专题22 抛物线-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘(解析版)
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所以抛物线 的方程为 ，其准线方程为 .
（2）抛物线 的焦点为 .
设直线 的方程为 .
由 得 .
设 ，则 .
直线 的方程为 .
令 ，得点A的横坐标 .
同理得点B的横坐标 .
设点 ，则 ，
.
令 ，即 ，则 或 .
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点 和 .
4．【2019年高考浙江卷】如图，已知点 为抛物线 的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得 的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记 的面积分别为 ．
【答案】（1） （2）①详见解析，②
【解析】
解：（1）抛物线 的焦点为
由点 在直线 上，得 ，即
所以抛物线C的方程为
（2）设 ，线段PQ的中点
因为点P和Q关于直线 对称，所以直线 垂直平分线段PQ，
于是直线PQ的斜率为 ，则可设其方程为
①由 消去 得
因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以
从而 ，化简得 .
故 ，即 ，所以 .
又由于 及重心G在x轴上，故 ，得 .
所以，直线AC方程为 ，得 .
由于Q在焦点F的右侧，故 .从而
.
令 ，则m>0，
.
当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）．
5．设顶点在原点，焦点在 轴上的拋物线过点 ，过 作抛物线的动弦 ，并设它们的斜率分别为 .
（1）求拋物线的方程；
（2）若 ，求证：直线 的斜率为定值，并求出其值；
（3）设过点 的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为 ，求 关于 的表达式。
【答案】
【解析】
【考纲要求】
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．
2．了解抛物线的简单应用．
【考向分析】
抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若 ，求|AB|．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】设直线 ．
（1）由题设得 ，故 ，由题设可得 ．
由 ，可得 ，则 ．
从而 ，得 ．
所以 的方程为 ．
（2）由 可得 ．
由 ，可得 ．
所以 ．从而 ，故 ．
代入 的方程得 ．
故 ．
2．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
【高考预测】
抛物线好多年未考，需注意。考查方向为直线与抛物线的位置关系，尤其相切是考查重点.
【迎考策略】
1、“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
2.(1)解决焦点弦问题时，要注意以下几点：
①设抛物线上的点为(x1，y1)，(x2，y2)；
【答案】（1）曲线 的方程为 ．（2）详见解析
【解析】
（1）因为直线 与 垂直，所以 为点 到直线 的距离．
连结 ，因为 为线段 的中垂线与直线 的交点，所以 ．
所以点 的轨迹是抛物线．
焦点为 ，准线为 ．
所以曲线 的方程为 ．
（2）由题意，过点 的切线斜率存在，设切线方程为 ，
联立 得 ，
所以 ，即 （*），
，且 的周长 ，
，
，
令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，则 ，
即 的取值范围为 .
13．如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ，抛物线 ： （ ）．
（1）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；
（2）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ．
①求证：线段PQ的中点坐标为 ；
②求 的取值范围．
【答案】（1）x2 y（2）
【解析】解：（Ⅰ）设点 ，由 得， ，求导 ，
而直线 的斜率为1，所以 且 ，解得
所以抛物线标准方程为
（Ⅱ）因为点M处的切线方程为： ，即 ，
根据切线又与圆相切，得 ，即 ，化简得 ，
由方程组 ，解得Q（ ， ），
所以|PQ|= |xP-xQ|= = ，
点F（0， ）到切线PQ的距离是d= = ，
【答案】（1） ；（2）存在 且 ， 的无数个圆 满足条件.
【解析】
解:（1）设 ，依题意， ，即 ．
化简整理得 ．
（2）把 与 联立，解得 ， ，则线段 的垂直平分线方程
若存在 、 两点，使得 、 、 、 四点共圆，则圆心必在直线 上，
设圆心坐标 ，则半径 ，
圆的方程为 ，
将 代入并整理得 ，
则 ， 或 或 ，
【答案】（1） （2）见证明
【解析】
（1）由题意得： ，
因为点 的横坐标为4，且 在 轴的上方，
所以 ，
因为 的斜率为 ，
所以 ，整理得： ，
即 ，得 ，
抛物线 的方程为： .
（2）由（1）得： ， ，淮线方程 ，
直线 的方程： ，
由 解得 或 ，于是得 .
