九年级数学上册相似三角形的判定 练习 课件湘教版

１ D
2 E
C
G
2.△在ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线 DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相 似，画出满足条件的图形. A A A A E
D
B CB
D
E CB
D
E CB
D
E C
这类题型的特征是有条件而无结论，要确定 这些条件下可能出现的结 论． 解题思路是：从所给 条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解
4.
等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在 腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.
A
解: ∵ △ABC ∽△BDC
AC BC ∴ BC =DC
D B C
即
18 6 = 6 DC
∴ DC=2cm
5.
如图，△ADE∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 。
1.
D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC. 求证：AC2=AD· AB
C
分析:要证明AC2=AD· AB，需
要先将乘积式改写wk.baidu.com比例
A
D
B
式 AC =AB ，再证明AC、
证明:∵ ∠ACD= ∠ ABC ∠A = ∠ A ∴ △ABC △ACD
AD
AC
AD、AB所在的两个三角形相 似。由已知两个三角形有二个 角对应相等，所以两三角形相 似，本题可证。
证明：∵ AD∥BF AB∥BC ∴△AED ∽△FEB △AEB ∽△GED
EA AB EF BE AB ∴ = = = EG DG EA ED DG ∴ EA EF = EG EA
5. △ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .
求证：△ ADE∽ △ ABC（用两种方法证明）.
A E
3 2
D O
A
B
D
A D
C
7. D、E分别为△ABC 的AB、AC上
的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A， 把每两个相似的三角形称为一组，那 么图中共有相似三角形_______组。 4
B
E
C
二、证明题：
1. D为△ABC中AB边上一点， ∠ACD= ∠ ABC. 求证：AC2=AD· AB.
C
A
E
D
B
2. △ABC中,∠ BAC是直角，过斜 边中点M而垂直于斜边BC的直线 交CA的延长线于E，交AB于D， 连AM. 求证：① △ MAD ～△ MEA B ② AM2=MD · ME
D
A D M C
C O
3. 如图，AB∥CD，AO=OB， DF=FB，DF交AC于E， 求证：ED2=EO · EC.
E A B
F
4. 过◇ABCD的一个顶点A作一直 线分别交对角线BD、边BC、边 DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF· . EG
A E B F G
A E D B C
∴ ∠BDF= ∠C= ∠BAD 又∵ ∠F =∠F ∴ △BDF∽△DAF. ∴ BD DF
AD AF
∵ ∠BAC=90°， AD⊥BC ∴ △ABC∽△ABD AB BD ∴
AC AD
∴
AB DF AC AF
三、探索题
1、条件探索型
1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连 结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC． 解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠B） A 时，△ ACP∽△ABC
A D E
B
C
3.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙
的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.
C A B F E
解: 设三角形甲为△ABC ，三角 形乙为 △DEF，且△DEF的最大
边为DE，最短边为EF
∵ △DEF∽△ABC
D
∴ DE:EF=6:3 即 10:EF=6:3 ∴ EF=5cm
证明：①∵∠BAC=90° M为斜边BC中点 ∴AM=BM=BC/2 ∴ ∠B= ∠MAD 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90° ∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE
AM ME = ∴ MD AM
即AM2=MD· ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
求证：ED2=EO · EC. 分析：欲证 ED2=EO· EC，即证：
D 7 B
2
A 3 E 3 C
解: ∵ △ADE∽△ACB 且 AE =AD =1 AB AC 3
DE AE 1 ∴ BC =AB =3
7.
D、E分别为△ABC 的AB、AC上的点，DE∥BC，
∠DCB= ∠ A，把每两个相似的三角形称为一组， 那么图中共有相似三角形_______组。 解: ∵ DE∥BC A ∴∠ADE= ∠B, ∠EDC=∠DCB=∠A ① ∵ DE∥BC D E ∴△ADE ∽ △ABC ② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B ∴△ADE∽ △CBD ③ ∵ △ADE ∽ △ABC △ADE ∽ △CBD C B ∴ △ABC ∽ △CBD ④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC ∴ △ADC ∽ △DEC
中点，ED交AB的延长线于F.
分析：因△ABC∽△ABD，所以 AB BD ， 要证 AB DF
AC AD
求证:
F B
AB:AC=DF:AF.
D
即证 ， 需证△BDF∽△DAF.
BD DF AD AF
AC
AF
A
E
C
证明：∵ ∠BAC=90° AD⊥BC ∴ ∠ABC+∠C= 90° ∠ABC+∠BAD= 90° ∴ ∠BAD= ∠C ∵ ∠ADC= 90° E是AC的中点， ∴ED=EC ∴ ∠EDC= ∠C ∵ ∠EDC = ∠BDF
C
E
即△ADE与△ABC的相似比为1:2
2.
如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED
和△ ABC 的相似比为＿＿＿.
