教学建议：根据切线的性质利用勾股定理计算是解决问题的关键。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：锡山区校级一模年份：2018 【练习6】
已知如图，以Rt①ABC的AC边为直径作①O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF①AB交BC于点F，连接EF。

（1）求证：OF①CE
（2）求证：EF是①O的切线；
（3）若①O的半径为3，①EAC=60°，求AD的长。

【答案】
（1）连接CE，
①AC是①O的直径，①CE①AE，
①OF①AB，①OF①CE
（2）①OF①CE，①OF所在直线垂直平分CE，
①FC=FE，OE=OC，
①①FEC=①FCE，①OEC=①0CE，
①①ACB=90°，即：①OCE+①FCE=90°，
①①OEC+①FEC=90°，
即：①FEO=90°，①FE为①O的切线；
（3）AD=3
【解析】本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，
证明：（1）如图，连接CE，
①AC是①O的直径，①CE①AE，
①OF①AB，①OF①CE
（2）①OF①CE，①OF所在直线垂直平分CE，
①FC=FE，OE=OC，
①①FEC=①FCE，①OEC=①0CE，
①①ACB=90°，即：①OCE+①FCE=90°，
①①OEC+①FEC=90°，
即：①FEO=90°，①FE为①O的切线；
（3）如图，①①O的半径为3，①AO=CO=EO=3，
①①EAC=60°，OA=OE，
①①EOA=60°，①①COD=①EOA=60°，
①在Rt①OCD中，①COD=60°，OC=3，
①CD=3，
①在Rt①ACD中，①ACD=90°，
CD=3，AC=6，
①AD=3．
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）由于AC是①O的直径，得出CE①AE，根据OF①AB，得出OF①CE；（2）得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由①ACB=90°，即可得到结论；（3）证出①AOE是等边三角形，得到①EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果。

教学建议：熟练掌握定理是解题的关键。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：黄冈模拟年份：2018
【例题7】
如图，AB为①O的直径，点C在①O上，点D为的中点，过点D作EF①BC，EF交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F。

（1）求证：EF为①O的切线；
（2）若OG①AD，BG平分①ABC，试判断：①①BDG的形状；
①线段AD与BD的数量关系，并说明理由。

【答案】
（1）证明：连接OD．
①=，①OD①BC，
①BC①EF，①EF①OD，
①EF是①O的切线．
（2）①①BDG是等腰直角三角形；①AD=2BD
【解析】本题考查切线的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、圆周角定理、垂径定理等知识，
（1）证明：连接OD．
①=，①OD①BC，
①BC①EF，①EF①OD，
①EF是①O的切线．
（2）解：①①BDG是等腰直角三角形；
理由：①AB是直径，
①①ACB=①ADB=90°，
①①CAB+①ABC=90°，
①=，
①GA平分①BAC，GB平分①ABC，
①①GAB+①GBA=45°，
①①BGD=45°，
①①BDG是等腰直角三角形，
①结论：AD=2BD．
理由：①OG①AD，
①AG=GD，
①①BDG是等腰直角三角形，
①DG=DB，①AD=2BD．
讲解用时：12分钟
解题思路：（1）欲证明EF的切线，只要证明OD①EF；（2）①①BDG是等腰直
角三角形；①线段AD=2BD；只要证明①BGD=45°，①BDG=90°即可解决问题。

教学建议：解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：泸县模拟年份：2018 【练习7】
如图，已知①ABC内接于①O，AB是直径，OD①AC，AD=OC。

（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；
（2）探究：
①当①B=30°时，四边形OCAD是菱形；
①当①B满足什么条件时，AD与①O相切？请说明理由。

【答案】
（1）①OA=OC，AD=OC，①OA=AD，
①①OAC=①OCA，①AOD=①ADO，
①OD①AC，①①OAC=①AOD，
①①OAC=①OCA=①AOD=①ADO，
①①AOC=①OAD，①OC①AD，
①四边形OCAD是平行四边形；
（2）①①B=30°；①①B=45°
【解析】本题考查了切线的性质、菱形的性质、平行四边形的判定、圆周角定理，
（1）①OA=OC，AD=OC，①OA=AD，
①①OAC=①OCA，①AOD=①ADO，
①OD①AC，①①OAC=①AOD，
①①OAC=①OCA=①AOD=①ADO，
①①AOC=①OAD，①OC①AD，
①四边形OCAD是平行四边形；
（2）①①四边形OCAD是菱形，①OC=AC，
又①OC=OA，①OC=OA=AC，
①①AOC=60°，①①B=①AOC=30°；
①①AD与①O相切，①①OAD=90°，
①AD①OC，①①AOC=90°，
①①B=①AOC=45°
讲解用时：12分钟
解题思路：（1）根据已知条件求得①OAC=①OCA=①AOD=①ADO，然后根据三角形内角和定理得出①AOC=①OAD，从而证得OC①AD，即可证得结论；（2）①若四边形OCAD是菱形，则AC=OC，从而证得OC=OA=AC，得出①AOC=60°，即可求得①B=①AOC=30°；①若AD与①O相切，根据切线的性质得出①OAD=90°，根据AD①OC，内错角相等得出①AOC=90°，从而求得①B=①AOC=45°。

教学建议：熟练掌握性质定理是解题的关键。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：内乡县一模年份：2018
课后作业
【作业1】
如图，AD是①O的切线，切点为A，AC是①O的直径，CD交①O于点
B，连接OB，若的度数为70°，则①D的大小为（）
A．70°B．60° C．55°D．35°
【答案】C
【解析】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及弧、圆心角、圆周角之间的关系，
①AD是①O的切线，切点为A，AC是①O的直径，
①AD①AC，即①A=90°，
①的度数为70°，①①AOB=70°，
①①C与①AOB都对，
①①C=①AOB=35°，
在Rt①ACD中，①C=35°，①①D=55°，
故选：C．
讲解用时：4分钟
难度：3 适应场景：练习题例题来源：长春模拟年份：2018 【作业2】
如图，AB与①O相切于点C，OA=OB，①O的直径为8cm，AB=10cm，
求OA长。

【答案】（cm）
【解析】此题主要考查了切线的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，连接OC，
①AB与①O相切于点C，
①OC①AB，
①OA=OB，
①AC=BC=5，
在Rt①AOC中，
OA===（cm）
讲解用时：3分钟
难度：3 适应场景：练习题例题来源：顺德区模拟年份：2018 【作业3】
如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，
BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为
直径的圆恰好相切，那么AE=。

【答案】6﹣
【解析】本题考查切线的性质、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，如图，设①O与EF相切于M，连接EB，作EH①BC于H．
由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，
由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，
①B、F关于EH对称，
①HF=BH=x，ED=EM=8﹣x，FC=FM=8﹣2x，EF=16﹣3x，
在Rt①EFH中，①EF2=EH2+HF2，
①42+x2=（16﹣3x）2，解得x=6﹣或6+（舍弃），
①AE=6﹣
讲解用时：10分钟
难度：4 适应场景：练习题例题来源：成华区模拟年份：2018。