设点 ，又题意 且 ,
所以直线 ： ，令 ，得 ，
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）设点 ，则 ，
所以 ， .
因为 ，
所以 ，即 .
（2）设 ， ， ，直线 与 轴交点为 ，直线 与内切圆的切点为 .
设直线 的方程为 ，则联立方程组 得 ，
所以 且 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
与方程 联立得 ，
化简得 ，解得 或 .
因为 ，
所以 轴，
设 的内切圆圆心为 ，则点 在 轴上且 .
因为 ，所以方程（*）存在两个不等实根，设为 ，
因为 ，所以 ，为定值．
10．已知点 ，直线 ，点 是 上的动点，过点 垂直于 轴的直线与线段 的垂直平分线相交于点 ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）若 ，直线 与点 的轨迹交于 两点，试问 的轨迹上是否存在两点 ，使得 四点共圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
②因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，故满足y12＝2px1，y22＝2px2；
③利用y12y22＝4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.
(2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径的和，转化为到准线的距离，再求解．
【强化演练】
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
方程（*）的两根为 ，从而
因为 在直线 上，所以
因此，线段PQ的中点坐标为
②因为 在直线 上
所以 ，即
由①知 ，于是 ，所以
因此 的取值范围为
2、【2009江苏，22】（本题满分10分）
在平面直角坐标系 中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在 轴上。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【答案】（1）抛物线 的方程为 ，准线方程为 ；（2）见解析.
【解析】（1）由抛物线 经过点 ，得 .
即为直线 的方程，
所以直线 恒过定点 ，命题得证.
6．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点， 在 轴的上方，且点 的横坐标为4.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）设点 为抛物线 上异于 ， 的点，直线 与 分别交抛物线 的准线于 ， 两点， 轴与准线的交点为 ，求证： 为定值，并求出定值.
所以d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|＝|4m×(－ )|＝16．
8．如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1： 的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2： 相切于点Q．
（Ⅰ）当直线MQ的方程为 时，求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求 的最小值．
由 ，可得 .
于是 ，
.
设 分别为点D，E到直线AB的距离，则 .
因此，四边形ADBE的面积 .
设M为线段AB的中点，则 .
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 .
当 =0时，S=3；当 时， .
因此，四边形ADBE的面积为3或 .
3．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
即 ，
同理可得： ，
.
7.在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 为抛物线 上异于 的两点，且 ．记点 到直线 的距离分别为 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，
所以 ＋1＝2，所以p＝2.
【答案】（1） （2）①见证明；②
【解析】
（1）抛物线 ： （ ）的焦点为 ，
由点 在直线 ： 上得 ，即 ，
所以抛物线 的方程为
（2）设 、 ，线段 的中点 ．
因为点 和 关于直线 对称，所以直线 垂直平分线段 ，
于是 的方程可设为 ．
①由 得 （﹡），
因为 和 是抛物线 上相异两点，所以 ，
从而 ，化简得 ，方程（﹡）的两根为
（2）由(1)得抛物线方程为y2＝4x．
因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，所以a＝2．
设直线AM方程为x－1＝m(y－2) (m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由 消去x，得y2－4m y＋8m－4＝0，
即(y－2)(y－4m＋2)＝0，所以y1＝4m－2．
因为AM⊥AN，所以－ 代m，得y2＝－ －2，
（3）若 ，求证：直线 恒过定点，并求出其坐标.
【答案】（1） ；（2）证明见解析， ；（3）证明见解析， .
【解析】
（1）依题意，可设所求拋物线的方程为 ,
因拋物线过点 ，故 ，拋物线的方程为 .
（2）设 ，则 ，
同理
,
，即直线 的斜率恒为定值，且值为 .
（3） .
直线 的方程为 ，即 .
将 代入上式得
所以 = × × = ，
= ，
而由 知，4p2= ，得|x0|＞2，
所以 = = =
= = +3≥2 +3，当且仅当 时取“=”号，即 ，此时，p= ，所以 的最小值为 ．
9．在平面直角坐标系 中，点 ，直线 与动直线 的交点为 ，线段 的中垂线与动直线 的交点为 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过动点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，求证： 的大小为定值．
【解析】
（1）因为 .
联立方程 ，
则 .
