【精准解析】广西兴安县第三中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题

兴安县第三中学2018年秋季学期高一期中考试试卷
数 学
一、选择题（共12道小题，每道题5分，共60分．请将正确答案填在答题卡上）
1. 已知集合A ={3，4，5}，B ={1，3，6}，则A B 等于（ ）
A. {4，5}
B. {3}
C. {1，6}
D. {1，3，4，
5，6} 【答案】D 【解析】 【分析】
利用集合的并集的定义计算即可．
【详解】集合A ={3，4，5}，B ={1，3，6}，则{}1,3,4,5,6A B =
故选：D
【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题．
2. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，A={3,4,5},B={1,3,6}，则A∩(C U B)等于（ ） A. {4，5} B. {2,4,5,7}
C. {1,6}
D. {3}
【答案】A 【解析】
试题分析：根据题意，由于全集U={1,2,3,4,5,6,7}，A={3,4,5},B={1,3,6}那么可知，C U B={2,4,5，7}，则A∩(C U B)= {4，5}，故选A. 考点：交、并、补的定义
点评：本题考查利用交、并、补的定义进行集合间的混合运算，属于基础题 3. 函数()lg(31)f x x =-的定义域为（ ） A. R B. 1
(,)3
-∞ C. 1[,)3
+∞
D. 1(,)3
+∞
【答案】D 【解析】
()lg(31)f x x =-须满足3x-1>0,即其定义域为1
(,)3
+∞．
4. 如果二次函数21y ax bx =++的图象的对称轴是1x =，并且通过点(1,7)A -，则（ ）
A. a =2，b =4
B. a =2，b =－4
C. a =－2，b =4
D. a =－2，b =
－4 【答案】B 【解析】 【分析】 由题得12b
a
-
=且71a b =-+，解方程组即得解. 【详解】由题得1271
b
a a
b ⎧-
=⎪⎨⎪=-+⎩，解之得a =2，b =－4.
故选：B
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5. 函数y =2|x |的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
将函数写成分段函数，再结合指数函数的图象，即可容易判断.
【详解】y =2|x |=2,01,02x x x x ⎧≥⎪⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭
⎩，故当0x ≥时，函数图象同2x
y =单调递增；
当0x <时，函数图象同1()2
x
y =单调递减， 且0x =时，1y =.满足以上条件的只有B .
故选：B .
【点睛】本题考查指数型函数的图象，属简单题.
6. b =（0a >且1a ≠），则（ ） A. 2log 1a b = B. 1
log 2
a b = C.
12
log a b =
D.
12
log b a =
【答案】A 【解析】
b =即1
2a b =， 所以1
log 2
a b =，即2log 1a b =， 故选A.
考点：指数式与对数式．
7. 已知20.3a =，2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a c b <<
B. a b c <<
C. b a c <<
D.
b c a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据指数函数，幂函数，和对数的单调性，即可得出结论.
【详解】2
2200.31,log 0.3log 10a b <=<=<=，
0.30221,c b a c =>=∴<<.
故选:C .
【点睛】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，注意与特殊数的对比，如“0”“1”等等，属于基础题. 8. 下列说法中,正确的是 A. 对任意x ∈R ,都有32x x >
B. y
=
x
-是R 上的增函数
C. 若x ∈R 且0x ≠,则2
22log 2log x x =
D. 在同一坐标系中,2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称. 【答案】D 【解析】
令0x =,则32x x =,排除A;y
=
x
-是R 上的减函数,排除B;当0x >时,2
22log 2log x x =成
立,当0x <时,2
22log 2log x x =不成立,排除C.选D.
9. 如果函数2(1)2y x a x =+-+在区间(,4]-∞]上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A. 9a ≥ B. 3a ≤－
C. 5a ≥
D. 7a ≤－
【答案】A 【解析】
因为二次函数开口向上，对称轴为12
a x -=
，所以其减区间为1
(,]2a --∞，又函数在(,4]-∞上是减函数，故1(,4](,]2a --∞⊆-∞，所以1
42
a -≤，解得9a ≥，故选A. 10. 已知f （x ）＝log 12
x ，g （x ）＝2x －1，则函数y ＝f （x ）－g （x ）的零点个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不确定
【答案】B 【解析】 【分析】
利用函数的单调性结合零点存在性定理求解．
【详解】函数
()()12
log 21x
y f x g x x =-=-+在()0,∞+上单调递减， 且当12x =
时，12121log 21202
-+=>；当1x =时，
12log 12110-+=-<
则函数的零点个数为1 故选：B
【点睛】本题考查函数的零点存在性定理，考查指对函数的单调性，属于基础题．
11. 若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()20f =，则不等式
()0f x <的解集为（ ）
A. (2,0)(2,)-+∞
B. (,2)(0,2)-∞-⋃
C. (,2)(2,)-∞-+∞
D. (2,0)
(0,2)-
【答案】B 【解析】 【分析】
利用奇函数的单调性的性质,可以知道函数()f x 在(,0)-∞上的单调性,结合(2)f 的值可以知道(2)f -的值,分类讨论求出()0f x <的解集.
