单位圆中的三角函数线PPT完美课件
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正切线不存在,此时角α的正切值不存在.
4、三角函数线的意义：方向表示三角函数值符号， 长度表示三角函数值的绝对值.
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
例题 单位圆中的三角函数线PPT完美课件
例1 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；
3
（2） 2 ．
3
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
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6
(2k|2k6,2k62＜kα2≤342k≤α＜223k2，k或 4131
,2k
，k
Z
11 6
)k
Z
3
6
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变式训练：
1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）
； （2）
；
2、比较大小
sin 和tan
7
7
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
2对教育来说，阅读是最基础的教学手 段，教 育里最 关键、 最重要 的基石 就是阅 读。
3但是现在，我们的教育在一定程度上 ，还不 够重视 阅读， 尤其是 延伸阅 读和课 外阅读 。
4. “山不在高，有仙则名。水不在深 ，有龙 则灵” 四句， 简洁有 力，类 比“斯 是陋室 ，惟吾 德馨” ，说明 陋室也 可借高 尚之士 散发芬 芳
y
第三象限
y
第四象限
M Ox
M
O
x
P(x , y)
P(x , y)
因为sin =y=MP，所以MP叫的正弦线!
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
y
的终边
的终边 y
第一象限
P(x , y) P(x , y)
第二象限
O Mx
MO x
从P作x轴垂线，M为垂足，OM为所求．
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
§1.2.1 任意角的三角函数 第三课时
【复习引入】
1、任意角三角函数的定义
设P（x,y)是α终边上任一点,线段0P的长度为 r
2、三角函数在各象限的函数值的符号
3、猜想可以用何种几何元素表示任意角三角函数 值？
探究问题（一）正弦线、余弦线
思考1：什么是有向线段？
我们规定一条线段的一个端点为始点，另一个端点为终点，从 始点到终点的方向为该线段的方向。带有方向的线段叫做有向 线段。
练习．说出OM， MO， AT， TA ， MP， AO的符号．
y T
M O
P
A(1,0) x
3．三角函数线：
⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin的有向线段．
y
的终边
的终边 y
第一象限
第二象限
P(x , y) P(x , y)
O Mx
MO x
从P作x轴垂线，M为垂足，MP为所求．
⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin的有向线段．
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小结
1、三角函数线的作法； 2、三角函数线的作用： ①利用三角函数线确定角的集合或范围. ②利用三角函数线比较三角函数值的大小；
作业：
课本17页：练习2
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3.如图所示，连接AP，设△OAP的面积为S1，扇形OAP的面积
由正切的定义
tan sin y MP cos x OM
又由相似三角形的知识可得
MP OM
AT OA
，
y
的终边
T
P
x
O M A1,0
因为 OA=1，所以 tan AT
故我们可以用有向线段 AT 表示角 的正切
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
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⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
当线段与 x 轴同向时，线段的方向为正向，且有正值 x ； 当线段与 x 轴反向时，线段的方向为负向，且有负值 x 。 当线段与 y 轴同向时，线段的方向为正向，且有正值 y ； 当线段与 y 轴反向时，线段的方向为负向，且有负值 y 。
本书中的有向线段规定方向与x轴或y轴的正方向 一致的为正值，反之为负值．
2
5
3
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例2：求在单位圆中作出符合条件的角的终边。
y
3tan 1
3
1
4
-1
k
4
,
k
2
)k
Z
3
2
)k
Z
1
O
Ax
-1 T
4
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解三角不等式：三角函数线是三角函数的几何特征，利用单位圆 中的三角函数线作出直观的图形，往往使有些不等式的一目了然， 突出数形结合的优势.解形如 f(α)≤m 或 f(α)≥m(|m|≤1)的三角不 等式时，在直角坐标系及单位圆中，标出满足 f(α)＝m 的两个角 的终边； （1）若 f(α)＝sinα，则角的终边是直线 y＝m 与单位圆的两个交点 与原点的连线； （2）若 f(α)＝cosα，则角的终边是直线 x＝m 与单位圆的两个交 点与原点的连线； （3）若 f(α)＝tanα，则角的终边与角的终边的反向延长线表示的 正切值相同， 根据三角函数值的大小，找出 α 在 0～2π 内的取值，再加上 k·2π (k∈Z)．点评：用三角函数线求解简单的三角不等式的注意事项：
过单位圆与x轴正半轴的交点A(1,0)作圆的切线交角α
的终边于点T.
2、能否找到有向线段使
y
T 的终边
其大小恰为
P(x , y)
可证△OMP∽△OAT
AT =
即 tan= =AT，
A(1,0)
OM x
AT是的正切线．
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思考1：如何证明有向线段AT来表示α的正切呢？
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
y
y
第三象限
第四象限
M Ox
M
O
x
P(x , y)
P(x , y)
因为cos =x=OM，所以OM叫的余弦线!