（2）当 ，易得 ，
不妨设 ， ，
直线 ，则 ，
联立 ， ，
，
.
（3）设 ，则
，
因为
，
又因
，
所以 .
12．已知直线 上有一动点 ，过点 作直线 垂直于 轴，动点 在 上，且满足 （ 为坐标原点），记点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）已知定点 ， ， 为曲线 上一点，直线 交曲线 于另一点 ，且点 在线段 上，直线 交曲线 于另一点 ，求 的内切圆半径 的取值范围．
（1）求p的值及抛物线的准线方程；
（2）求 的最小值及此时点G的坐标．
【答案】（1）p=2，准线方程为x=−1；（2）最小值为 ，此时G（2，0）．
【解析】（1）由题意得 ，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x=−1.
（2）设 ，重心 .令 ，则 .
由于直线AB过F，故直线AB方程为 ，代入 ，得
，
，从而 ．
因为 在直线 上，所以 ，
因此，线段 的中点坐标为
②因为 在直线 wk.baidu.com，
所以 ，即 ．
由①知 ，于是 ，所以 ，
即 的取值范围为 .
14．在平面直角坐标系 中，已知点F为抛物线 的焦点，点A在抛物线E上，
点B在x轴上，且 是边长为2的等边三角形。
（1）求抛物线E的方程；
（2）设C是抛物线E上的动点，直线 为抛物线E在点C处的切线，求点B到直线 距离的最小值，并求此时点C的坐标。
专题22抛物线
【真题感悟】
1、【2016江苏，22】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x y 2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）.
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为 ；
②求p的取值范围.
应有除 、 之外的两个根，
，且 ， ，解得 且 ， ．
存在 且 ， 的无数个圆 满足条件．
11．已知抛物线方程 ， 为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点，定义: .
（1）当 时，求 ；
（2）证明:存在常数 ，使得 .
（3） 为抛物线准线上三点，且 ，判断 与 的关系.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） .
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【答案】（1）见详解；（2）3或 .
【解析】（1）设 ，则 .
由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 .
整理得
设 ，同理可得 .
故直线AB的方程为 .
所以直线AB过定点 .
（2）由（1）得直线AB的方程为 .
（2）抛物线 的焦点为 .
设直线 的方程为 .
由 得 .
设 ，则 .
直线 的方程为 .
令 ，得点A的横坐标 .
同理得点B的横坐标 .
设点 ，则 ，
.
令 ，即 ，则 或 .
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点 和 .
4．【2019年高考浙江卷】如图，已知点 为抛物线 的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得 的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记 的面积分别为 ．
【答案】（1） （2）①详见解析，②
【解析】
解：（1）抛物线 的焦点为
由点 在直线 上，得 ，即
所以抛物线C的方程为
（2）设 ，线段PQ的中点
因为点P和Q关于直线 对称，所以直线 垂直平分线段PQ，
于是直线PQ的斜率为 ，则可设其方程为
①由 消去 得
因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以
从而 ，化简得 .
故 ，即 ，所以 .
又由于 及重心G在x轴上，故 ，得 .
所以，直线AC方程为 ，得 .
由于Q在焦点F的右侧，故 .从而
.
令 ，则m>0，
.
当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）．
5．设顶点在原点，焦点在 轴上的拋物线过点 ，过 作抛物线的动弦 ，并设它们的斜率分别为 .
（1）求拋物线的方程；
（2）若 ，求证：直线 的斜率为定值，并求出其值；
（3）设过点 的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为 ，求 关于 的表达式。
【答案】
【解析】
【考纲要求】
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．
2．了解抛物线的简单应用．
【考向分析】
抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若 ，求|AB|．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】设直线 ．
（1）由题设得 ，故 ，由题设可得 ．
由 ，可得 ，则 ．
从而 ，得 ．
所以 的方程为 ．
（2）由 可得 ．
由 ，可得 ．
所以 ．从而 ，故 ．
代入 的方程得 ．
故 ．
2．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
【高考预测】
抛物线好多年未考，需注意。考查方向为直线与抛物线的位置关系，尤其相切是考查重点.
