运筹学第十章多目标决策 ppt课件

min
ck x
LP(xˆ) : s.t.
k 1
ck x ck xˆ
(k 1,L , p)
Ax b
x0
结论：
若 ˆx为 LP 的最优解，则必为有效解
若 ˆx不是 LP 的最优解，而是 y，则 y 即是有效解
例 已知一个多目标决策问题（Max问题）
max z 1=x 1 -x 2 +x 3
p
d1 =
k=1
1
fk
f
* k
r
)r
fk
f
* k
d2 =
p
(fk
f
* k
)2
k=1
d =
m ax{
1 k p
fk
f
* k
}
fk 关于
f
* k
的正偏差
dk
=fk 0,
fk*,
fk fk* >0 其余
fk 关于
f
* k
的负偏差
dk
=fk* 0,
fk,
fk fk* 0 其余
由定义知
i)
d
理 想 点 ： f* (0 , 4 2 1 0 , 2 4 0 )
( x 1 x 2 x 3 2 0 8 , 1 5 x 1 1 4 x 2 1 2 x 3 , 3 x 1 )
m in
s .t. 8 0 x1 0 125 x2 0 105 x3 0 x1 x2 x3 2 0 8 0 x1 x2 x3 2 0 8 0 1 5 x1 1 4 x2 1 2 x3 4 2 1 0 3 x1 2 4 0 x1, x2 , x3, 0
p
min wk fk (x) k 1
s.t. x X fk (x) fk (x) (k 1,L , p)
例 某公司有A, B, C三种产品，利用两种资源 I, II,
数据如下：
A
B
C
I
7
5
6
II
6
9
5
价格系数
1
0.8
0.9
产量
1
1
1
外销总量
0.4
0.6
0.2
总量 250 210
理想点法
理想点： f* (f1 * ,L ,fp * ) ， 其 中 fk * m x i X n fk (x ) 通过定义目标与理想点之间的距离，将多目标问题
m in
x X
m ax
1 k m
k
(
x
)
c
m in t
s.t. x X
k ( x ) t (k 1,L , m )
权重确定方法
α－法 均差排序法 专家小组法 判断矩阵法
其他求解多目标规划的方法
交互规划法 逐步宽容约束法 权衡比替代法 逐次线性加权和法
混合优选法－－多目标混合最优化模型 分目标乘除法 功效函数法 选择法
求解目标规划的方法则由杰斯基莱恩和桑·李提出并加以 改进
目标规划是在线性规划的基础上，为适应企业经营管理中 多目标决策的需要而逐步发展起来的。目标规划是一种数 学方法
基本含义：在一定约束条件下，要求多个目标达到或尽可 能接近于给定的对应目标值
特点：既保持了线性规划易于计算的特点，又克服了线性 规划只能解决单一目标优化问题的局限性
设 x1 为项目 1 的投资额，x2 为项目 2 的投资额
max z1= 0.1x1 +0.2x2 max z2= x1 - x2
常用的风险度量： VaR & CVaR
s.t. x1 + x2 50 x1 10 x1，x2 0
例2（生产计划问题）
某工厂生产 5 种产品：1号品，…，5号品。该厂生
1
ax
k p
(
d
k
d
k
)
s.t. fk dk dk fk*
xX, dk,dk 0 (dkgdk 0)
k1,2,L,p
可以略去
r = 1 距离定义下的目标规划模型
m in
p
(d
+ k
+
d
k
)
k=1
s.t. x X
fk (x)
d
+ k
+
d
k
=
f
* k
d
+ k
,
d
k
0
k = 1 , 2 ,L , p
m in
x X
m ax
1 k m
k
(
x)
c
m in t
s.t. x X
k ( x ) t (k 1,L , m )
r =∞ 距离定义下的目标规划模型
min s.t.
m 1kaxp(dk++dk) fk (x)dk+ dk
fk*
xX, dk+,dk 0,
k=1,2,L ,p
max
z 2 =-x 1 - 2 x 2 +x 3
max z 3 = 2 x 1+x 2 +x 3
s.t
.
x
1+ 3 x 2 +x
3
5
2 x 1+x 2 + 2 x 3 4
x 1 ,x 2 ,x 3 0
可行解 (2, 0, 0) 是否为有效解?