解: ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∵AD:DB=2:3 ∴DB:AD=3:2 ∴(DB+AD):AD=(2+3):3 即 AB:AD=5:2 ∴AD:AB=2:5 即△ADE与△ABC的相似比为2:5
<<相似三角形的判定>>
练习课
一、复习： 1、相似三角形的定义是什么？ 对应边成比例 对应角相等， 答： 的两个三角形叫做相似三角形.
2、判定两个三角形相似有哪些方法？ 答： A、用定义； B、用预备定理； C、用判定定理1、2、3. D、直角三角形相似的判定定理
一.填空选择题:
1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED= ∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，从而 AD =DE ( ) BC AC (2) △ ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED，
从而
AD DE = ( ) BC
A D E B C
解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A ∴△AED∽ △ABC（两角对 应相等，两三角形相似）
AD DE ∴ = AC BC
(2) △ ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE，
则△ ADE与△ ABC的相似比为______
A D B
解 :∵D、E分别为AB、AC的中点 ∴DE∥BC，且 AD = AE =1 AB AC 2 ∴ △ADE∽△ABC
P ⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时，
△ ACP∽△ABC 4 B
1
2 C
⑶ ∵∠A= ∠A，
当∠4＋∠ACB＝180°时， △ ACP∽△ABC 答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC或 ∠4＋∠ACB＝180°时,△ ACP∽△ABC.
2.如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a， BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时， a 两三角形相似 C A
答：略.
这类题型结论是明确的，而需要完备使 结论成立的条 件． 解题思路是： 从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论 成立的条件．
2、结论探索型
1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子， 假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相 似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出 来. A 解：有相似三角形，它们是： △ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA B （ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA） F
1:2 则△ AED与△ ABC的相似比为______.
A
2.如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED和△ ABC
D
E
2:5 的相似比为＿＿＿.
B
C
3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 5 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm. 4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上 2cm 取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.
5. 如图，△ADE∽ △ACB,
D 7 B
2
A 3 E 3 C
1:3 则DE:BC=_____ 。
6. 如图，D是△ABC一边BC
上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是（ D ）.
A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CD· BC D. AB2=BD· BC
∵ ∠A= ∠A ∴ △ ADE ∽ △ ABC
OB OC 即 OE OD 又∵ ∠BOC= ∠EOD ∴ △BOC ∽△EOD ∴ ∠1= ∠2 ∵ ∠1+ ∠BCD=90°， ∠2+ ∠3= ∠ 90° ∴ ∠ BCD= ∠3 又∵ ∠A= ∠A ∴ △ ADE∽ △ ABC
6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的
解:⑴∵ ∠1＝∠D＝90°
b a b １ AC BC ∴当 时，即当 b BD 时， B BC BD b2 △ABC∽ △CDB,∴ BD a ⑵∵ ∠1＝∠D＝90° a a2 b2 AC AB ∴当 BC BD 时，即当 b BD 时， b a2 b2 △ABC∽ △BDC， ∴ BD a D
证明二：∵ ∠BEO= ∠CDO ∠ BOE=∠COD ∴ △BOE ∽ △COD
C
1
B
证明一： ∵BD⊥AC，CE⊥AB ∴∠ABD+∠A=90°， ∠ACE+∠A= 90° ∴ ∠ABD= ∠ACE 又∵ ∠A= ∠A ∴△ ABD ∽ △ ACE
∴
OB OE OC OD
AD AB ∴ AE = AC
D
C
5. △ABC为锐角三角形，BD、CE 为高 . 求证： △ ADE∽ △ ABC （用两种方法证明）.
F B D
6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°， AD⊥BC,E是AC的中点，ED交 AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.
A
E
C
1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点， 且∠AED= ∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，
F
B
4. 过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边
BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF· . EG
A E B F G C D
分析：要证明 EA2 = EF· ， EG EA EF 即 证明 EG =EA 成 立，而EA、EG、EF三 条线段在同一直线上， 无法构成两个三角形， 此时应采用换线段、换 比例的方法。可证明： △AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.
AC AB ∴ = AD AC
∴ AC2=AD· AB
2. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于
斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA
E
② AM2=MD · ME
A D B M C
分析：已知中与线段有关的条件仅有 AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用 两个角对应相等去判定两个三角形相 似。AM是△ MAD 与△ MEA 的公共 边，故是对应边MD、ME的比例中项。 ∴∠B=∠E ∴∠MAD= ∠E 又 ∵ ∠DMA= ∠AME ∴△MAD∽ △MEA ② ∵ △MAD∽ △MEA
3、存在探索型
如图, DE是△ABC的中位线，在射线AF上是否存 在点M，使△MEC与△ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由. A D B E C F
D O E
C
ED EC = EO ED ，只需证DE、EO、EC
所在的三角形相似。 证明：∵ AB∥CD A ∴ ∠C=∠A ∵ AO=OB，DF=FB ∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB ∴ ∠C= ∠FDB 又 ∵ ∠DEO= ∠DEC ∴ △EDC∽△EOD ED EC ∴ EO =ED ，即 ED2=EO · EC