【迎考策略】
1、“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
2.(1)解决焦点弦问题时，要注意以下几点：
①设抛物线上的点为(x1，y1)，(x2，y2)；
【答案】（1）曲线 的方程为 ．（2）详见解析
【解析】
（1）因为直线 与 垂直，所以 为点 到直线 的距离．
连结 ，因为 为线段 的中垂线与直线 的交点，所以 ．
所以点 的轨迹是抛物线．
焦点为 ，准线为 ．
所以曲线 的方程为 ．
（2）由题意，过点 的切线斜率存在，设切线方程为 ，
联立 得 ，
所以 ，即 （*），
，且 的周长 ，
，
，
令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，则 ，
即 的取值范围为 .
13．如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ，抛物线 ： （ ）．
（1）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；
（2）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ．
①求证：线段PQ的中点坐标为 ；
②求 的取值范围．
【答案】（1）x2 y（2）
【解析】解：（Ⅰ）设点 ，由 得， ，求导 ，
而直线 的斜率为1，所以 且 ，解得
所以抛物线标准方程为
（Ⅱ）因为点M处的切线方程为： ，即 ，
根据切线又与圆相切，得 ，即 ，化简得 ，
由方程组 ，解得Q（ ， ），
所以|PQ|= |xP-xQ|= = ，
点F（0， ）到切线PQ的距离是d= = ，
【答案】（1） ；（2）存在 且 ， 的无数个圆 满足条件.
【解析】
解:（1）设 ，依题意， ，即 ．
化简整理得 ．
（2）把 与 联立，解得 ， ，则线段 的垂直平分线方程
若存在 、 两点，使得 、 、 、 四点共圆，则圆心必在直线 上，
设圆心坐标 ，则半径 ，
圆的方程为 ，
将 代入并整理得 ，
则 ， 或 或 ，
【答案】（1） （2）见证明
【解析】
（1）由题意得： ，
因为点 的横坐标为4，且 在 轴的上方，
所以 ，
因为 的斜率为 ，
所以 ，整理得： ，
即 ，得 ，
抛物线 的方程为： .
（2）由（1）得： ， ，淮线方程 ，
直线 的方程： ，
由 解得 或 ，于是得 .
设点 ，又题意 且 ,
所以直线 ： ，令 ，得 ，
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）设点 ，则 ，
所以 ， .
因为 ，
所以 ，即 .
（2）设 ， ， ，直线 与 轴交点为 ，直线 与内切圆的切点为 .
设直线 的方程为 ，则联立方程组 得 ，
所以 且 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
与方程 联立得 ，
化简得 ，解得 或 .
因为 ，
所以 轴，
设 的内切圆圆心为 ，则点 在 轴上且 .
因为 ，所以方程（*）存在两个不等实根，设为 ，
因为 ，所以 ，为定值．
10．已知点 ，直线 ，点 是 上的动点，过点 垂直于 轴的直线与线段 的垂直平分线相交于点 ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）若 ，直线 与点 的轨迹交于 两点，试问 的轨迹上是否存在两点 ，使得 四点共圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
②因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，故满足y12＝2px1，y22＝2px2；
③利用y12y22＝4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.
(2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径的和，转化为到准线的距离，再求解．
【强化演练】
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
方程（*）的两根为 ，从而
因为 在直线 上，所以
因此，线段PQ的中点坐标为
②因为 在直线 上
所以 ，即
由①知 ，于是 ，所以
因此 的取值范围为
2、【2009江苏，22】（本题满分10分）
在平面直角坐标系 中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在 轴上。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【答案】（1）抛物线 的方程为 ，准线方程为 ；（2）见解析.
【解析】（1）由抛物线 经过点 ，得 .
即为直线 的方程，
所以直线 恒过定点 ，命题得证.
6．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点， 在 轴的上方，且点 的横坐标为4.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）设点 为抛物线 上异于 ， 的点，直线 与 分别交抛物线 的准线于 ， 两点， 轴与准线的交点为 ，求证： 为定值，并求出定值.
所以d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|＝|4m×(－ )|＝16．
8．如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1： 的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2： 相切于点Q．
（Ⅰ）当直线MQ的方程为 时，求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求 的最小值．
由 ，可得 .
于是 ，
.
设 分别为点D，E到直线AB的距离，则 .
因此，四边形ADBE的面积 .
设M为线段AB的中点，则 .
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 .