【详解】奇函数()f x 在(0,)+∞内是增函数,所以函数()f x 在(,0)-∞内是增函数,
(2)(2)0f f -=-=
当0x >时，则有()0(2)202f x f x x <=⇒<⇒<<, 当0x <时, 则有()<0(2)22f x f x x =-⇒<-⇒<-, 所以()0f x <的解集为(,2)(0,2)-∞-⋃. 故选：B.
【点睛】本题考查了利用函数奇偶性和单调性求解不等式解集问题，属于基础题型. 12. 已知函数(1)y f x =+的定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域为（ ）
A. [37]－，
B. [14]－
， C. [55]－，
D. 502⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
【答案】D 【解析】 【分析】
由(1)f x +定义域为[2,3]-，求得114x -≤+≤，进而得出1214x -≤-≤，即可求得函数
(21)y f x =-的定义域.
【详解】因为(1)f x +定义域为[2,3]-，即23x -≤≤，可得114x -≤+≤， 故函数(21)y f x =-满足1214x -≤-≤，解得502
x ≤≤， 即(21)y f x =-的定义域是50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
故选D.
【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，以及抽象函数的定义域的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
二、填空题（共5道小题，每道题5分，共20分．）
13. 已知函数y ＝f (n)，满足f (1)＝2，且f (n+1)＝3f (n),n ∈N + .则f (3)＝____________. 【答案】18 【解析】 【分析】
根据递推关系式依次求f (2) ，f (3).
【详解】因为f (n+1)＝3f (n)，所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.
14. 函数2
3()log (210)f x x x =-+的值域为_______________．
【答案】[)2,+∞ 【解析】 【分析】
令2210t x x =-+，()3log g t t =，首先求出t 取值范围，再根据对数函数的性质求出()
g t 的范围，即可得解；
【详解】解：因为2
3()log (210)f x x x =-+，令()2
221019t x x x =-+=-+，则9t ≥，
则()3log g t t =，[)9,t ∈+∞，所以()[)2,g t ∈+∞，故()[)2,f x ∈+∞ 故答案为：[)2,+∞
【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，属于中档题
.
15. 计算：
32log 23
4
831
ln log 64
e ⨯=+______________．
【答案】4- 【解析】 【分析】
利用指数、对数的运算性质以及对数恒等式可计算得出所求代数式的值.
【详解】原式()
32log 2
33
43
2
342
41lo 4g 13
-⨯⨯==
=-+-. 故答案为：4-.
【点睛】本题考查指数式与代数式的混合运算，考查指数、对数的运算性质以及对数恒等式的应用，考查计算能力，属于基础题. 16. 函数23(2)
()2(2)x
x x f x x ---<⎧=⎨≥⎩
，则[(3)]f f -的值为_______________． 【答案】
18
【解析】 【分析】
由题意先求出(3)f -的值，即可得到[(3)]f f -的值．
【详解】解：函数23(2)()2(2)x
x x f x x ---<⎧=⎨⎩
， ()(3)233633f ∴-=-⨯--=-=， ()31
[(3)]328
f f f -∴-===，
故答案为：
18
． 【点睛】本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键，属于基础题．
三、解答题（6道题，共70分)
17. 已知函数()2
1
f x x =
-，[]2,6x ∈，求函数的最大值和最小值.
【答案】最大值是2，最小值是25
. 【解析】 【分析】
利用函数单调性的定义证明出函数()y f x =在区间[]2,6上为减函数，由此可求得函数
()y f x =在区间[]2,6上的最大值和最小值.
【详解】设1x 、[]22,6x ∈，且12x x <，即12
2
6x x ，
则()()()()()21121212222
1111x x f x f x x x x x --=-=----， 1226x x ≤<≤，210x x ∴->，110x ，210x ，
()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，所以，函数()y f x =在区间[]2,6上为减函数，
所以，()()max 22f x f ==，()()min 2
65
f x f ==. 因此，函数()21f x x =
-在区间[]2,6上的最大值为2，最小值为25
. 【点睛】本题考查函数在区间上最值的求解，考查函数单调性的应用，属于中等题. 18. 当(0,)x ∈+∞时，幂函数253(1)m y m m x --=--为减函数，求实数m 的值． 【答案】2 【解析】 【分析】
本题先得到211m m --=且530m --<，再求解即可得到答案.
【详解】解：因为当(0,)x ∈+∞时，幂函数253(1)m y m m x --=--为减函数， 所以211m m --=且530m --<， 解得2m =，
【点睛】本题考查利用幂函数的定义与性质求参数，是基础题.
