系统稳定性

第5章系统稳定性

稳定性: 受扰偏离平衡点, 依自身特性回到平衡点. 对SISO稳定性判别：特征值法、Hurwitz法等；对NL稳定性判别: 李雅普诺夫第一, 二法等.

§ 5.1 输入-输出稳定性

1. 线性单变量系统的输入-输出稳定(BIBO)及判定定义5.1若线性因果系统对任何有界(bound)输入

()10()|()|,[,)u t u t k t t ≤∀∈+∞

系统的输出()y t 也有界(bound), 即

20|()|,[,)y t k t t ≤∀∈+∞,

则称系统是输入-输出稳定的, 简称为BIBO 稳定.

稳定性分析(线性,因果,初时松驰,单变量) 设系统在≥0()t τ时刻对()t δτ-的响应为

(,)g t τ,

则由线性性, 对0(),u t t t ≥, 有

()(,)()d t

t y t g t u τττ=⎰ (5.1)

注：这也是一种描述线性系统的方法.

定理5.1 系统(5.1)为BIBO 稳定的 0k ⇔∃>, 使

0|(,)|d ,

[,)t

t g t k t t ττ≤∈+∞⎰, (5.2)

2

τ

1τ1()d u ττ

2()d u ττ

()

u t t

O t

O

11(,)()d g t u τττ

22(,)()d g t u τττ

系统

线性

证 充分性

设 10(),|()|,[,)u t u t k t t ≤∀∈+∞, 则 0[,)t t ∀∈+∞, 有

11|()||(,)||()|d |(,)|d t t

t t y t g t u k g t k k τττττ≤≤≤⎰⎰,

故 ()y t 有界, 充分性得证.

必要性 反证法.若(5.2)不成立, 则对0K ∀>,0t t >总有, 使

|(,)|d t

t g t K ττ

>⎰,

取

1,(,)0()sgn((,))0,

(,)01,(,)0

t g t u g t g t g t τττττ-<⎧⎪

===⎨⎪>⎩

, 使

()(,)()d |(,)|d t t

t t y t g t u g t K τττττ==>⎰⎰,

()y t ⇒无界, 证毕.

推论 若系统(5.1)为时不变的, 则有

0()()()d t

y t g t u τττ=-⎰. (5.3)

那么, 定常系统(5.3)为BIBO 稳定的0k ⇔∃>, 使

|()|d g t t k +∞

≤⎰.

2. 线性多变量系统的输入-输出稳定及判定 设

则

11()(,)()d t

m m r r t Y t G t U τττ⨯⨯⨯=⎰, 0[,)t t ∈+∞, (5.4)

其中

1u 2

u r

u 1y 2

y m y

ij

g 系统

111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)r r m r m m mr g t g t g t g t g t g t G t g t g t g t ττττττττττ⨯⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=

⎢⎥

⎢

⎥

⎣⎦

,

ij g 表示：第j 个()j u t 对i 个()i y t 脉冲响应.

与SISO 类似，有

定理5.2 系统(5.4)为BIBO 稳定的0,k ⇔∃>使(,)G t τ的每一个元素(,)ij g t τ都有

≤⎰0

(,)d t

ij t

g t k ττ, (,)t ∈-∞+∞,

1,2,,;

1,2,,i m j r == .

略证 对()y t 中的()i y t 满足

[]0

11|()|(,)()(,)()d t

i i ir r t y t g t u g t u τττττ=++⎰

11(,)()d (,)()d t

t

i ir r t

t

g t u g t u ττττττ≤

++

⎰⎰ ，

(1,2,,i m = ).

从而 输入有界 输出有界；反之，类似SISO 反证得.

定理5.3 设⨯()m r G s 是线性定常多变量系统传递函数,

则系统为BIBO 稳定的k ⇔∃, 使()G t 的每个

()ij g t (1,2,,;

1,2,,i m j r == )

满足

|()|d ij g t t k +∞

≤⎰ (5.5)

或等价地,

()G s 的每一个元素()ij g s 的所有极点均具有负实部.

证

时域结论包含在定理5.2中; 复域结论, 简述如下:

11 将()ij g s 展为

()l l k l s βλ- (1l k K ≤≤分母多项式最高次数). 拉氏反变换

1l l k t l t e λβ-, 1l k K ≤≤.

→ ()ij g t 为有限个1l l k t l t

e λβ-之和,

→ 当且仅当