构建线性规划
m ax z = 2 x1 2 x2 3 x3
目标规划模型
目标函数 f(x) (f1 (x) ,,fp(x))
目标值 f*(f1*,L,fp*)
不一定是 理想值
引入距离 d ( y , z )
得到目标规划模型 分层目标规划模型
mind(f (x), f *)
xX
距离的若干种定义
r模 r= 1 r= 2 r=
p
d r = ( k=1
s
.
t
.
x1 x2 x3 2
x1 2 x2 x3 2
2 x1 x2 x3 4
x1 3 x2 x3 5
2 x1 x2 2 x3 4
x1 ,x2 ,x3 0
有效解存在定理
设 X⊆Rn. 若 f(x)=(f1(x), …, fp(x)) 中的各函数 fk(x)
转化为单目标问题来求解 距离定义可采用几种方式：
距离模评价函数 p-模评价函数 极大模评价函数 几何平均评价函数
p 1
p2 p
例（极大模评价函数）
min (x1 x2 x3 208,15x1 14x2 12x3,3x1) s.t. 80 x1 0
125 x2 0 105 x3 0 x1 x2 x3 208 0 x1, x2, x3 0
分层求解法－－分层模型 完全分层法，分层评价法，分层单纯形法
目标规划法
10.4 目标规划
目标规划的产生与发展 目标规划模型
目标规划的产生与发展
目标规划由美国学者查恩斯与库伯于1961年首次提出，基 本思想是求尽可能接近某个目标值的解
1965年，艾吉里在处理多目标问题、分析各类目标的重要 性时，引入了赋予各目标一个优先因子及加权系数的概念， 进一步完善了目标规划的数学模型
产 i 号品的生产能力是 ai 件/小时，每件 i 号品可获利 i
元。根据市场预测，下一季度 3, 4, 5 号品的最大销售 量为 bi 吨，而市场对 1 和 2 号品的需求是尽可能多 的。工厂下一季度的生产能力为 T 小时。试问：如何 安排下一季度的生产计划，在避免开工不足的条件下， 使工人加班时间尽量地少、工厂获利最大、满足市场 对 1 号品和 2 号品尽可能多的需求？
设该厂下一季度生产 i 号品的时间为 xi 小时（i =1,…,5）
m
in
m
a
x
m
a
x
s
.t
.
5
xi T
i1
5
iaixi
i1
a1x1 a 2 x2
bi aixi 0 (i 3,4,5)
5
xi T 0
i1
xi 0 (i 1,L 5)
多目标最优化模型 (Multiobjective Optimization/Vector Optimization)
x X
x % 是 ( P u) 的 最 优 解 ， 则 x % 是 ( V P ) 的 弱 有 效 解 。
1/P
例: u(f) i wi fiP
10.2 偏爱和多目标决策问题的求解
偏爱与价值函数 多目标决策问题的偏爱结构 多目标决策问题的求解思路
偏爱
例 某公司准备提升一位部门经理，由人事部门对三
x3 x1
该公司副总裁则注意合作精神和进取心，他认为这两项评分 之和高者是优秀人才，因此他的看法是：
x1 x2 x2x3 x1 x3
每个人有不同的偏爱，因而产生不同的选择
价值函数
U(x1)>U(x2),
偏爱结构
z2
B(6,45)
A(7,10)
z1
C(8,-20)
多目标决策问题的求解
利用决策者偏爱结构确定价值函数，将多目标问题 转化为单目标问题
个候选人就能力、合作精神、进取心进行评优，给 出分数如下：
得分 能力 合作 进取
候选人1 (x1) 候选人2 (x2)
7
8
8
9
9
7
候选人3 (x3) 9 7 8
该公司总裁在选拔干部时，注意特长，他喜欢在某一方面比 别人分数高的人，当某人一项指标高过另一人2分，他就认 为前者好，因此他的看法是 ：
x1x2 x2x3
弱有效解
有效解判别方法之三
(P u):
m in u (f(x )),其 中 u (y )是 关 于 y 的 严 格 增 函 数 ，