51 高阶线性微分方程

(无妨设 线性无关 常数
)
第51讲 高阶线性微分方程——线性方程解的结构
定理2(齐次线性方程通解结构)若函数 线性方程 是该方程的通解. 例如, 且 是微分方程
和
是二阶齐次
两个线性无关的特解，则 ( ， 是任意常数)
的两个特解，
常数, 故方程的通解为
第51讲 高阶线性微分方程——线性方程解的结构
则称这 个函数在区间 内线性相关 . 否则称为线性无关 , 即若有常数
使得
在区间 恒上成立，则一定有
第51讲 高阶线性微分方程——线性方程解的结构
例1（1）函数 （2）函数
在整个实轴 上是线性相关的函数． 都是线性无关的.
，使
在任何区间
两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 的
二阶非齐次线性微分方程 定理3(非齐次线性方程通解结构) 设
∗
(**)
是二阶非齐次线性方程(**)的一个特解， 是相应的二阶齐 的通解 ,则
∗
次线性方程 是二阶非齐次线性方程(**)的通解．
例如， 是
非齐次方程的特解 的通解.
第51讲 高阶线性微分方程——线性方程解的结构
定理4设非齐次线性微分方程(**)的右端 而
∗
是几个函数之和，如 ，
和
∗
分别是方程 与
∗ ∗
的特解，则
是原非齐次线性微分方程的解.
非齐次线性微分方程的解的叠加原理
第51讲 高阶线性微分方程——线性方程解的结构
推广：如果
是 阶齐次线性微分方程
的 个线性无关的解，那么，此方程的通解为
其中 如果
∗
为任意常数. 是 阶非齐次线性微分方程
的一个特解，则此方程的通解为
第51讲 高阶线性微分方程——线性方程解的结构
∗
.
求对应齐次方程通解 求二阶非齐次方程通解 求非齐次方程特解
第51讲 高阶线性微分方程——线性方程解的结构
二阶齐次线性微分方程 设 是齐次线性微分方程(*)的的非零特解 且与 线性无关 ——降阶法 (*)
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根. 方程 2
根的三种情形： 不同实根、相同实根、复数根
第51讲 高阶线性微分方程——常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程： 1.特征方程: 2.特征根: 特征根 实根 通 解
( 为常数)
3.根据特征根写出微分方程的通解：
1 ,
第51讲 高阶线性微分方程——常系数齐次线性微分方程
例3求微分方程
的通解．
例4求方程 的特解． 例5求微分方程
满足初始条件
的通解．
第51讲 高阶线性微分方程——常系数齐次线性微分方程
线性方程解的结构 降阶法与刘维尔公式 常系数齐次线性微分方程
第51讲 高阶线性微分方程——主要内容
阶线性微分方程的一般形式为
二阶线性微分方程 一阶线性方程 的通解为：
p ( x )d x
y Ce
e
p ( x )d x
齐次方程通解
非齐次方程特解

p ( x )d x q ( x) e dx
求方程的另一解
刘维尔公式
第51讲 高阶线性微分方程——降阶法与刘维尔公式
二阶齐次线性微分方程 (*)
刘维尔公式 例2 已知微分方程 ，求该方程的通解． 的一个特解为
第51讲 高阶线性微分方程——降阶法与刘维尔公式
二阶常系数齐次线性微分方程 ( 为常数) 设 ( 为待定常数)为上面微分方程的解 2 ② ①
∗
第51讲 高阶线性微分方程——线性方程解的结构
二阶齐次线性微分方程 定理1若函数 则它们的线性组合 和
第51讲 高阶线性微分方程——线性方程解的结构
(*)
和
是二阶齐次线性方程(*)的两个解， 也是该方程的解，其中
是任意常数．——叠加原理
函数组的线性相关与线性无关
定义1设 全为零的 个常数 是定义在区间 上的 个函数，如果存在不 ，使得对一切 ，都有
质量为 的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上，当重力 与弹性力抵消时，物体处于平衡状态，若用手向下拉物 体使它离开平衡位置后放开，物体在弹性力与阻力作用 下作往复运动，阻力的大小与运动速度成正比，方向相 反 .试确定物体的运动规律 .
有阻尼自由振动微分方பைடு நூலகம்: 有阻尼强迫振动微分方程:
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第51讲 高阶线性微分方程——问题的引入