选矿过程模拟与优化_第七章 粉碎数学模型

x1,1 o x2,1 x2, 2 x x 3,1 3, 2 xn,1 xn, 2
o o x3,3 xn , 3

o f1 x1,1 f1 o o o o o f2 x f x f o o o 2,1 1 2, 2 2 f ＝ o 3 x3,1 f1 x3, 2 f 2 x3,3 f 3 o f xn , n n xn ,1 f1 xn, 2 f 2 xn,3 f 3 xn,n f n
四、破碎函数 1．什么叫破碎函数？ 在矩阵模型中，把破碎过程看作一系列 相继发生的破碎事件。描述每个破碎事件的 产物粒度组成的表达式称为破碎函数。 2．函数的确定 由于破碎事件既与矿石性质有关，又与 设备流程等因素有关，所以很难用试验确定。 根据经验，破碎产物一般有一定的分布曲线， 所以破碎函数可以由这些粒度分布曲线导出。
第七章 粉碎数学模型
第一节
1．矿石粉碎的目的
（1）一是减小粒度，改变原煤的粒度组成； （2）二是使煤和矸石解离。 模拟煤的粒度变化的模型称为粒度模型；模 拟煤和矸石解离的模型称为解离模型。一个完整 的粉碎模型应该能包括这二个模型。但由于解离 模型的研究难度很大，所以，目前的粉碎模型也 就是粒度减小模型。
二、选择性函数 1．什么是选择性函数？ 进入粉碎过程的各粒级受到的破碎是具有 随机性的，有的粒级受到破碎多些，有的少些， 也有的直接进入产物而不受破碎，破碎的概率 随粒度的不同而变化，一般来说，在同一破碎 机破碎时，粗粒级破碎概率比细粒级大，在矩 阵模型中，我们就用选择性函数来表示这种破 碎概率。 若以Si表示第i粒级的破碎概率，则第i粒级 在破碎作业中实际被破碎的物料量为 Si f i ，而 ( I Si ) fi 则是该粒级未受到破碎的物料量。
概述
2、粉碎模型研究的方式 粉碎模型的研究有两种方式：一种 是把粉碎过程划分为几个阶段，用不连 续的方式进行研究；另一种是把粉碎看 作连续过程，用连续方程式进行研究。 目前，从实际应用角度看，多数采用不 连续的方式。
3、粉碎数学模型的分类 1）矩阵模型 它把粉碎看作是一系列相继发生的事 件，后一次的给料是前一次的产品，每次 事件是一个独立计算单元，该模型可以模 拟破碎机和磨矿机，也可模拟磨矿回路。 2）动力学模型 它把粉碎看作是一个速率过程，颗粒的 破碎速率用一级动力学方程表达。所以， 该模型是把粉碎看作是一个连续过程。
x1,1 f1
x2,1 f1
○ ○ ○
x2,2 f 2
┇ ┇ ┇
┇ ┇ ┇
○ ○ ○ ┇
x3,1 f1
┇
x3,2 f 2
┇
x3,3 f 3
┇
xn,1 f1
xn,2 f 2
xn,3 f 3
xn,n f n
其中Xij实际上是一个n×n的矩阵，粉碎过程产物的计 算可以用矩阵乘列向量的形式表示。
五、重复破碎 在破碎设备中，物料的破碎多数是经过多次破碎 事件而完成的，如果发生了V 次事件，每次破碎函数 为 x j ，则逐次事件所得的产物为：
和前面公式比较，具有选择和分级作用的矩阵X为：
X (I C) (B S I S ) [I C (B S I S )]1
若分级作用不明显，则分级函数C的矩阵中诸元素 为0；则本节的公式变为上节中只包含选择性函数 的公式。同样选择性函数的对角元素均为1时，即 不存在选择，则公式变为最新形式。
上式左边的对角矩阵称为选择性函数，用S表示，则 被破碎部分为 Si f i ,未被破碎部分为 ( I S ) f ，其 中I为单位矩阵。
2．前面我曾以X矩阵表示产物的重量分数。 这是对整个原料被粉碎而言，若以B表示实 际被粉碎部分的产物重量分数，那么产物的 计算公式为：
P B S f (I S ) f (B S I S ) f
o C2 o o
o o C3 o

o o o Cn
∵ C×q为循环粒级量 ∴粉碎—分级过程的产物的矩阵计算式为： 破碎后产物
q (B S I S ) m
分级后最终产物
P ( I C ) q (I C) (B S I S ) m
P i
P
j 1
n
ij
②原料总量 F