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（3）图中的圆均为单位圆，作出表示tan的有向线段．
1、由于tan = ，能否找到使x = 1的点？
为S2，△OAT的面积为S，弧长AP为l，
因为S1＜S2＜S,所以 1 OA MP＜1 l OA＜1 OA AT,
2
2
2
又OA=1，故MP＜l＜AT，即sin α＜α＜tan α.
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4.求解角的范围的方法 准确应用单位圆中的三角函数线来求解角的范围，熟记并充分 应用以下几种情形：
y
的终边
T 第一象限
的终边
y
P(x , y)
P(x , y)
第二象限
A
O
x
O
Ax
过A(1,0)作x轴垂线与终边(或反向延长线)
T
交于T点，AT为所求.
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⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
T
y
第三象限
第四象限
A
O
x
A
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
的交点P．
边P
⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M,可得
A(1,0)
正弦线MP,余弦线OM.
MO
x
⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与角的终边(或
反向延长 线)交于T，可得正切线AT.
T
3、（1）当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,
分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;
（2）当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,
例2:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
1sin 1
2
5
6
-1
y
1
6
y1
12
O
x
(2k ,2k 5 )k Z -1
6
6
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例2:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
2cos 1
2
y
1
3
-1 O
2k
3
,2k
5
3
k
Z
-1
1
x1 x
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1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
O
x
P(x , y)
的终边
P(x , y)
T
因为tan= =AT，所以AT是的正切线．
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1、这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别
叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线
2、步骤：⑴ 找出角的终边与单位圆 α的终 y
(1)熟悉角 θ 的正弦线、余弦线、正切线； (2)先找到“正值”区间，即 0～2π 间满足条件的角 θ 的范围，然 后再加上周期；
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变式： 写出满足条件 1 ≤cosα＜
2
的集合.
2
y
3
1
3 的角α 2
6
-1 O
4
-1
3
1
x
11
5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。
6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。
7.能够根据所提供的有关文学名著的 相关语 言信息 推断作 品的作 者、作 品的名 称和人 物形象 ，分析 人物形 象的性 格和作 品的思 想内容 并进行 简要评 价。
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。
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4、三角函数线的意义：方向表示三角函数值符号， 长度表示三角函数值的绝对值.
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例题 单位圆中的三角函数线PPT完美课件
例1 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；
3
（2） 2 ．
3
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6
(2k|2k6,2k62＜kα2≤342k≤α＜223k2，k或 4131
,2k
，k
Z
11 6
)k
Z
3
6
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变式训练：
1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）
； （2）
；
2、比较大小
sin 和tan
7
7
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2对教育来说，阅读是最基础的教学手 段，教 育里最 关键、 最重要 的基石 就是阅 读。
3但是现在，我们的教育在一定程度上 ，还不 够重视 阅读， 尤其是 延伸阅 读和课 外阅读 。
4. “山不在高，有仙则名。水不在深 ，有龙 则灵” 四句， 简洁有 力，类 比“斯 是陋室 ，惟吾 德馨” ，说明 陋室也 可借高 尚之士 散发芬 芳
y
第三象限
y
第四象限
M Ox
M
O
x
P(x , y)
P(x , y)
因为sin =y=MP，所以MP叫的正弦线!
