积分表的使用

3 arctan
3(
x 1 x2 2x

5)


C
练习题
利用积分表计算下列不定积分 :
1.

dx .
4x2 9
2. 2x2 9dx.
3.

x
arcsin
xdx. 2
5.

1 x2 (1
dx. x)
4. e2x sin 3xdx.
6.
x
1 dx.
x2 1
e2x 4. (2sin 3x 3cos 3x).
13
5. 1 ln 1 x C.
x
x
6.
arccos 1 C.
7.
x( x2 1) x2 2 1 ln( x
x2 2) C.
x
4
2
8. (1 x)(1 x) 2arcsin x 1 C. 2
7. x2 x2 2dx.
8.

1 xdx. 1 x
练习题答案
1. 1 ln 2x 4x2 9 C . 2
2. 1 2x2 9 9 2 ln( 2x 2x2 9 C .
2
4
3. ( x2 1)arcsin x x 4 x2 C .
2
24
一、关于积分表的说明
（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接
或经过简单变形后，查得所需结果. （4）积分表见《高等数学》（四版）上册
（同济大学数学教研室主编）第452页．
二、例题
例1
求(
3
x
x
4)2
dx.
在积分表（六）中查得公式（37）
x
dx x2 a2
1 ln a a
|x| C x2 a2
u
du 1 ln u2 32 3 3
|u| C u2 32
将 u 2x代入得
x
dx 1 ln 2 | x | C . 4x2 9 3 3 4x2 9
第五节
第四章
积分表的使用
积分计算比导数计算灵活复杂, 为提高求积分
的效率,已把常用积分公式汇集成表, 以备查用. 如 P347附录Ⅲ .
积分表的结构: 按被积函数类型排列 积分表的使用: 1) 注意公式的条件
2) 注意简单变形的技巧
注: 很多不定积分也可通过 Mathematica , Map 等数学软件的符号演算功能求得 .
例4 求 sin4 xdx.
在积分表（十一）中查得公式（95）

sin n
xdx

sinn1 x n
cos
x

n
n
1

sin n 2
xdx
利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使 用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这个公式叫递推公式.
现在 n 4 于是

sin4
xdx
被积函数中含有 ax b
在积分表（一）中查得公式（7）

ax
x
b
2
dx

1 a2
ln
|
ax

b
|

b ax
b


C
现在 a 3, b 4 于是

3
x
x
42
dx

1 9
ln
|
3
x

4
|

3
4 x
4

C
.
例2 求 1 dx. 被积函数中含有三角函数
3
3 3
ccoo(ssx2tt1d)t2

4
2
sin t dt 4sin2 t 3cos2 t
3
cos t dt 4sin2 t 3cos2 t

2
4
dcos t cos2
t

3
d sin t sin 2 t
3

2

4
d cos t cos2
t

3
但原函数不一定都是初等函数.
例 ex2dx,
ห้องสมุดไป่ตู้

sin x
x
dx,
1 dx. ln x
例5. 求
解: 令x 1 2 tan t , 则 dx 2sec2 t dt
原式

2 tan t 3 (4 tan2 t 3) 2sect
2sec2 t dt

(
x
2sin t 4s1i)n22t
5 4cos x
在积分表（十一）中查得此类公式有两个
a 5, b 4 a2 b2 选公式（105）

a

dx b cos
x

a
2
b
a b arcot ab
a b tan x C ab 2
将 a 5, b 4 代入得

5

1 4cos
dx x


sin 3
x cos 4
x

3 4

sin 2
xdx
对积分 sin2 xdx 使用公式（93）
sin2
xdx
x 2

1 sin 2x 4

C

sin4 xdx


sin 3
x cos 4
x

3 4
x 2

1 4
sin
2
x


C.
说明 初等函数在其定义域内原函数一定存在，

d sin t sin2 t
3
x2 2x 5 x 1
t
(P348 公式21) (P348 公式19)
2
1 ln 2 cost 2 2 cost
3
arctan
sin t 3


C
x 1 2 tan t
1 ln 2
x2 2x 5 1 x2 2x 5 1

2 3
arcot
3
tan
x 2


C
.
例3
求 x
dx . 4x2 9
表中不能直接查出, 需先进行变量代换.
令2x u 4x2 9 u2 32
x
dx
4x2 9 u
1 du
2 u2

32


u
du u2 32
2
被积函数中含有 u2 32 ,