19. 已知函数2 (x 0)()2-x? (x 0)x f x ⎧≤⎪
=⎨⎪>⎩
，试解答下列问题：
（1）求[(2)]f f -的值；
（2）求方程()f x =1
2
x 的解． 【答案】（1）2-；（2）4
3
x =或0x =
【解析】 【分析】
（1）已知()f x 为分段函数，把2x =-代入相对应的
函数值，然后再进行代入，从而求解； （2）分成两种情况：0x ；0x >，从而代入()f x 求方程的解；
【详解】解：（1）函数2(0)()2(0)x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪->⎩
，所以()()2
224f -=-=
所以()[(2)]4242f f f -==-=- （2）当0x ≤时，即2
12x x =
，解得0x =或1
2
x =（舍去）； 当0x >时，即1
22x x -=，解得43x =；
综上所述，4
3
x =或0x =．
【点睛】此题主要考查分段函数的性质，利用了分类讨论的思想，属于基础题； 20. 已知函数f(x)＝
2
1ax b
x ++ 是定义在(－1,1)上的奇函数，且12()25
f =. (1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(x)在定义域上是增函数，解不等式f(t －1)＋f(t)＜0. 【答案】（1）()2
1x f x x =+； （2）10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）由奇函数()00f =及条件12
25
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭即可得解； （2）由函数为奇函数可得()()1f t f t -<-，进而由函数为增函数可得111111t t
t t -<-⎧⎪
-<<⎨⎪-<-<⎩
，解
不等式组即可得解.
【详解】（1）∵()f x 为奇函数 ∴()001b
f b =
== 1114222
122
55514
a
f a a ⎛⎫==⨯== ⎪⎝⎭+
∴1a = ∴()2
1x
f x x
=
+，经检验()f x 为奇函数. （2）()()10f t f t -+< ∴()()1f t f t -<
∵()f x 为奇函数. ()()1f t f t -<- 又∵()f x 为增函数
111111t t t t -<-⎧⎪
-<<⎨⎪-<-<⎩
∴121102t t t ⎧<⎪⎪
-<<⎨⎪<<⎪⎩
∴102t <<
. ∴t 的范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于常考题型.解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成
()()()()f g x f h x ≥ 后再利用单调性和定义域列不等式组.
21. 已知全集U =R ，集合{|4A x x =<-或1}x >，{}
312B x x =-≤-≤，
（1）求A B 、()()U U A B ；
（2）若集合{}2121M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）{}13A B x x ⋂=<≤，
()(){1U U A B x x ⋃=≤或3}x >；（2）52k <-或1k >. 【解析】
【分析】 （1）先求出B ，U A ，U B ，再求A B ，()()U U A B 即可；
（2）先分类讨论①当M φ=时，k 不存在；②当M φ≠时，解得52
k <-
或1k >，最后写出实数k 的取值范围即可. 【详解】解：（1）因为全集U =R ，集合{|4A x x =<-或1}x >，{}312B x x =-≤-≤， 所以{}23B x x =-≤≤，{|41}U x x A =-≤≤，{2U B x x =<-或3}x >，
所以{}13A B x x ⋂=<≤，()(){1U U A B x x ⋃=≤或3}x >，
（2）因为集合{}2121M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集，
所以①当M φ=时，2121k k ，k 不存在；
②当M φ≠时，214k +<-或211k ->，解得：52k <-
或1k >， 综上所述：实数k 的取值范围是52
k <-或1k >. 【点睛】本题考查集合的运算、根据集合的基本关系求参数范围，是基础题.
22. 已知函数1()(0x f x a a -=>且1)a ≠
（1）若函数()y f x =图象经过P （3，4）点，求a 的值；
（2）若(lg )100f a =，求a 的值
【答案】（1）2a =；（2）110
a =
或100a = 【解析】
【分析】
（1）函数()y f x =的图象经过(3,4)P 点，可得314a -=，由此求出a ；
（2）由()100f lga =知，1100lga a -=，对此类指对结合的不等式不能用常规解法求解，需要借
助相关的公式求解，本题这种类型的一般采取两边取对数的方式将其转化为一元二次函数型的方程求解，两边取以10为底的对数可得(1)2lga lga -=，解此方程先求lga ，再求a ．
【详解】解：（1）函数()y f x =的图象经过(3,4)P
314a -∴=，即24a =．
又0a >，所以2a =．
（2）由()100f lga =知，1100lga a -=．
所以，12lga lga -=．
(1)2lga lga ∴-=．
220lg a lga ∴--=，
1lga ∴=-或2lga =， 所以，110
a =或100a =． 【点睛】本题考点是指数函数单调性的应用，考查了求指数函数解析式，解指数与对数方程，本题涉及到的基础知识较多，综合性较强，在本题中解指数与对数方程时用到了两边取对数将指数方程转化为一元二次方程求解，这是此类方程求解时专用的一个技巧，要好好总结其运用规律．。