当 =0时，S=3；当 时， .
因此，四边形ADBE的面积为3或 .
3．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
即 ，
同理可得： ，
.
7.在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 为抛物线 上异于 的两点，且 ．记点 到直线 的距离分别为 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，
所以 ＋1＝2，所以p＝2.
【答案】（1） （2）①见证明；②
【解析】
（1）抛物线 ： （ ）的焦点为 ，
由点 在直线 ： 上得 ，即 ，
所以抛物线 的方程为
（2）设 、 ，线段 的中点 ．
因为点 和 关于直线 对称，所以直线 垂直平分线段 ，
于是 的方程可设为 ．
①由 得 （﹡），
因为 和 是抛物线 上相异两点，所以 ，
从而 ，化简得 ，方程（﹡）的两根为
（2）由(1)得抛物线方程为y2＝4x．
因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，所以a＝2．
设直线AM方程为x－1＝m(y－2) (m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由 消去x，得y2－4m y＋8m－4＝0，
即(y－2)(y－4m＋2)＝0，所以y1＝4m－2．
因为AM⊥AN，所以－ 代m，得y2＝－ －2，
（3）若 ，求证：直线 恒过定点，并求出其坐标.
【答案】（1） ；（2）证明见解析， ；（3）证明见解析， .
【解析】
（1）依题意，可设所求拋物线的方程为 ,
因拋物线过点 ，故 ，拋物线的方程为 .
（2）设 ，则 ，
同理
,
，即直线 的斜率恒为定值，且值为 .
（3） .
直线 的方程为 ，即 .
将 代入上式得
所以 = × × = ，
= ，
而由 知，4p2= ，得|x0|＞2，
所以 = = =
= = +3≥2 +3，当且仅当 时取“=”号，即 ，此时，p= ，所以 的最小值为 ．
9．在平面直角坐标系 中，点 ，直线 与动直线 的交点为 ，线段 的中垂线与动直线 的交点为 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过动点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，求证： 的大小为定值．
【解析】
（1）因为 .
联立方程 ，
则 .
（2）当 ，易得 ，
不妨设 ， ，
直线 ，则 ，
联立 ， ，
，
.
（3）设 ，则
，
因为
，
又因
，
所以 .
12．已知直线 上有一动点 ，过点 作直线 垂直于 轴，动点 在 上，且满足 （ 为坐标原点），记点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）已知定点 ， ， 为曲线 上一点，直线 交曲线 于另一点 ，且点 在线段 上，直线 交曲线 于另一点 ，求 的内切圆半径 的取值范围．
（1）求p的值及抛物线的准线方程；
（2）求 的最小值及此时点G的坐标．
【答案】（1）p=2，准线方程为x=−1；（2）最小值为 ，此时G（2，0）．
【解析】（1）由题意得 ，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x=−1.
（2）设 ，重心 .令 ，则 .
由于直线AB过F，故直线AB方程为 ，代入 ，得
，
，从而 ．
因为 在直线 上，所以 ，
因此，线段 的中点坐标为
②因为 在直线 wk.baidu.com，
所以 ，即 ．
由①知 ，于是 ，所以 ，
即 的取值范围为 .
14．在平面直角坐标系 中，已知点F为抛物线 的焦点，点A在抛物线E上，
点B在x轴上，且 是边长为2的等边三角形。
（1）求抛物线E的方程；
（2）设C是抛物线E上的动点，直线 为抛物线E在点C处的切线，求点B到直线 距离的最小值，并求此时点C的坐标。
专题22抛物线
【真题感悟】
1、【2016江苏，22】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x y 2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）.
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为 ；
②求p的取值范围.
应有除 、 之外的两个根，
，且 ， ，解得 且 ， ．
存在 且 ， 的无数个圆 满足条件．
11．已知抛物线方程 ， 为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点，定义: .
（1）当 时，求 ；
（2）证明:存在常数 ，使得 .
（3） 为抛物线准线上三点，且 ，判断 与 的关系.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） .
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【答案】（1）见详解；（2）3或 .
【解析】（1）设 ，则 .
由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 .
整理得
设 ，同理可得 .
故直线AB的方程为 .
所以直线AB过定点 .
（2）由（1）得直线AB的方程为 .