高考数学 高频考点归类分析 应用线性规划求最值(真题为例)

典型例题：

例1. （2012年天津市理5分）已知函数2|1|

=1

x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数

k 的取值范围是 ▲ .

【答案】(0,1)

(1,4)。

【考点】函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点。 【分析】函数1

)

1)(1(1

12-+-=

--=

x x x x x y ，

当1>x 时，11112+=+=--=

x x x x y ，

当1

⎨

⎧-<+<≤---=+-=--=

1,11

1,1111

2x x x x x x x y ， 综上函数⎪

⎩⎪

⎨⎧-<+<≤---≥+=--=

1

,111,11

111

2x x x x x x x x y ，。 作出函数的图象，要使函数y 与kx y =有两个不同的交点，则直线kx y =必须在蓝色或黄色区

域内，如图，此时当直线经过黄色区域时)2,1(B ，k 满足21<

(1,4)。

例2. （2012年陕西省理5分）设函数ln ,0

()21,0

x x f x x x >⎧=⎨

--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线

在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 ▲ . 【答案】2。

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，简单线性规划。 【解析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D ，利用线性规划的方法求出目标函数z 的最大值即可：

∵1

,0

()2,0

x y f x x x ⎧>⎪'==⎨⎪-≤⎩，(1)1f '=，

∴曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x 。

∴由x 轴和曲线()y f x =及1y

x 围成的封闭区域为三角形。2z x y =-在点(0,1)处取得

最大值2。

例3. （2012年四川省理5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、

B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶

乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是【 】 A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C 。

【考点】线性规划的应用。

【解析】]设公司每天生产甲种产品X 桶，乙种产品Y 桶，公司共可获得 利润为Z 元/天，则由已知，得

Z=300X+400Y ，且⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0

0122122Y X Y X Y X

画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y 可变形为

Y=400

z

x 43+

-

这是随Z 变化的一族平行直线， 解方程组⎩

⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2得x 4

y 4=⎧⎨=⎩，即A （4,4） 。

∴max 120016002800Z =+=。故选C 。

例4.（2012年山东省理5分）若x,y 满足约束条件：x 2y 2

2x y 44x y 1+≥⎧⎪

+≤⎨⎪-≥-⎩，

则目标函数z=3x y -的取值范围是【 】 A 263⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ，

B 213⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ ，

C []16- ，

D 362⎡

⎤-⎢⎥⎣

⎦ ， 【答案】A 。 【考点】线性规划。

【解析】如图，作出可行域，直线3x y 0-=，

将直线平移至点（2，0）处有最大值：max z =320=6⋅-，

将直线平移至点1

(, 3)2处有最小值：min 13z =33=22⋅--。

∴目标函数z=3x y -的取值范围是263⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

，。故选A 。 例5.（2012年广东省理5分）已知变量x ，y 满足约束条件2

11y x y x y ≤⎧⎪

+≥⎨⎪-≤⎩

，则z =3x +y 的最大值为【 】

A ．12

B ．11

C ．3

D ．1- 【答案】B 。

【考点】简单线性规划。

【解析】如图，作出变量x ，y 约束条件211y x y x y ≤⎧⎪

+≥⎨⎪-≤⎩

的可行域，

解2

1y x y =⎧⎨

-=⎩

得最优解（3,2）

当3

2

x y =⎧⎨

=⎩时，目标函数z =3x +y 的最大值为max

11z 。

故选B 。

例6.（2012年江西省理5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面

积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜

6吨

0.9万元

0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为【 】

A ．50，0

B ．30，20

C ．20，30

D ．0，50 【答案】B 。

【考点】建模的思想方法，线性规划知识在实际问题中的应用。 【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y 亩,总利润为z 万元，则目标函数为