f ，而最细粒的筛下粒
j 1 n j j 1
n 1
级n+1, 可通过 F f j 相减得到，所以可将 最细粒元素忽略。
（2）破碎产物元素以原料表示 元素Pij可以写成：pij X ij f j ，其中fj为原料中第j 粒级量，则Xij就表示原料的第j粒级经破碎后落在产 物第i粒级的重量份数，于是产物的元素又可以写成下 表形式： 以原料表示的破碎产物
结论： ①上式表达了粉碎过程的产物粒度组成 的计算方法，其中原料粒度组成f是已知的， 只有当x矩阵也是已知时，该式才能应用。 ②∴上式关键在于确定x，根据进一步 研究，x是由选择性函数、分级函数和碎裂 函数所组成。这些函数概括了爱泼斯坦提出 的概率函数和分布函数的思想。 下面将进一步介绍这些函数的意义和计 算。
（1）粉碎过程各粒级原料和产物的表示 在矩阵模型中，粉碎过程的原料和产物都可 以用一组向量表示，其中1为最大粒级，n+1为 最小粒级，也是筛分的余留物。 在粉碎过程中，所有粒级都有其粉碎概率， 它的粉碎产物可能留在原来粒级上，也可能成 为更细粒级。所以，各粒级粉碎后，可以列出 下表的质量平衡关系。
粉碎过程的质量平衡
描述粉碎过程的矩阵和原料的粒度组成
粒级 1 2 3 4 5 6 筛下 原料粒度 组成 f 25 21 14 8 5 3 24 0.15 0.20 0.15 0.10 0.10 0.10 0 0.15 0.20 0.15 0.10 0.10 X 矩 阵 0 0 0.15 0.20 0.15 0.10 0 0 0 0.15 0.20 0.15 0 0 0 0 0.15 0.20 0 0 0 0 0 0
粒级 1 2 3 ┆ n N+1 合计 原料 f1 f2 f3 ┆ fn fn+1 粉碎过程的质量平衡 P1,1 P2,1 P3,1 ┆ Pn,1 Pn+1,1 f1 ○ P2,2 P3,2 ┆ Pn,2 Pn+1,2 f2 ○ ○ P3,3 ┆ Pn,3 Pn+1,3 f3 ┆ ┆ ┆ ┆ ┆ ┆ ○ ○ ○ ┆ Pn,n Pn+1,n fn ○ ○ ○ ┆ ○ Pn+1,n+1 fn+1 产物 P1 P2 P3 ┆ Pn Pn+1
3）理想混合模型 该模型综合了动力学模型中的速率过 程概念，同时在粉碎过程的计算上又利用 了矩阵模型中的矩阵函数，所以理想混合 模型既具有了矩阵方法的运算简便的优点， 又能够与时间因素联系起来。 4）总体平衡模型 它是运用物料的进出平衡理论对粉碎 过程进行描述。
第二节 矩阵模型 一、矩阵模型的建立
x a ( )b y
令a=1,b=1,则：B( x , y ) 1 e
(
x ) y
∵洛－拉姆勒公式不符合临介条件，即当 x/y＝1时B(x,y)≠1，而是负累积
B( x, y) 1 e 1 0.63
∴破碎函数可表示为：
B( x, y ) 1 e 1 e 1
x ( ) y
式中：y－原料的平均粒度，x－破碎产物的 平均粒度，B－为平均粒度为y的原料破碎 后生成小于x的负累积量。
例7-2 在粉碎过程的方程式 p ( B S I S ) f 中，碎裂函数 B和原料粒度组成f与上例的X和f相同，各粒级的碎裂概率如 下： <1.0，0.70，0.50，0.35，0.25，0.18> 求该破碎过程的产物粒度分布。 解：根据 p ( B S I S ) f ，计算结果如下表。
∵入料
m f C q f C (B S I S ) m
∴ 代入上式可得最终产物：
m [I C (B S I S )]1 f
P (I C) (B S I S ) [I C (B S I S )]1 f
原 料 f 25 21 14 8 5 3 24 碎裂概 率 S 1 0.7 0.5 0.35 0.25 0.18 碎裂颗 粒 S· f 25.0 14.7 7.0 2.8 1.25 0.54 未碎裂颗 从碎裂颗粒 粒 所得的产物 B· f S· （I-S）· f 0 6.3 7.0 5.2 3.75 2.46 3.75 7.21 7.74 6.53 5.77 5.42 整个产物 （B· S+I-S)· f 3.75 13.51 14.74 11.73 9.52 7.88 38.87
一般认为破碎产物的粒度分布符合洛－ 拉姆勒粒度特性公式，按该式，破碎产物的 正累积含量R为：
Re
ax b
式中，x为粒度，a,b取决原料及破碎设备 的参数。若y为原料粒度，公式中粒度以相 对粒度x/y表示，则有： x 正累积： a( ) y
b
Re
负累积 B( x , y )
1 R 1 e
P 1 P 2 ＝ P 3 Pn
上式可以写成简单的矩阵方程式： p x f 上式表达了粉碎过程产物粒度组成的计算方法，其中原 料粒度组成f是已知，现在就是要确定X矩阵。
例7-1 在粉碎过程方程式 p x f 中，描述 粉碎过程的X矩阵和原料的粒度组成f见下表， 试求该粉碎过程产物的粒度分布。
和前面对比有： X B S I S
三、分级函数