高等数学中求极限的方法小结

高等数学中求极限的方法小结

2.求极限的常用方法

2.1 利用等价无穷小求极限

这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]

设αα'~、~ββ'且lim

lim ββαα

'

=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0()βαα=+．

常用等价无穷小：当变量0x →时，

2

1sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2

x x x x x x x x x e x x x x x -+

-~,(1)1~x x x αα+-．

例1 求0

1cos lim

arctan x x

x x

→-．

解 2

10,1cos ~

,arctan ~2

x x x x x →-Q 时， 故，原式220112lim 2

x x

x →==

例2 求123

0(1)1

lim

cos 1

x x x →+--．

解 1

2223

11

0,(1)1~

,1cos ~32

x x x x x →+--Q 时,因此: 原式2

02123

lim 132

x x

x

→==-． 例3 求

x →

解 0,x →

时1

1~,tan ~3x x x ，故:原式=0113lim 3

x x

x →=．

例4 求()

2

1lim

2ln(1)

x x e x x →-+．

解 0,1~,ln(1)~x

x e x x x →-+时,故:

原式2201

lim 22

x x x →==．

例5 试确定常数a 与n ，使得当0x →时，n

ax 与3

3

ln(1)x x -+为等价无穷小．

解 330ln(1)lim 1n x x x ax →-+= 而左边2

25311003331lim lim n n x x x x x x nax nax

--→→-+--=， 故 15n -=即6n = 0331

lim 11662

x a a a →--∴=∴=∴=-．

2.2 利用洛必达法则求极限

利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者

∞

∞

型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.

洛必达法则中还有一个定理：当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于0；在点a 的某去心邻域内，()f x ﹑()F x 的导数都存在且()F x 的导数不等于0；()

lim

()

x a

f x F x →''存在，那么()()lim

lim ()()

x a

x a f x f x F x F x →→'=' . [1]

求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定

法.

[3]

例6 求222

01cos lim()sin x x

x x →-

. 分析 秘诀强行代入，先定型后定法.

222244

31

1

00(00)(00)0000

000000-+--+-===（此为强行代入以定型）. ()00-可能是比()00+高阶的无穷小，

倘若不这样，或42

2(00)(00)0000

000

+--+= 或43

(00)(00)0000

000

+-+-=. 解

222222224

0001cos sin cos (sin cos )(sin cos )lim()lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→--+-== 330

00sin cos sin cos sin cos lim

lim 2lim x x x x x x x x x x x x

x x x

→→→-+-==， 由洛必达法则的22222001cos sin 4sin 42,2lim lim 333x x x x x x x →→-+==有：上式=. 例7 求201

lim x x e x x

→--.

解 2

2000(1)1

lim lim 1lim 1()21x x x x x x e e e x x x x x →→→'--==-∴=-'--- . 例8 求332132lim 1

x x x x x x →-+--+.

解 原式22

113363

lim lim 321622x x x x x x x →→-===---.（二次使用洛必达法则）. 例9 求02lim sin x x x e e x

x x

-→---.

解 原式0002lim

lim lim 21cos sin cos x x x x x x

x x x e e e e e e x x x ---→→→----====-. 例10 求22143

lim 21

x x x x x →-+-+.

解 原式1112422

lim

lim lim 02211

x x x x x x x x x →→→---===∴---Q 原式=∞.

例11 求0tan lim sin arcsin x x x

x x x

→-.