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
y
的终边
的终边 y
第一象限
P(x , y) P(x , y)
第二象限
O Mx
MO x
从P作x轴垂线，M为垂足，OM为所求．
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§1.2.1 任意角的三角函数 第三课时
【复习引入】
1、任意角三角函数的定义
设P（x,y)是α终边上任一点,线段0P的长度为 r
2、三角函数在各象限的函数值的符号
3、猜想可以用何种几何元素表示任意角三角函数 值？
探究问题（一）正弦线、余弦线
思考1：什么是有向线段？
我们规定一条线段的一个端点为始点，另一个端点为终点，从 始点到终点的方向为该线段的方向。带有方向的线段叫做有向 线段。
练习．说出OM， MO， AT， TA ， MP， AO的符号．
y T
M O
P
A(1,0) x
3．三角函数线：
⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin的有向线段．
y
的终边
的终边 y
第一象限
第二象限
P(x , y) P(x , y)
O Mx
MO x
从P作x轴垂线，M为垂足，MP为所求．
⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin的有向线段．
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
小结
1、三角函数线的作法； 2、三角函数线的作用： ①利用三角函数线确定角的集合或范围. ②利用三角函数线比较三角函数值的大小；
作业：
课本17页：练习2
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单位圆中的三角函数线PPT完美课件
3.如图所示，连接AP，设△OAP的面积为S1，扇形OAP的面积
由正切的定义
tan sin y MP cos x OM
又由相似三角形的知识可得
MP OM
AT OA
，
y
的终边
T
P
x
O M A1,0
因为 OA=1，所以 tan AT
故我们可以用有向线段 AT 表示角 的正切
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⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
当线段与 x 轴同向时，线段的方向为正向，且有正值 x ； 当线段与 x 轴反向时，线段的方向为负向，且有负值 x 。 当线段与 y 轴同向时，线段的方向为正向，且有正值 y ； 当线段与 y 轴反向时，线段的方向为负向，且有负值 y 。
本书中的有向线段规定方向与x轴或y轴的正方向 一致的为正值，反之为负值．
2
5
3
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例2：求在单位圆中作出符合条件的角的终边。
y
3tan 1
3
1
4
-1
k
4
,
k
2
)k
Z
3
2
)k
Z
1
O
Ax
-1 T
4
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解三角不等式：三角函数线是三角函数的几何特征，利用单位圆 中的三角函数线作出直观的图形，往往使有些不等式的一目了然， 突出数形结合的优势.解形如 f(α)≤m 或 f(α)≥m(|m|≤1)的三角不 等式时，在直角坐标系及单位圆中，标出满足 f(α)＝m 的两个角 的终边； （1）若 f(α)＝sinα，则角的终边是直线 y＝m 与单位圆的两个交点 与原点的连线； （2）若 f(α)＝cosα，则角的终边是直线 x＝m 与单位圆的两个交 点与原点的连线； （3）若 f(α)＝tanα，则角的终边与角的终边的反向延长线表示的 正切值相同， 根据三角函数值的大小，找出 α 在 0～2π 内的取值，再加上 k·2π (k∈Z)．点评：用三角函数线求解简单的三角不等式的注意事项：
过单位圆与x轴正半轴的交点A(1,0)作圆的切线交角α
的终边于点T.
2、能否找到有向线段使
y
T 的终边
其大小恰为
P(x , y)
可证△OMP∽△OAT
AT =
即 tan= =AT，
A(1,0)
OM x
AT是的正切线．
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
思考1：如何证明有向线段AT来表示α的正切呢？
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
y
y
第三象限
第四象限
M Ox
M
O
x
P(x , y)
P(x , y)
因为cos =x=OM，所以OM叫的余弦线!
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
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（3）图中的圆均为单位圆，作出表示tan的有向线段．
1、由于tan = ，能否找到使x = 1的点？
为S2，△OAT的面积为S，弧长AP为l，
因为S1＜S2＜S,所以 1 OA MP＜1 l OA＜1 OA AT,
2
2
2
又OA=1，故MP＜l＜AT，即sin α＜α＜tan α.
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4.求解角的范围的方法 准确应用单位圆中的三角函数线来求解角的范围，熟记并充分 应用以下几种情形：
y
的终边
T 第一象限
的终边
y
P(x , y)
P(x , y)
第二象限
A
O
x
O
Ax
过A(1,0)作x轴垂线与终边(或反向延长线)
T
交于T点，AT为所求.
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单位圆中的三角函数线PPT完美课件
⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
T
y
第三象限
第四象限
A
O
x
A
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
的交点P．
边P
⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M,可得
A(1,0)
正弦线MP,余弦线OM.
MO
x
⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与角的终边(或
反向延长 线)交于T，可得正切线AT.
T
3、（1）当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,
分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;
（2）当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,
例2:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
1sin 1
2
5
6
-1
y
1
6
y1
12
O
x
(2k ,2k 5 )k Z -1
6
6
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例2:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
2cos 1
2
y
1
3
-1 O
2k
3
,2k
5
3
k
Z
-1
1
x1 x
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1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
O
x
P(x , y)
的终边
P(x , y)
T
因为tan= =AT，所以AT是的正切线．
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
1、这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别
叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线
2、步骤：⑴ 找出角的终边与单位圆 α的终 y
(1)熟悉角 θ 的正弦线、余弦线、正切线； (2)先找到“正值”区间，即 0～2π 间满足条件的角 θ 的范围，然 后再加上周期；
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
变式： 写出满足条件 1 ≤cosα＜
2
的集合.
2
y
3
1
3 的角α 2
6
-1 O
4
-1
3
1
x
11
5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。
6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。
7.能够根据所提供的有关文学名著的 相关语 言信息 推断作 品的作 者、作 品的名 称和人 物形象 ，分析 人物形 象的性 格和作 品的思 想内容 并进行 简要评 价。
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。
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